FONCTIONNELLES DE DEGRÉS QUELCONQUE
Sommaire : ^'al•iaLion d'ordre p et fonctionnelles entières et homogènes de degré/?. — La série de Taylor. — Les fonctionnelles homogènes de Gâteaux.
— Les fonctionnelles de Gâteaux non homogènes. — Séries de polynômes.
— Propriétés des fonctionnelles de Gâteaux. — Théorème de Gâteaux : équivalence des propriétés G et Gi. — Comparaison des propriétés G et Gj.
-79. Variation d'ordre /> et fonctionnelles entières et homogènes de degré p. — Les résultats du Chapitre précédent sétendent aisénienl aux fonctionnelles de degré quelconque. Une fonctionnelle entière et homogène de degré y? est une fonctionnelle U |[j?]| telle que, a:, (/) et a?o (0 étant des fonctions quelconques, L |[À^i + 'JL.ro|] soit un polynôme homogène de degré y>.
Nous dirons qu'une fonctionnelle L admet une variation o^U d'ordre p si l'expression
Î/'U = .^-^U|[a;^). o:rl| !
existe, et est entière el homogène de degré yo en oj? (si elle existe, elle est évidemment homogène de degré p, mais peut-être pas entière). JNous dirons que c'est une variation au sens de M. Fréchct si le rapport
\}\\x-^ lx\ I - u I [.r ] SU — i 52 1: . . . L T,P u
llô^ll'' tend vers zéro avec |j oic ||.
On obtient aisément pour les fonctionnelles entières et homogènes de degré p des formules généralisant celles de MM. Hadamard, Fréchet et Riesz. Au point de vue de M. Riesz, la notion d'une telle
CHAI'. VI. — FONCTIONNKl.l.KS 1)K DEGRES yUEI.CONQl K,= . lOI
fonrlioimellc est liée ù la nolion d'une reparution de masses dans Je v(duiiie V de Tesjjaee E^, à p diinensions défini par les fonniiles
Nous exclurons, pour obtenir une représentation commode, les répartitions introduisant des intégrales de Stieltjes. Nous exclurons aussi les masses finies situées en certains points, cette circonstance n'étant pas compatible avec la continuité dans le elianij) des fonctions de carrés sommables. Nous ne pouvons donc avoir que des masses réparties, avec une densité sonimable, sur des variétés S à h dimensions (A variant de i à/>), que nous représenterons paramétriquement par les formules
/, = Oi (5,, 50, .. ., S/,),
ti,= 0/;( 5i, Si, . . ., S/i),
le point 5,, 52, ... , Sfy décrivant un certain domaine cR. La fonctionnelle étudiée prend alors la forme
(^) Ll/,|f:r]|
= V / / • .• / cc(ii, Si, ..., 5/,)x(0,).ri O2") ... x((ip)dsi ds-î. .. dsu,
qui correspond, par son degré de généralité, à l'expression (11) du Chapitre précédent.
Nous appellerons yo/?c//o^?/ie//é'5 normales de degré ^, en généralisant la définition du Chapitre précédent, les fonctionnelles dans la définition desquelles n'existent pas, quel que soit h variant de i à jD, de groupes de h points distincts de l'intervalle (0,1) jouant un rôle particulier; c'est-à-dire, d'une manière précise, que les variétés S sur lesquelles sont situées des masses, ne peuvent être définies que par des conditions telles que </= tj. L'expression d'une fonctionnelle normale est donc
X x^^{ti)x^-^{ti).. . a*A tu)dti dto.. . dtn, la sommation s'étendant à tous les systèmes de valeurs de a, , aa, . . • , «a
102 PREMIÈRE PARTIK. — LES FONDEMENTS DU CALCLL FON'CTION.NEL.
positifs, «-l de somme p. Ainsi, pour p = 3, on a
-^ f f f 'iiA,\{fi-ti,h)^{fi')^(jz)^(tz)dtidt,dl-,.
On peut évidemment, sans restreindre la généralité, supposer chacune des fonctions cp symétrique par rapport aux variables ti qui correspondent à des exposants a/ égaux.
Il est facile de former les dérivées fonctionnelles successives dune fonctionnelle normale, et de vérilier que la variation de ces dérivées ne dépend jamais spécialement d'un point autre que ceux relativement auxquels la dérivation a été cilertuée. Les dérivées dordre p sont indépendantes de ^ (^ i ; on a
'/. étant un facteur constant facile à former.
Les autres fonctionnelles seront dites fonctionnelles générales. Dans leur définition interviennent certains groupes de h points (h^p) jouant des rôles particidiers, et au moins une dérivée fonctionnelle d'ordre inférieure h p et relative à A — i points dun de ces groupes dépend spécialement du dernier point du groupe.
On forme aisément les conditions pour que la fonctionnelle (3) soit définie, et par suite continue { l'oir remarcjue finale du n" 61), dans le champ des fonctions de carrés sommables. Pour cju'un terme de l'expression (2 ) soit défini dans ce champ, il est nécessaire et suffisant que :
1° Les nombres a,, a^ (//, soient tous égaux à i ou 2;
2^ En désignant par a,, ao, . . . , a, ceux cjui ont la valeur 2, l'intégrale
soit une fonction de ^, t.,. . . . . /<• mesurable et bornée.
80. La série de Taylor. — Si une fonctionnelle admet des variations de tous les ordres, on peut la représenter par la série de
CHAI'. VI. — FONCTKlNN'KI.I.KS DE DliGUICS (JlIKI.CONyUKS. Io3
Tll\ lor
l'oiir oljtfuir cetle (onniilc ot préciser ses coiidilions d'apjjlir.iiioM, il suKil de remplacer' ox par \f{t), et de développer li; piciiiK r mcinhre eu série Miivaiil les puissaiiees croissantes de )..
SI. Les fonctionuelles homogènes de Gâteaux. — Cherclion?. (I al)()i(l à (jucllc condilioa une fonclionnelle normale de la forme (.5) esl une fonctionnelle de (îateanv. On Irouve aisément pour la d('rivée tonclionnellc dun de ses lernics
Il dési>;nanl un produit ('• tendu aux ^ aleurs 1,2....,/ — 1 , /+!,...,/<• de lindiec /.
Si l'un des indices a/ n'est pas égal à i, on voit que cette dérivée fonctionnelle dépend spécialement de .r(f), et U^j n'est pas nul. On remarque en effet que, si plusieurs indices a/ sont égaux, les termes l'orrespondants sont égaux, d'après la propriété de symétrie que nous avons supposée vérifiée par la fonction es, et ne peuvent se détruire. La fonctionnelle normale (3) ne peut être une fonctionnelle de (iateaux que si a, = a^ = . . . ^ a^^ := i , et par suite h = p. Une fonclionnelle normale de Gâteaux, homogène et de degré/?, est donc du type
X x{ti)x(to) . . . x{t,,)dli dtn . . . df,,.
Si l'on jîasse aux fonctionnelles générale (2), on constate de même aisément que, pour que U'^. ne dépende pas spécialement de a"(^), c'est-à-dire que U soit une fonctionnelle de Gâteaux, il faut et il suflit qu'aucun des facteurs X( 9) ne soit élevé au carré, c'est-à-dire que parmi les fonctions B), Oo. . . . , hp il n'y en ait pas deux qui soient égales.
Ainsi la fonctionnelle
^ = f f{t)xm)x{i-t)
dt
n'est pas une foncllonnelle de Gâteaux; pour cette fonctionnelle
n'est pas nul. I*ar contre,
f fit)x(t)x{i — t)x{co%'^T.t)dt,
f xil)dt f fit, ti)x(fi)x{i-t- ti')dfi
sont des fonctionnelles de Gâteaux.
82. Les fonctionnelles de Gâteaux non homogènes. — Clierchons la condition pour qu'une fonctionnelle représentable par une série de Taylor soit une fonctionnelle de Gâteaux. En écrivant o et Ajc dans la série de Taylor au lieu de x et Sic, cette série fonctionnelle s'écrit
pi
\]p désignant une fonctionnelle de x{t)^ homogène et entière de degré />; Uq en particulier est vine constante.
Remplaçant :rparxH-uox. dérivant par ra|)port au, et faisant u =: o, on obtient la formule
SU = A oUi-h. . .H r oU„ + . . .,
ou, en égalant les coeflicients de ùx dans les intégrales cpae représentent les deux membres,
(6) U;^.= X(Ui):, + ...+ ^J(U/.y^ + .... On a de même, par une nouvelle dérivation,
(7) u:;.= ^(u,):^ + ...+ ^(Up;:i--i-...,
La première de ces formules montre que U est une fonctionnelle de Gâteaux si toutes les fonctionnelles U^ le sont. ■En particulier, pour qu'une fonctionnelle représcnlable par une
CHAI'. VI. — i-on(:tio.\nki.i.i;s dk i)i;(;iuis uiEixo.NQLiif. lo
srri«! (le Tayior snil une roiKiioiindli- ii(inii;il<' de (ialc;m\, il faiil qu'elle s(»it (le la loiiiie
( ()) U = l, „ -4- / Oi ( /).ri ()ii/ -h... «- (I
+ y^ I f •ii.ili,!.,, ..., l,,)T{l,Kr(l^)...T(l,,)(lt,dl,...dtp-^....
0 ^ ti «0
Ces séries de Tajlor onl ('lé considérées par M. \ oileira. I.(;s considérations qui précèdent montrent bien leur d(!j^ré de «^('uéralité pai'ini les fonctionnfdles continues dans le cliani)) des i'onclions de cariés somniables, et ayant des variations de tous hîs ordres. Pour arrivera celte forme, il faut l'aire (.leux liypolhèsf's restrietixes : (pie la fonctionnelle soit normale, cl de (laleaux.
83. Séries de polynômes. — On peut représenter par des séries de polynômes des fonclionnelles plus générales que celles représentables par une série de Tayior.
Lii/tolynome de degré p est, par définition, une somme de fonctionnelles entières et liomogènes de degrés o, i, ...,/?. Si ces fonctionnelles sont normales, le polynôme est dit noiinal. Si ce sont des foiictionnelles de Gâteaux, le polynôme est dit de (iateaux. Un polynôme normal de Gâteaux est alors une somme limitée de la forme (9).
Nous appellerons dans la suite (D le domaine des fonctions de carrés somniables dont le module fonctionnel ne dépasse pas un nombre OIl et cô' le domaine des fonctions continues dont le module ne dépasse pas 011. Une fonctionnelle définie et continue dans (©l'est a fortiori dans tO' (en prenant dans chacun de ces domaines la définition appropriée de la distance).
On a alors le théorème suivant, dû à M. Fréehet. La démonstration (jue nous donnerons est diu^ à Gâteaux.
Théorè.me. — Si une j'onclionnelle U est définie et continue dans le domaine (©', elle peut être définie dans ce domaine connue limite de polynômes normaur de Gâteaux.
Divisons l'intervalle (o, i) en n intervalles égaux. Soit ;/ la valeur moyenne de iP(^) dans l'intervalle ( > -j- Désignons par
x„{t.) la fonclion (Icfinie pai^ les formules
et par la condition de varier linéairement dans chacun des intervalles considérés. La fonctionnelle U étant certainement définie pour la fonction .r„(/), posons
Cette expression, en vertu de la continuité de la fonctionnelle U, est une fonction continue de ;, , ç^? • • • ? i/o et tend vers U [ [-e(^)] ] quand n augmente^^indéliniment.
La fonction] continue ?/„ peut, dans le domaine considéré, défini par les inégalités
être représentée avec une erreur inférieure à tout nombre positif donné s„ par un [)olynoine />„(H|, ^21 ■ • ■ ■> ^n)- Si l'on choisit pour les £„ des valeurs tendant vers zéro quand n augmente indélinie, la différence
1 ï^ I [^{n\ I —p,< |< 1 iM [^(J)] — "n\ 4- £«
tend vers zéro quand, la détermination de X (t) restant fixe, n augmente indéfiniment. Les polynômes/),, ont donc pour limite la fonctionnelle U, mais la convergence n'est pas en général uniforme dans tout le domaine fonctionnel considéré.
Or/);,, considéré comme fonctionnelle de x{t), est un polynôme normal de Cîateaux. En effet, en reui plaçant les ç, par leurs valeurs
('o) çi^ n I xi/) dt,
Lui
chaque terme du polynôme /)„ prend la forme
du I I ' 'I "titl: fî, ■■■,'p)^T(fi)x{f.)... x(//,}d/iclf, ... dt,,.
la fonction 'j avant la valeur ni' (Uins une fraction éçale à — du chami»
