LE POINT DE VUE LOGIQUE

36. Définition précise de la variation première. — Il faut avanl toiil savoir ce que nous appelons la variation première d'une fonctionnelle. Les remarques présentées jusqu'ici mancjuenl évidemnienl de la précision désirable.

Dans le cas d'une fonction de n ^ariables, la diflérentielle totale en (lu point A est définie par les deux propriétés suivantes :

i" Elle est une fonction linéaire de raccroissement des co(ndonné('s entre A et un point voisin B ;

2° Elle dillère de Faccroissemeut de la fonction entre A et B d'une quantité dont le quotient par la distance AB est infuiimenl petit avec cette distance (').

Passons au cas d'une fonctionnelle et cherchons à définir la variation par la généralisation de cette double propriété :

]" La variation oU est une fonclionnelle linéaire de V accroissement ùx{t).

Qu'entendrons-nous par fonctionnelle linéaire (sous-entendre : et homogène)? M. Hadamard (-)dit que L est une fonctionnelle linéaire de :c si la relation

entre trois déterminations de .:&( ^) entraîne entre les déterminations correspondantes de U la relation

U=XU,+ |JiU2.

2" La variation oU diffère de l'accroissement deU d une quantité dont le quotient par le module fonctionnel de V accroissement de X est infiniment petit avec ce module.

37. La notion de variation première apparaît ainsi, ce cjui est naturel, comme liée à la définition de la distance, c'ést-à-dire à celle

(') Voir M. FaKCHKT, Comptes rendus^ 27 iiiar.s 191 1.

('-) Comptes rendus, février igoS, cl Leçons sur le Calcul des variations, p. 288.

CHAP. I\ . — V.VnUTIOX PHKMIKRE ET lONTTIOXN KI.LES LINKAIHES. 5l

<lc fonliMiiilf. < - t'sl le poiiil <l(' \\\c (|iii ;i iHc ;i(JopLé pai' \1 . Fn-rliel. ( )n pciil «'Il (Itinncr une dclinilioii iiiflcpeiulaiilc de la ili'-liuil mn de (lislancc en (l<''niii>.saul la xarialion de l par la formule

Lue délinilion analogue a élé adoptée par exemple |)ar II. Gâteaux dans l'élude des lonetions d'une inlinilc de \aiial)le> iudépeiidantes {'^).

\ a-t-il identité entre les deux détinilions?

On voit sans peine qu'une variation au sens de M. Fréchel vérifie la lormule (2") si la définition de la distance est telle qne la distance des deux fonctions 3e(t) et .r(^) -f-Xy (/) est proportionnelle à a. Celle condition est vérifiée par toutes les définitions (|ue nous avons considérées, et il s<Miible qu'une définiliim qui ne hi vérilifi ait pas sérail sans intérél.

Mais la «léfinition de (îateaux est plus générale. L'expression (2) peu! n'èlre pas une différentielle au sens de M. Fn'chel.

i" D'une part, si elle est homogène et du premier degré en 3.r, elle peut n'être pas linéaire. Cette circonstance se lenconlre déjà dans la théorie d<'s fonctions de deux variables; la fonction j;arciang — admet à l'origine une différentielle au sens de Gâteaux, mais ce n'est pas une expression linéaire en dx et dy.

2" D'autre pari, il résulte de la définition {■?.) que

m désiananl le module fonctionnel de oa\ cl ox étant de la forme â/"(^), tend vers zéro quand ). tend vers zéro,/(f) restant fixe. Pour que oU' soit une différentielle au sens de M. Fréchet, il faut qu'elle tende vers. zéro quand m tend vers o quelle que soit la forme de ox ; autrement dit. si ùx ^=').fi t), qu'elle tende uniformément vers o quand X tend vers o^f(t) étant une fonction quelconque de module fonctionnel égal à i . Il peut ne pas en être ainsi, même si oU est une fonctionnelle linéaire.

Donc la formule (2) est plus générale que la définition précédente.

C) Bulletin de la Société mathématique de France, içikj.

Toutes les fois qu'il y a une variation au sens de^ M. Frécliet, elle s'applique; mais elle peut représenter une expression qui ne soit pas une variation au sens de M. Frécliel.

Dans la suite, lorsque nous dirons qu'une fonctionnelle admet une variation, sans ajouter « au sens de M. Fréchet », nous entendrons par là que l'expression (2) existe et est linéaire en Zx. Cette définition diffère donc de celle de Gâteaux parce que nous imposons à lu variation la condition d'être linéaire, et de celle de M. .Fréchet par la différence signalée au 2" ci-dessus.

38. Donnons un exemple de fonctionnelle n'admettant pas unvariation pour toutes les fonctions x{f).

Plaçons-nous dans le cliamp des fonctions continues et appelons distance de deux fonctions x el y \e maximum àe \y{t) ^' x{t)\. Prenons comme fonctionnelle \ le maximum de;r(/).

Si x(^t) n'atteint son maximum que pour une valeur t de bi \ai^iable t, cette fonctionnelle admet comme variation l'expression o:r('::). Mais si ii?(^) atteint son maximum pour deux valeurs t et t' de la variable f, la valeur principale de l'accroissement de U est donnée par ox[x) ou ùx{-') suivant que l'une ou l'autre de ces quantités est la plus grande. Si, par exemple, ox est de la forme "i.fit)^ et siy(-î) et /(t') ne sont pas égaux, la valeur à considérer, - ou t', changera avec le signe de \. Si donc on considère la famille de fonctions a^(f) -f- a/"(/) dépendant du paramètre A, U sera représentée en fonction de \ par une courbe ayant un point anguleux.

De pareils exemples, ou même ceux qu'on pourrait donner généralisant les fonctions sans dérivées, ne diminuent d'ailleurs eïi l'ien liiitérêt qui s'attaclie à la notion de variation.

39. Démontrons maintenant deux propriétés des fonctionnelles linéaires.

1° Si une fonctionnelle linéaire V est continue en un point de l'espace fonctionnel, elle est continue partout.

En effet, dire qu'elle est continue en un point x{t), cela signifie que

Ul[x-hS^]|-U|[^]| = Ul[ô.r]|

tend vers o avec le module fonctionnel de ùx ; cette condition est évidemment indépendante du point considéré.

ClIAl'. IV. — VAniATION PRE.MIKniC IVr rO.NCriONNELLES LI.MiAIIU.S. b'i

2" Cela revient au nirmo de dirr ddiic fonolionnelle linéaire (facile est continue, on de dire (jntllc i>^l (liiic rlnns ton! fliani|) fi)netionn<'l lini.

Vax t'ih'l. (Iii<' (inCllc ts| linic (l;m> Iniil < Imimij) I'oikI loniirl liiii i(\ icni ;i dii'e (jiie

l|r(/)l|<.M .iitraine i.io.l H | [,/■ | |< K.

Il est ('xidcnt. l étant linéaire, (|ii«' si l'on niidliplle M [)ar un l'acteur c, K (Si nHilti|)lié par le même taclriir. On peut donc choisir M assez petit pour que K soit inférieui' ;i louL nomhre positit donné, c'est-à-dire (pie l est continu ;iu poini r .— <> f\. par snite, en tout point.

Une variation, (p»i est une lonetionnelle liueaire de ox, n'est pas nécessairement continue par rapport à cet argument. Mais on peut montrer que, si U est une lonetionnelle continue de x, SU est une Conctionnelle continue de ox. En ell'et, le module fonctionnel m de ox = Xi — X tendant vers zéro, l'accroissement U, — l. tend vers zéro, par définition de la continuité; (l'autre pari, par déiinition delà variation, l'expression (3) et, par suite, son numérateur L , — L — olj tendent vers zéro. Donc oL tend vers zéro. Celte fonctionnelle est donc continu<' à l'origine et, par suite, en loiii point.

40. La formule de M. Hadamard. — M- Iladamard, dans sa Note déjà citée de lyoS, a le premier posé et résolu le problème de chercher une expression anahtique susceptible de représenter toutes les fonctionnelles linéaires continues.

Remarquons d'abord avec lui que la propriété d'addition des fonctionnelles linéaires se généralise immédiatement au cas d'un nombre ([uelconque de fonctions, de sorte que la relation

(5) A-Ù) = </i-ri( /) -I-.. .— a„a.-„(0

entraîne, si L e>t linéaire, la relation

U |[.rtOJI =«iU I [■'•!(/ >11 -+-••• ^««LM[./-« (7 jjl-

Supposons la fonctionnelle U définie et bornée pour toutes les fonctions x{t) continues, et ayant, par suite, d'après le n° 39, la continuité liée au voisinage uniforme de deux fonctions; si donc x{t) tend uniformément vers une limite \[t). V\\x{^t)]\ tend vers

Appliquons ce résullat à rexpression (5), en supposanl qu'à la limite, la suite Xi*{t), ...,Xn{t) soit remplacée par une fonction continue x\{t) de t et d'un paramètre A, et que celte expression devienne une intégrale. Nous voyons que la relation

entraîne la relation

\(f)= f f{\)xi(t)d\

En parlieulier, la relation

Ç e-''P^''-''''-.i-iK).dl

■aii)^

entraîne la relation en posant

Or, pour 'j. Indni, x^^{t) tend uniformément (') versx(/). 11 vient donc

((3) II |[.r(0Ti = lim f F(/, ii)x{i)dt.

{>.= '« Jo

Telle est l'expression analytique, formée par M. Hadamard, qui

(') La foiiclion x{t) rtaiil (■oiilinui', ddiic iiiiiforiuriiicnl conlinoc, ou peut choisir r, de iiiaiiièrc (|iic |t— /|<t, cniraîiic \ x{-) — x (t) \ <.z. Or, poui' ;j. assez f;raiid, une fiaction rj^ale à i — s de riiiU'graic I, qui est au ilénominaleur, est obtenue pour un intervalle diiUégration conslilué par une partie de riiitervalle {t — Tj) et (l -\- T,). Les deux parties de Tintégrale ainsi distinguées, égales à (i — £) I et eI, sonl multipliées respeetivemcnt, si l'on multiplie la fonetion intégrée para;(6), par xi/i) et x{-'), -. el -:' élant eompris dans les deux paj'lies de l'intervalle (o, i). Ox x(-) .'Si iW la formr a'(0 -)- Û,s, où | 0; | • i, et j: (-' ) = 6, M, où | 6, |< i et où M est If maximum de \x(l)\. t)on(a; (0 ^i '^i \aleur

(i — ï) [x{l) + Ojî] + ;fJ,M,

et sa différeiiee a\ee x{t) esl bien aussi petite qu'on veut, dans loul l'inlervallL o, i), poui' c assez petit .

VAIUATION' l'RKMIKHK ET l-OXCTIONNEI.LKS LINKAIRKS.

représente la fonelionnelle linéaire el continue la ()liis générali' définie dans le champ des fonctions continues. Elle est évideninieni bo;iuc(»up plus générale (pie rinlé<;rale de M. ^ ollerra. Elle est même, à certains points de vue, trop i;énciale. Il est évident qu une fonctionnelle (pii peut cire re()résentée [)ar la foi'midc ((')) peut lètre d'une inlinilé de manières, en faisant varier le choix, de la fonction F(/, tj.). Il y a intérêt à chercher une représentation ne eomportiini pas cette indétermination. Un tel résultat a été obtenu par M. Fr. Riesz (Comptes rendus^ ?,() novend)re i90()).

41. La formule de M. Fr. Riesz. — Faisons sur la fonctionnelle U les mêmes hyj)olliè.ses que précédemment et. de plus, supposons-la définie pour les fonctions ayant un nombre (ini de discontinuités de première espèce. Soit x.^{t) la f«uiction égale à i si <£-:et à o si ^ > t. Posons

Si 7>>t'. x^ — x-:' représente une fonction égale à i siT'<;/^Tel à o pour les autres valeurs. Pour cette fonction, U a évidemment la valeur /(t;)-/(t').

Il en résulte aisément que/(;) est à vaiiation i)ornée. Soit, en effet, -M le module maximum de U pour les fonctions x{t) de module ^ I (ce maximum existe, en vertu de l'hypothèse de la continuité ). Considérons en particulier une fonction égale à î|, So, .... £yj dans chacun des intervalles (o. f,), (^,, fo), ..., {tp\, i), les £ étant tous égaux à +1 ou à - i , et les t étant des nombres croissants dans l'intervalle (o, i). Pour cette fonction, U a la valeur

qui, pour un choix convenable des e, devient

Cette expression étant au plus égale à M, quel que soit le choix des t,f{t) est à variation totale au plus égale à M. donc bornée.

Ce résultat obtenu, nous pouvons représenter dune manière approchée une fonction continue x{t) par une fonction X(0 égale dans chacun des intervalles (/,,, ti) à une des valeurs Xi de x{t) dans cet intervalle. Si le plus grand de ces intervalles tend vers zéro, X (/) tend d'une manière uniforme vers xi t).

50 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS Dl CALCIL FONCTIONNEL.

Or ùu a. en rttison de la propriété caraetéristique des fonctionnelles linéaires.

v.i\\(n\\=^j-i\f(.tr)-f{fi-ô\,

(t. à la limile. on peut écrire

(7) l'If-'-'/ '11= f J-^l)dfi().

Les lonelionnelles ronsidérées sont donc ieprésenLable.'> par une intégrale de Stieltjes. Celte représentation ne compoite pas l'indélermination de la représentation par la forinnle de M. Hadaniard et se distingue aussi de cette formule par le fait qu'elle ne représente pas d'au lies fonctionnelles que celles ajanl la continuité considérée.

On obtient une autre expression de la fonctionnelle linaire U en utilisant la «h'-composilion de l'intégTale de Stielljes indiquée aiin"3l. On tr(iu\ c ainsi

\ I [./■(/ i] 1 ='ya/./-(T,)— j x(t)ixit)ctl -^ I x(i\dz{t\,

ï!|rt/| étant convergente, |Jl(0 étant sommable et '^(l) étant à \ariation bornée, continue, et ayant toute sa variation concentrée dans un ensemble de mesure nulle.

i!2. x\ous avons supposé jusqu'ici que L était défini pour les fonctions admettant un nombre fini de discontinuités de première espèce. Il est d'ailleurs à noter qu'avec cette hypothèse, et ûx{t) est discontinue en l'un des t/, il est essentiel, pour l'application des formules (-) et (8), que la signification de J?(':,) soit bien précisée.

Nous allons supprimer cette hypothèse et montrer qu'on arrive au 'même résultat en supposant L définie seulement dans le champ des fonctions continues. v

Nous dirons qu'un points est un point o/r/f/îrt//'e pour la fonctionnelle linéaire LJ si, étant donné e positif, on peut toujours déterminer r, tel que l'hypothèse qu'une fonction continue x[t) soit nulb' en dehors de l'intervalle (t — /,, -: + •/■/) et comprise entre — i et -|- i dans cet intervalle, entraîne | U | ■< £. Dans le cas contraire, t sera dit point de discontinuité, et nous appellerons écart corresponchint à ce point la limile >up(rieure des valeurs de e pour lescpielles n'existe

dlAI'. IV. — VARIATION PBEMIKIIK KT KONCTIONNELLLS LIMiAIRKS. )-

pas (le UDinhrc /,. CvV écart chml dé.si}j;n('' par <t. nous pomojis alors anirmcr que, (juclquc petits <|uc soient It.s uouihies positits z et y,. on peut trouver une fonction conlinue x(i), nulle en flehors cl<rinler\alle (t — ■r^.--\-r^) et comprise enlre — i <"l 4-1 <lans <el inter\a]le, et à laquelle coirespoiide mie \aleur de l positive et supéri<'ure à a — t.

Je dis niaintenanl (pie les poinl> (!<• disconliniiilé >niii dénoiiihrables et que la somme des écarts correspondant"» est au plus ('oalc à M, limite supérieure de l pour les fondions de module- i. Il suffit de nionlrer qiu^ l'on ne peut pas avoir, poui- un nombre fini de points de discontinuit<', T( .... t^,,

(Ti-4-...-i-rt/, = M'> M.

S il en était ainsi, nous pourrions choisir c,. . . .. ip tels que

etr, I, . . . , Y)^ tels que les intervalles (t/ — 'fà-, ~i-\-'fii) soient extérieurs les uns aux autres. A chacun de ces intervalles, on pourrait faire correspondre une fonction continue a:/(i), nulle en dehors de cet intervalle, et comprise entre — i et + 1 dans cet intervalle, et pour hupielle la fonctionnelle l |)renne unt* \aleur Uj jiositive et supérieui"e à ai — î/. Pour la fonction

Xi t)= Xi{t)- . . .-i-j- ,,(/),

(jui est continue et comprise entre — i et + i , la fonctionnelle prendrait la valeur

ri-...-T-U„>.M,

ce qui est contraire à 1" hypothèse. Il en résulte bien que la somme des ttp ne peut dépasser M et. par suite, que les -p sont dénombrables.

Soit maintenant un point ordinaire x. Soit x^[i) la fonction déjà considérée égale à i pour /^t et à o pour t >-:. Je dis que. malgré sa discontinuité, L est défini pour celte fonction. En eflet, on peut modifier x- dans un intervalle très j>elit ( - -- /, . t + y, ) de manière à rendre cette fonction continue et comprise enlre o et i, et, pourvu (pie Y, soit assez petit, aux différentes fonctions que Ion peut ain>i obtenir correspondent des videurs de L difTérant les unes des autres

de moins que tout nombre donné e. Il en résulte bien que, r, tendant vers zéro, U a une limite. Soit/('ï) cette limite.

Cette fonction étant obtenue, nous pouvons reprendre les raisonnements du n" 41 en spécifiant seulement que la fonction X(<) par laquelle nous représentons ;r(i) d'une manière approchée aura des points de discontinuité ti qui seront tous des points ordinaires de la ifonctionnelle. On voit d'ailleurs aisément que fi^t) est à variation bornée, de sorte qu'il n'j a rien de changé aux résultats précédents; les quantités que nous désignons par ai sont, au signe prés seulement, celles que nous avions désignées de cette manière au n** 4i.

43. Les fonctionnelles linéaires continues dans le champ des fonctions de carrés sommables. — Supposons maintenant la fonclionnelle linéaire L définie et bornée dans le champ des fonctions de carrés sommables, et par suite, d'après le n° 39, continue, avec la définition de la continuité qui est naturelle dans ce champ, celle liée au voisinage en mo venue.

Une telle fonctionnelle est a forliori définie et bornée dans le champ des fonctions continues et, par suite, représentable par les formules (7) et (8). Mais la continuité plus restrictive que nous considérons actuellement entraîne cette conséc|uende c[u'on ne risque pas de changer la valeur de U en changeant jc(t) pour les points d'un ensemble de mesure nulle; il n'en serait certainement pas ainsi si l contenait elTectivement le premier ou le troisième terme de la formule (8). Cette formule se réduit donc au second terme, et l'on a

(9) U|[^(0]|= f or{t):j.(t)dt,

la fonction [>•{'':) étant sommable.

Je dis qu'elle est même de carré sommable. Si, en effet, l'intégrale

f{l) désignant la fonction sommaloire de[ji.(/) dans l'intervalle (o, 1), devenait infinie (soit positivement, pour ç infini positif, soit négativement, pour ç infini négatif), on pourrait trouver une fonction X(/) de carré sommable et pour laquelle l'intégrale (9) n'aurait pas de

CIIAP. IV, — VAUIATIDN l-nEMll'UK ET rONCTKlNNELLES LINEAinES.

sens. Il siillii de |ircudrc

av(M:î=dzi siii\;iiil ([iir jj.(^) csl posilir <»ii iu''j;alil'. On ;i, (l'iii>rès l(>s rdiiniilos de M. Lc'l)t'>i;iie.

formules ([iii iiionUciil bien (|uc le module foucUciuiel ileX(^)esl borné, mais que Tinlégrale (9) n'a pas de sens pour celle fonction. On peut alors trouver des fonctions conlinucs x(^), convergeant en moyenne vers X(f), et telles que les valeurs correspondantes de L, bien délinies par la formule (ç)), n'aient pas de limite; ce résultat est en contradiction avec l'Iiypollièse que V soit délini et continu [)Our la fonction \-{t); c'est donc (pie <j.{t) est de carré sommable.

Cette condition étant remplie, il résulte de l'inégalité de Schvvarz que l'expression (9) représente bien une fonctionnelle linéaire, définie et continue dans le champ des fonctions de carrés sommables. Nous avons ainsi l'expression générale d'une telle fonctionnelle.

Ce résultat est dû à M. Fréchel, qui l'a d'ailleurs établi sans utiliser l'intégrale de Stieltjes [voir n" 1)9).

4i. Les fonctionnelles linéaires et continues d'ordre p. — Appelons Cple champ des fonctions continues, ayant des dérivées absolument continues {voir n** 28) jusqu'à l'ordre /> — 1 , et une dérivée d'ordre p de carré sommable. En d'autres termes, c'est le champ des fonctions de la forme

-xi''(s) ds.

a?^/'\i) étant de carré sommable. A|)pelons G), le chani|» obtenu en supposant de plus que celte dérivée soit continue.

Considérons une fonctionnelle linéaire L définie dans Cp et ayant dans ce champ la continuité liée au voisinage en moyenne d ordre />,

t'o PREMIERE PARTIE. — - LES rONDE.MENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

OU bien (deuxième hypolhésej définie dansC'^ et ayant dans ce cliamp la continuité liée au voisinage uniforme d'ordre p. Il résulte de ces hypothèses et de la formule (lo) cjue

(11) l \[x]\ = a^xi'.) ^ a,x' {- ) -^ . . .-'^ a,,^iX' t>- i'( t) + V | [^(/"] |,

V étant une fonctionnelle linéaire continue d'ordre zéro à laquelle, suivant qu'on fait sur l lune ou l'autre des hypothèses ci-dessus, on peut applicjuer la formule de M. Fréchet ou celle de M. Fr. Riesz. Dans le premier cas, par exemple, et pouryj = i . il vient

(12) L j [.r] I = «oa-(') H- / x'il ]ix{t)dt.

SI la fond ion <j. est à variation bornée, cette expression est conîinue d'ordre zéro et se ramène par une intégration par parties à la lonne

U I [x] I = a^xiz) + [:r(^)>jL(/ )J^ — / x{t) chj.{t \.

identique, aux notations près, à celle de M. Riesz. Mais si 'J-{l} n'est pas à variation bornée, la formule (12) représente une fonctionnelle plus générale.

Des circonstances tout à fait dilîerentes se présentent pour la formule de M. Hadamard, qui peut représenter toutes les fonctionnelles considérées actuellement et dont, par suite, la généralité n'augmente pas si l'on y remplace x{t) par x^'P\t). Cela tient à ce que, si x{t) a des dérivées continues jusqu'à l'ordre p, x^\t) pour ix infini a avec Jc{t) un voisinage uniforme d'ordre /? et, par suite, F | [a:',j.i T)] | a encorr pour limite Fj [ic(OJ 1.

D'ailleurs, si l'on écrit x'P^ (t) au lieu de x{t) dans la formule (()), il est aisé de ramener la nouvelle forme obtenue à la forme initiale.

On voit donc que cette formule est beaucoup plus générale que les lonctionnelles que nous avons voulu représenter par elle. On peut montrer qu'elle représente, non seulement toutes les fonctionnelles aygnt une continuité d'ordre fini /?, mais même des fonctionnelles ayant une .continuité d'ordre infini comme celle que nous avons lormée (n° 12). Si elle présente l'inconvénient de ne pas donner des lonctionnelles qu'elle représente une représentation unique, ri le présente l'avantage d'une extrême oénér;dité.

1 iiAi'. IV. — vAuuiio.N i>Ri;Mii;ni'; i:r i-(iN(;TiOiNNKi.i.i> i.i.nkaikks. (ii

io. Les fonctionnelles dépendant d'une fonction de deux variables. -- Nous iii(li(|Ui'r()ii> a \i\ llii ilc ci- (,liii|>ilrc discrso i;éufi-alisatu)n-. Il liuil (Irs mainlcniuil (|iir nous ((iiisiili'iKins le;? foiiclionnellcs l (lc|)(*ntlanl «les \iiU'ur> prixs pur mu- loiiclldii J7(.v, /) d«' denv variables .v el / dans 1«^ ehamp

Il esl à ivniarquer- ([u'on n iuii;nienlerail pas la «généralité en pienanl un champ de forme quelconque Inlérieur à ce carré, et par suite un cliamp fini quelconque.

La formule (i) se généralise sans diflicullé el s'écrit

ôL = / / 'f(.v, /)/jx(s, l)dsd(.

Les formules deM M. Hadamard, Riesz el Frécliet se généralisent aussi sans diflicullé. l*i r-cisons-le en ce qui concerne ces dpn\ dernières.

Soit l une fonclinnnelle linéaire de x{^s^ t) définie dans le cliam[> des fonctions continues et avant la continuité liée au vt)isinage uniforme d'ordre zéro; aj)pelons <I>| [S| [ sa valeur pour une fonction égale à 1 dans une aire S intérieure au carré (i3), et à o en dehors de cette aire. La fonctionnelle l étant linéaire, <I> est une fonctionnelle additivc, el sa variation, limite supérieure de

\ ayant la valeur -\- i ou — i dans les difierenles aires DS suivant le signe D<I>, ^st au plus égale à la limite supérieure de \) pour les fonctions x(-s^ t) dont le module est piartout égal à i ; elle est, par suite, bornée. Nous appellerons 0(5, /) la fonction liée à ^. comme il a été indiqué n" 32.

On généralise alors sans peine les raisonnements qui conduisent à la formule de M. Riesz et il vient

(t4) {] = I I .rts,t)d<l>= I 1 x(s, t)dsd(^{s, (),

les quadratures étant étendues au carré (i3).

46. Supposons maintenant U définie dans le champ des fonctions

Ga PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

de canvs sommables el avaiil la conliiiuilr lire au voisinage en moyenne d'ordre o. La formule (14,) i déduite d'hypothèses moins restrictives, s'applique a fortiori. Mais, dans la répartition de masses liée à la fonelicmnelle <1>, il ne peut ici j avoir de masse finie dans lin ensemble d<' mesure superficielle nulle; si, en effet, il n'en était |)as ainsi, on changerait $ en changeant .r(,y, t) dans cet ensemble, ce qui est contraire à l'hypothèse de la continviité. La fonctionnelle <I> se réduit alors au terme <!>., {voir n" 31), et il vient

li = / / x{s, t)\j.{s, tjdsdl.

Cette expression devant être finie pour toute fonction ^(.v, i) de carré sommable, on voit, en raisonnant comme nous l'avons fait n" i3. que ul(.s, l) doit être de carré sommable.

La formule (i5), où m. est de carré sommable, donne alors l'expression générale des fonctionnelles considéiées. Elle généralise celle de M. Fréchet.

47. Les fonctionnelles bilinéaires. — Considérons une fonctionnelle U dépendant de deux fonctions x{s') d y{t) définies toutes deux dans l'intervalle (o, 1), et qui soit foncticMinelle linéaii-e de chacune d'elles. On dit qu'elle est bilinéaire.

Supposons-la définie dans le champ des fonctions continues et a>ant la continuité liée au voisinage uniforme d'ordre o. En appelant cp((T. -ri la valeur de U lorsque x{s) est une fonction égale à 1 pour s < 7 et nulle pour 5^(7, et lorsque y (i) est une fonction égale à i pour / <^ T el nulle pour f ^t, on arrive, par une nouvelle généralisation des raisonnements de j\L Riesz, à la formule

(iG)

U [.r(5),y(n] I = / / x(s)y(,t)d,dt-si{s, t), '^0 •- 0

la fonction '^(5, /) étant liée à une fonctionnelle additive à variation bornée.

48. Supposons maintenant li définie dans le champ des fonctions de carrés sommables et ayant la continuité liée au voisinage en moyenne d'ordre zéro. Si la formule (16) ressemblait à la formule (i4)i il va y avoir ici une différence avec la formule (i5). La

CUAP. IV. — VARIATION IMtKMllîRIC KT l-OXCTIONNKI.I.KS I.INKAIKES. (iS

{■(■•pr.rlilion «les masses li<''cs ;i l:i roiiclioii '^(.ç, /) peut ici rliclclle (lue (les masses Unies soient silin-cs sur un ensemble de me*snr<,' snperliciclle luilU'. poiiivii (juCn |»i()|<Mlion sur cliaeuti dis deux axes il ail une mesure linéaire non nulle, l'^ii s(; re[)orlaiil à la décomposilion (il cinq termes de la fonctionnelle <l» liée à '^(.v, /) ( n" 31). nous \o\ons iei ijue nous pouvons trouver :

\" Ues niasses (correspondanl au lerine 'I>.i ). rc-parties sur des lignes non parallèles aux axes^ et expiimaltle pai' une iniégrale de M. Lcbesfiue étendue à ces courbes;

:>." Des masses (correspondanl au terme '1*-,), réparties sur toute la surface et exprimable |)ar une inl(''i;ralc double de M. Lebesgue ;

3" Des masses (correspondanl au terme ^I»,;), réparties dans un ensemble de mesure superlieielle nulle sans qu'aucune masse Unie soit répartie sur une courbe, ni dans un ensemble dont la projection sur lun des axes ait une mesure linéaire nulle. De cette dernière condition résulte que les fonctionnelles linéaires 4>5 que nous pouvons envisager ici sont plus particulières que celles du n" 31. Le calcul de rintégrale double de Slieltjes à laquelle nous sommes conduits ici se ramène, quelle que soit celle des variables .s et ^ par laquelle on commence l'intégration, au calcul d'une intégrale simple de Stieltjes suivi d'une intégrale de M. Lebesgue (voir n" 31, remarque finale).

Ainsi, en se reportant aux exemples du n° 33, on voit que le troisième donne une fonction $j convenant au problème actuel, mais qu'il n'en est pas de même des deux premiers.

Mais ces conditions ne suffisent pas encore pour que l soit fini pour tout système de fonctions x(s) et y{t) de carré sommable. Remarquant que le produit x (s) y ( t) est de carré sommable lorsqu'il s'agit d'une intégrale double, mais que, intégré le long d'une courbe du plan des 5, t, il est seulement sommable, on voit sans peine que :

i" Pour les masses réparties sur des lignes, il faut et il suffit que, si l'on considère toutes ces masses comme positives et qu'on les projette successivement sur les deux axes, les répartitions obtenues aient une densité bornée ;

2° Pour les masses réparties sur la surface, il faut et il suffit que leurs densités soient de carrés sommables ;

>" Il est plus difficile de donner une forme simple à la condition

que doiveni vérifier en plus de celles déjà indiquées les niasses correspondant au terme 4>,j. Contentons-nous de uiontrer par un exemple que ces masses peuvent exister eflectivement. Posons

s -^ f = II, s — f = {>.

et désignons pary(«, t) une fonction continue et par a::,{v) une fonction continue à variation bornée ayant toute sa variation dans un ensemble de mesure nulle. La répartition de masses vérifiant cette condition qu'un petit rectangle de côtés du et dv parallèles aux axes des u et des (^ contienne des masses f{u, v) dudx^{v), remplit les conditions voulues. On voit sans peine que, 4> étant la fonctionnelle correspondant à cette condition, l'intégrale

(Hendue au carré (lo) est continue dans le cbamp des fonctions x ely (le carrés sommables.

i9. Les correspondances linéaires entre deux fonctions. — Le problème des transformations ponctuelles, si important dans l'espace à «dimensions en vue de la théorie des changements de variables, se généralise au cas de l'espace fonctionnel ; en n'employant plus le langage géométrique, ce problème généralisé est celui de la correspondance entre deux fonctions. Pour applicjuer la notion de variation à la relation qui exprime une telle correspondance, il faut d'abord étudier le cas d'une correspondance linéaire.

Un exemple classique d'une telle correspondance est celle qui existe entre la valeur sur un contour d'une fonction harmonique représentable à l'intéxùeur de ce contour par un potentiel de double couche, et la densité de ce potentiel.

Considérons, d'une manière générale, une fonction X(<) dépendant linéairement d'une autre fonction x(f), et ne faisons, pour le moment, aucune lijpothèse sur la possibilité de résoudre par rapport à x{t) la relation cjui existe entre ces deux fonctions.

Supposons d'abord qu'à toute fonction continue ,r(<) corresponde une fonction continue X(/), et qu'à deux fonctions x(t) etj'{t) ayant un voisinage uniforme d'ordre zéro correspondent deux fonctions X(/) et Y(/) ayant aussi un voisinage uniforme d'ordre zéro.

riiAi'. IV. — \\ui\ii(».\ l'HiMiKiuî i:t ^o^TTlo^^■|•:l.Ll■;s i.im;vi«f>. (> >

l*(MU' tliii([ue valt'tir (II- s. \|vi c'>l iiloi- une romiidiincllc lijiéuire ot couliniic do ./(/) à lii(|iii'llc noio |)(»u\()n^ ;i|>|)li(|iif'i- l;i lormule do M. Riesz, ce qui (li»iinf

(an \(s) = 1 .r(nd,/(s, / i,

/\.v. / ) (lanl une ronelidii de / à xanaliou Ijonu'c.

Il faut de plus que V(,ç) soll une fon(-lion conlinue de s. quelle ([ue soit la fonction conlinue x{t). La condition ijiie doit reni|)lir la (onction /(v, / ) pour cpiil en soit ainsi [x-iil rlie mise sous la forme suivante: par loul point A de coordonnées .s, / (elles (jue

(•>2) 0^5 il, ol/li,

on peut faire passer un petit arc de courbe sur lecjuel s soit constamment croissant et sur lequel /{s, t) soit une fonction continue. Cet arc devra être défini de |)art et d'autre du |)oint A, sauf bien enlendu si, en ce point, .v a l'une des valeurs extrêmes f» ou i .

Il pourra d'ailleurs arriver que cet arc ne puisse pas dépasser un point B très voisin de A. comme nous allons le montrer par un exemple, sans donner la démonstration généi^ale du résultat précédent.

Soit C une courbe fermée, convexe intérieure au carré ( aa), sur laquelle s atteigne son minimum .v, en un seul point B, et son maximum s.^ en un seul point Bo. Appelons l' et l", (^'< /")les ordonnées des points où la droite d'abscisse .s coupe la courbe C, s étant compris entre 5, et Vo. Posons

et X(.v ) 1= o si 5 n'est pas compris entre Si et .so. Celle fonction est bien de la forme (ai ), la fonction/(.y, t) étant égale à i à l'intérieur de C, et nulle sur cette courbe et aux points B, et B^.

Pour tout point A intérieur à C, l'arc de courbe considéré, où s croît et où/(.î, l) est continue, existe bien, mais il ne peut pas dépasser B, et Bo. En ces points, il existe encore, puisqu'on peut définir un arc partant de chacun de ces points et extérieur à la courbe et sur lequel .v soit croissant.

30. Supposons maintenant la correspondance linéaire entre j-U) X(^) telle qu'à toute fonction .^(^1 de carré sommable corresponde une fonction X(/) de carré sommable. et qu'à deux fonctions .r(/)

f:Xy(l) ayant un voisinage en nioveniie d'ordre zéro correspondent deux fondions X(/)et \(t) ayant aussi un voisinage en moyenne d'ordre zéro.

Nous ne pouvons |)as ici partir de la formule de M. Fréchel comme iaous sommes partis de telle de M. Riesz pour écrire la formule (21). En effet, X(5), pour une \aleur déterminée de s, est bien une fonelionnelle linéaire de x{t), mais non nécessairement finie; oja peut même dire qu'elle n'est pas bien définie, puisque (u" 21 ) on ne peut pas loujours définir la >aleur d'une fonction mesurable pour une valeur particulière de la variable, et cpiune telle fonction doit être considérée comme connue lorsque l'on connaît sa fonction sommatoire et qu'on sait effectuer sur elle les opérations d'intégration.

Considérons alors l'intégrale

\(s')y(s) cls.

Dire que X(.v) est de carré sommable équivaut à dire que L est finie pour toute fonction y ( i' ) de carré sommable, et la connaissance de cette intégrale ])our toutes les déterminations possibles de y'(s) équivaut à celle de X( .« 1.

Or l est une fonctionnelle bilinéalre de x eX, y k laquelle nous (Ktuvons appliquer les résultats du n" 48. Par ce détour, on peut dire qu'on a défini la correspondance linéaire la plus générale entre deux fonctions de carrés sommables.

On peut aussi prendre pour j(^), non une fonction quelconque de carré sommable. mais seulement les fonctions trigonométriques eos -îii-t et sln2«-^. X est alors défini par ses coefficients en série de Fourier, qui sont des fonctionnelles continues représentables par la formule de M. Fréchet.

Nous reviendrons au Chapitre \ III sur ces correspondances et nous étudierons le problème de la résolution par rapport à .r de la relation entre x' et X.