GÉNÉRALISATIONS DIVERSES

55. Fonctionnelles dépendant des valeurs d'une fonction .r ( / ) pour des valeurs quelconques de l (t compri> entre — oj et -j- 00). — Nous

CHAP. I\. — VAHIATION l'RKMIKUK ET lONCTIONNKI.LKS LINÉAIRKH. 71

(-Ii(>isi>.s()iis lin mtxlc de diNi^ioii di- l axe df^ / ou n iiilcivalles

|iar des |ioinl> i\c division/,. I -, t,i-\- Su|)|)oson.s qu«' n deveuaul

inliui, /, dcvicuuc iuliui par valeiir.-, uôi;ali\es, /„, par valeurs jx»-!lives, et que, dans un iulervalle liai quelconqu*- de l'axe des/, le jdni^raud lies inl<-rvalle> parliels (^//, //+i ) (|iii lui soit intérieur leude vers «». Tel est le ea> par e\(M7iple si l on detitiil /, parla ((iriiuile

<»u bien SI lOn piend la Mille

p étant un entier devenant inliiii.

Soit Xi une valeur dune lunetion x i t) dau> riuter\alie (//,. li\ et soit \ (/) une lonetion égale ilaus cliaeun des intervalles .à la valeur elioisie .r,. Lorsque u devient infinie, \-(^) tend vers x{t), et cela uniformément dans tout intervalle fini. Luc tonctionnelle de r (/) peut alors être considérée comme la limite d'une fonction de '•, X„.

Le lecteur trouvera une application de ce procédé dans les travaux. de R. (râteaux \Sur la représentation des fonctionnelles continues {Rend. d. R. Accademia dei Lincei, i*"*^ mars 791'] ))•

Dans le cas qui nous occu|)e, la forme normale «le la variation, généralisant celle de M. \olterra. est

(■50) oU = / 91 /) ox{i>i/L

Cette intégrale n'a de sens que si ox (t) vérifie certaines condilioni nécess^res à sa convergence. Ces conditions peuvent d'ailleurs ne pas être très restrictives. Si l'inli-arale

'■3(t)\df

a un sens, il suffit que ox [t) soit limité supérieurement, e e>t-à-dirc que la fonction variée }' (t) tende uniformément vers x {().

56. Fonctionnelles dépendant d'une fonction de n variables. — \oiis avons déjà examine le cas où n = 2. D'une manière générale, si une fon.elionnelle L déj)enfl des valeurs prises par une foncUon x (t^, ..., t,i) dans un domaine \ de l'espace lieu tlu poinl de coordonnées /,;•... ^/, la (orme normale de sa variation sera rintégrale d'oi'dre /i :

,3,, oU= /••• / -^ili, .... tn)^^J!^itl, ..., /u}d/i...dtn.

Mais U peut dépendre spécialement des valeurs de jC en certains points, sur certaines lignes, sur certaines surfaces, de sorte que l'expression de SU peut contenir en plus des termes de la forme «o.r (t,, ...,-:/, », et des intégrales d'ordre 1,2 n — 1.

o7. Fonctionnelles dépendant de plusieurs fonctions. — Soii pour fixer les idées une fonctionnelle U dépendant des valeurs de deux fonctions x{t) ely{t) pour o < f< i .On peulobserver que la donnée dexit) et y{t) érjuivaul à la donnée d'une fonction unique z-{i) définie par

-.( /) = x(-il), (o C ^ =

Mais cette remarque nempèche pas qu'il y a intérêt à considérer comme une nouvelle sorte de fonctionnelles celles qui dépendent de deux fonctions, de même que la remarque que les points d'une droite et ceux d'un plan constituent des ensembles de même puissance ne dispense pas de l'étude des fonctions de deux variables ('). La forme normale de la variation de U sera ici

(39.) oL := f ['i{t)ox(t')-^'l>(t)oy(t',]dt,

o{l) et 'liÇt) étant les déri\ées fonctionnelles partielles de U par

( ' ) En considérant U comme fonctionnelle de z{t), on rencontrerait eu général cette circonstance que V'-it) dépendrait spécialement, non seulement de :{t), mais

aussi de .: ( f ± - )• Le meilleur moyen d'étudier des fonctionnelles présentant cette

circonstance est de les considérer comme dépendant de deux fonction- distinctes X et y.

CHAF". IV. — VAlUATIitN l'REMIKRE ET FONiniO.NNEIXtS LINÉA1HK«. -'\

appoil à :v{t) f\ y(( i. N<iiis (loi^ncroiis co <l<'ii\ ces piir

On |>cul de iiirinc ronsici(r«T ilt'.> lonclioiiiK'llcs (l(''[icii<liiMl (riiii plus j;ran<l nnmbrr de ^(ln(•ll<ln^ (runc ou (\t' plusieurs viuiiiblcs.

58. Fonctions d'une ligne gauche. - .luscju ici. mdus uon^ xjiunus placés iui poinl de vue algébricjue. Vu |)oiul de vue géométrique, il y a lieu d'étudier les fonctions d'une ligne plane, d'une ligne gauche, ou d'une surface. Le lien de ces notions avec celles (jui précèdent esi I vident ; d peul cire précisé tle plusieurs manières suivant les repré- ^entatlol^^ paramctiiqiicv cniploxécs pouc dcMliiir les courhes et surfaces considér<'e>.

Soit d alund tip.e rniiihc gjiiiclie lenuée ( ",

V = x(f), y —yU), z = z(l).

dont tous les points >oienl «ddenus en faisant varier t de o à i. Lors- (ju'elle se déforme, les coordonnées du j)oinl correspondant àla valeur / du paramétre deviennent j; -f- o.r, v -h 3)% c-f-o;, les variations ox\ ù}\ oz étant seulement assujetties à prendre la même valeur pour / r= o et < = I . Pour une fonctionnelle l dépendant de la ligne C, la forme normale de la variation sera

( 33 ) oV= I (l[, or - l ■;. oy -n Ul 03 ) dt.

Li,, Uy. L '. étant troi^ fonctions de t. Ces fonctions ne sont pas indépendantes ; une fonction d'une ligne gauche étant assimilable à une fonctionnelle dépendant de deux fonctions d'une variable, il ne peul y avoir que deux déi'ivées fonctionnelles indépendantes. En effet, si le déplacement du point x, y, z est un glissement sur la courbe C, la fonction U, qui doit dépendre de la ligne C et non de la représentation paramétrique choisie, ne varie pas. Il faut pour cela que

.f ', >■', z' étant les dérivées de x\ j\ z par rapport à /.

Dés ses premiers travaux sur le calcid fonctionncLM. Volterra a étudié les fonctions de lignes en partant de ces formules et défini une classe simple de fondions qu'il a appelées fonctions du premier degré

74 PREMIÈRE PARTIi;. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

(idenliuiK's, tlans le cas d'une ligne plane, à ce que nous avons appelé plus haut des fo/iclionnelles addilives)^ cL a obtenu à l'aide de ces fonctions une rcniar(jual)le extension de la théorie des fonctions d'une* variable riua^inairc ( ' i.

oll. Fonctions d'une ligne plane et fonctions d'une surface. — l'ar analogie avec ce qui précède, la forme normale de la variation d'une fonction d'une ligne plane peut s'écrire

: / {{]xhx-+- l]'yOy)dt.

ou, si l'on prend pour paramétre la longueur d'arc ds sur la lignt considérée G,

Dan* les applications c[ue nous avons en vue, nous adopterons avec M. Hadamard une forme différente, ne faisant intervenir qu'une fonction de s. La composante suivant lai tangente à la courbe du déplacement du point x.,y étant sans importance, nous n'avons qu'à tenir compte de la composante normale o/i, comptée positivemeni dans un sens déterminé (nous supposerons que la rotation qui amène la tangente prise dans le sens des s croissants sur le sens positif de la normale est de nu'-me sens que celle f[ui amène l'axe des x sur l'axe des j^). La formule (35) devient alors

(56) 5U = Tu' o« ds.

Ll'„ étant ce que nous appellerons la délitée fonctionnelle de la fonetiom de ligne plaide U. On voit d'ailleurs aisément que

x' et )' ('tant les déiivées de x et y p«ir ra|.)porl à 5. c'est-à-dire le>

(') I o//' \ . VoLTKRR A, Sur lu géiu'iation de la théorie des fonctions d'une variable imaginaire {Acta niathematica, l. XH, 1889).— Fo*/- aussi dans maThrs.'. 11°' 3 à 5, un résumé du Mémoire de M. Volterra cl de Notes postéricurt-s publiera dans les Rendiconti de V Ace. dei Lincci et relatives à l'extension auxfspaees à plutle trois dimensions.

CUAP. IV. — VAUIATION l'KKMII-RK ET i'ONCTIONNELLE;; LINÉAIBES. 76

cosiiius direcleuiï. tle la lauj^onlr à la c(tiiil)r. Aupfloiis de mr-ini- o// la ijt'iixcr de 0//. On voit aisénu'iil {jiu;

fix' = - j'' on' . oy' = ,7 ' 3/?',

ildù

ou; r^ x'ou;,— yu;, o«'.

(les lorinnlcs iiionln'iil ([lie si, |j(jui' (Lrlaïucs tonctionneUes. iMcnquila déliiiilioii de L „ dé|)ende specialeinenl duu point [»ai'Liculier de la courbe, oU'„ s'exprime par une Inlé^iale de M. Volterra. il ne peut en être de même de oU, el oU^, et que, de même, l'expression de ees quantités faisant intervenir o//. H' cl TJ', ne peuvent a\oir (ju'une continuité d'ordre i (' ).

Dans le cas dune fonction de surface, on arrive à une formule tout à l'ail analogue à la formule (36). Ici encore il suffit de définir la déformation de la surface S })ar le déplacement normal rm de chacun de ses points, et eu prenant pour élémeiil dilléreutiel rr-lénienl d'aiic rfS, on est conduit à la formule

(37) oU = y <i>'„ o/j r/S,

<l>„ étant par définition la dérivée fonctionnelle de la fonction de surface L .

60. Remarque sur le choix d'un type simple de fonctionnelles. — Dans la plupart des questions traitées dans la suite, lorsque nou■^ n'aurons pas en vue la recherche d'une grande généralité, noms prendrons la variation des fonctionnelles étudiées sous la forme de M. Volterra, c'est-à-dire que nous supposerons (à moins d'avoir des raisons de ne pas le faire) que la fonctionnelle étudiée ne dépend |)as d'un point particulier.

Dans le cas, que nous avons jusqu'ici pris pour type, des fonctioianelles dépendant dune fonction x{t) définie entre o et i , il arrivera très souvent que ces fonctionnelles dépendent spécialement de j?(<) ) et x{\), et même, pour la théorie générale, il sera souvent impossible

(') Voir la Note déjà citée de M. Iladamard. Sur les dérivées des fonctions de lignes {Bull. Soc. math. 1902).

(l'éviter (le considérer ces termes, qui s'introduiront par exeni|.le -1 Ion intègre par parties, comme nous Favons vu n" o2.

On j)cul songer à éviter cette difficulté en prenant comme type de lonclionnelles les fonctions d'une ligne plane fermée. Mais dans ce cas, une autre cause de complication se présente provenant de ce ({uc, si nous voulons différentier la formule (36), nous ne pouvons considérer >Is comme une constante. Le paramètre s est à ce point de vue beaucoup moins avantageux cjue ne l'était le paramètre t dans l'étude des fonctionnelles dépendant de xt /'). comme nous aurons l'occasion de le montrer plus lard.

Dans la suite nous prendrons comme type de, fonctionnelles une quantité L dépendant d'une fonction xij) définie en chaque point d'une ligne fermée fixe C, le paramètre t Nariant de o à i (o < f^i), lorsqu'on décrit toute la ligne. Cela revient, au point de vue algéluicpie, à supposer que xit) et la dérivée fonctionnelle l. ,(f, sont des iVuictions de période i . Si l'on ne suppose pas ces fonctions continues, cela ne i-estreint nullement les valeurs qu'elles peuvent prendre dans l'inlervalle considéré (o.ii. Mais, si on les suppose continues ainsi que leurs dérivées jus([u'à l'ordre p, il faut (pie l'on ait. en ce (fu'i' (•(uicerne x{t) par exenqjle,

x(o) = x(i), :f(o) = a;'(i), ..., x^/'Uo) = x^i'h i).

De cette manière, nous pourrons exposer la théorie générale en la dégageant des difficultés accessoires (]ui résultent, soit dé l'impossibilité d'effectuer des intégrations par parties sans considérer spécialement les limites de variation de t, soit, si l'on étudie les fonctions de lignes, de l'impossibilité de choisir un paramètre aussi commod'e que l'argument t dune fonction JcH).

11 sera ensuite facile de voir comment la théorie générale doit être modifiée si l'on veut l'appliquer, soit à l'étude des fonctionnelles dépendant d'une fonction non périodi(|ue, soit à l'étude des fonctions de lignes.