HP

ciiAi». VI. — i(i.NCTio.\.>r.i,i,i:s dk ukgkks QUEi.co.xgiiES. 107

(rinlcj^ratlon elo dans le rc^ic du champ. La qnanlilé /?„, somnii' de <('s ternies, esl nu j)olMi<mic luirmal de Tlaleaux, ce quiaehè\ela di-monslralion du llu'orrnie ruont f.

Si. Remarques. - 1" La Iniicilon '^ f[iii intervient dans l'expression (il) est disconliuiie. On peut éviter cet inconvénient en modifiant la déliuition des nombres ç/. Désignant par a„(/ ) une fonction en Ml unie, posil i\ e on luillf dans riniriN aile ( o, i), avant [)our valeur

Ml o venue I dans cil acnn de> iule r\ ailes ( , — ) , et nulle aux |)oints

\ n nj '

(|ni ,s('pareiit ee> julervalles, il snflit de poser

(i-^.) ;,= n i ;j.„(7)r(/) dt.

Lui

De nuMue, on peut rendre continues les dérivées jusqu'à un certain

ordre h de la fonction C3, en prenant pour a.,, une fonction admettant

des dérivées d'ordres i, 2, . . . , h continues, et sannulant aux points

■?" Si la fonctionnelle l admet des variatit)ns première et seconde continues dans le domaine fonctionnel considéré, Mh(çi, Ho, •••• \u) e>t une fonction admettant des dérivées premières et secondes continues, et dont les diflerentielles première et seconde tendent respectivement >ers les variations première et seconde de LJ quand n augmente indénniment, les déterminations considérées de xi^t) et ox{t) restant fixes.

On peut alors choisir le polvnonieyj„ de manière que, non seulement p,i diflere de «„ de moins de s„, mais que ses diiTérenlielles première et seconde diffèrent de moins de £„ de celles de u,i- pour tout système de déterminations de ^,, Ho,.... ç„, c/çi, r/Ho----- ^l^n^ inférieures en module à 311.

On obtient alors des polvnomes de (iateauxP„| [x{t )]| qui tendent vers L |[a;U )]|, tandis que leurs variations première et seconde tendent vers celles de U.

Un ïésultat analogue peut naturellement être obtenu en considérant les variations jusqu'à un ordre quelconque.

3" On peut démontrer un théorème analogue en se plaçant dans le

Io8 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

domaine tO des fonctions xit) de carrés sonimal)les, telles que

el en considérant une fonclionnelle U continue dans ce champ ('définition de la continuité liée au voisinage en moyenne).

On ne peut que diminuer le premier membre de l'inégalité (i3) en remplaçant x{t) par sa valeur moyenne ç, dans chacun des intervalles

( } -)• La fonction discontinue jr,, f 0 ainsi formée vérifie donc

\ ri n/ ^ ^

encore la condition (i3). Donc U|[a:„(/)] | est une fonction continue de i,, Ç2,---i Ç/n tendant vers U|[^(<)]| quand 71 augmente indéfiniment. On arrive alors à un résultat analogue à celui du numéro précédent, le raisonnement se terminant de la même manière.

La remarque du 2" du présent numéro se généralise aussi à ce nouveau point de vue.

80. Propriétés des fonctionnelles de Gâteaux. — 11 est remarquable qu'une fonctionnelle continue quelconque soit obtenue comme limite, non de polynômes quelconques, mais de polynômes normaux de Gâteaux. La propriété caractéristique des fonctionnelles de Gâteaux disparaît donc à la limite.

Il est naturel de penser qu'elle ne disparaît pas à la limite si la convergence est uniforme dans le domaine fonctionnel considéré, et que par suite les fonctionnelles de Gâteaux, dans le domaine CD ou dans le domaine (D', peuvent être caractérisées par la propriété suivante : el/es peuvent être définies comme limites de polynômes normaux de Gâteaux, la convergence étant uniforme dans le domaine considéré.

Nous appellerons cette propriété : propriété (/. Nous appellerons propriété Ç]' celle qui nous a servi jusqu'ici à définir les fonctionnelles de Gâteaux.

Nous dirons enfin qu'une fonctionnelle a la propriété (j'i dans le domaine cô si :

1° Elle est uniformément continue dans le domaine cD; 2° Quel que soit z positif, on peut déterminer n tel que

(M) iU|[.r]|-U|[.r„]||<s,

xi^t) étant une fonction quelconque du domaine cï) et x„{t) étant

cil M'. VI. — K()Ncti()Nm:i-i.i;s di: hkghks yi ki.conqi ks. log

la fonction escale, dans chacun des i/i(er^'allcs l > -), à hi

valeur moyenne de x(t) dans cet inln-K-alle; celle fonclion npparlienl nécessaireincnt au doniaino (0.

Nous allons d'abord déinoutrcr 1 identité des |)r()|jiiélés (j et (j'i . Nous comparerons ensuite les propriétés d' et (|' .

86. Théorème de Gâteaux : équivalence des propriétés (j et (j',. — Nous nous placerons dans le eis de ti)noti(inni'lles vénlîanl ces propriétés dans le domaine cO. 11 <'n résultera des différences de détails avec les raisonnements de (lah-aux, (jui s était placé' dans le domaine CO'.

Les polynômes normaux de Gâteaux considérés, devant être délini^ dans tout le domaine Cit>, sont formés avec des fonctions ;5^ de carrés SDinmahles.

i" La inopriélé (J entraine la propriété <j|. — La propriété (/, étant évitlemment une propriété qui se conserve à la limite, si L tend uniformément vers une limite dans tout le domaine cO, il suffit de vérifier que la propriété (j'i appartient aux polynômes de Gâteaux, et pour cela de vérifier qu'elle appartient à un de leurs termes, cestà-dire à la fonctionnelle

(i3; / / •••/ 'iJx.tî-.--,t,,)x{ti)x{t2)...x(tp)dtidti...dli,.

la fonction 'j étant symétrique et de carré sommable. On peut alors la remplacer par une fonction contiime et symétrique qui en approche en moyenne de moins que tout nombre donné e'; l'erreur qui en résultera sur l'intégrale (\ù) sera, dans tout le domaine tO, inférieure à £''")R/'. et cela ne change rien en ce qui concerne la propriété ( ) , .

Il sutlit maintenant de démontrer que 1 on commet une erreur aussi petite que l'on veut en remplaçant x(^t) par Xn{t) successivement dans les p facteurs de la fonction intégrée dans l'expression (i5), c'e>t-à-dire que

X 1 z{ti, ti tp>[j^(ti)—X-n('i)]d(i,

est. pour n assez opand, inférieur dans tout le domaine (D à lOiil nombre donné i\ y^.- . ■ -, y'p désignent, soit jc, soit a:„, en tout cas des fonctions du domaine (0.

La fonction c; étant continue, et par suite uniformément continue, peut être remplacée, si n est assez grand, par (i,-f '^■^, '^i étant

constant quand /, varie dans chacun des int('r\ ailes ( > -j. les.

autres variables to^. ■ ■ -, tp restant constantes, et cp.^ ayant son module inférieur à un nombre r, si petit qu'on veut. Le terme de l'expression (i6) provenant de cpi est nul. puisque 3C{ti) — a:,i{ft) a ^^^ valeur moyenne nulle dans tout l'intervalle considéré; l'autre terme, et par suite l'expression (i 6), est inférieur 'd2r^D]LP, quantité aussi petite que l'on veut. c.o.f.i).

2° L(( propriiUé (Ji entraîne la propriété (J. — Pour dém.ontrcr ce résultat, il suffit de former un polynôme normal de Gâteaux P„ qui difVère de U, dans tout le domaine (ô, d'une quantité inférieuri' à t. On y arrive aisément en suivant la voie indiquée n° 84, 3°. Remplaçant d'abord L'i[.i'(i)] j par

nous commettons une erreur qui, pour n assez grand, d'après la propriété f)'), 2°, est inférieure à -, non seulement pour chaque fonction x{t)^ mais dans tout le domaine (fc).

La fonction iin, évidemment continue, et que l'on n'a à considérer que dans le domaine fini

peut être remplacée, avec une nouvelle erreur inférieure à -> par un polvnome normal de Gâteaux

Pnizi, h: •••, ?«) = I'«|[-rC/)]l, C.Q.F.D.

87. Remarques. — i" Dans la deuxième partie de la démonstration précédente, l'hypothèse de la continuité uniforme de L | [^(')] | n ^i pas servi. On peut la remplacer par l'hvpothèse de la continuité simple, même par l'hypothèse encore moins restrictive de la continuité simple, la définition considérée étant celle liée au voisinage

CIIAP. VI. — FONCTIONNELLES IM', lllîCiRKS QlELCOXQl F.S. I 1 I

uiiirni'iiic ; si |;i rdiKliiiiiiicllc l csl iiiiisi (Idinii' cl coiil iiiin; diiiis le (loinaiiic (0, t-l joiiil de la piopiich' (j'i, :>-", 1»' laisonncmcnl snhsislc ; clic jfuiil (le la |»r()jn'iùlé (| cl, par siiile, de la |)r(»|)riélé d', telle ([lie ii(>ii> laNons énoncée, l^llc csl iinlforniénicnl ciinlmiic dans le domaine lonclionncl lû considéré, la délinilion consid*'! ce <\(' la c(inliniiiLé élanl c<'lle liée au \<»lsina i;(' en nioNcnnc, celle (|iii r'-\ la d('linillon nalnrclie dans le domaine Uc).

\ in-cniièrc vue, on auiait j>n penser (jn il \ a jiliisicnrs sortes de fonolionnclles joulssanl de la propriélé (J,, suivanl la définition que Ion adopte de la dislance de deux fonctions, et par suite de la continuité. On voit par la remarque qui précède (pie, dans un champ fonctionnel déterminé, une définltiou déterminée s impose, et qu'il est plus exact de dire ([ue les din'érentes sortes de fonctionnelles considérées se distinguent j)ar le champ fonctionnel dans le(piel elles sont définies èl continues. Ceci précise les remar(|ues du n" 13.

2° Dans l'énoncé de la propriété Cj*), nous avons considéré des intervalles égaux pour simplifier le langage. On ne changerait rien d'essentiel aux raisonnements et, par suite, on aurait une propriété équivalente à la propriété (j", si Ton prenait une loi différente |)our la division de l'intervalle (o, i), ou bien si l'on ne précisait pas une loi déterminée.

. 3" Dne remarque analogue à celle du n" 84, 3", peut être faite au sujet de la propriété (],. 11 peut arriver qu'une fonctionnelle vérifiant cette propriété n'admette pas de variation, ou bien en admette une (jui, considérée comme fonction de x{t)^ ne vérifie pas cette propriété. Mais, si SU vérifie la propriété (ji, on peut définir le polynôme P« de manière (jue, non seulement L — P„, mais SU — SP„, aient leurs modules inférieurs à z pour toutes les déterminations de xij) et ùx{t) intérieures au domaine CD.

Nt)iis généraliserons les notions des propriétés (j et Cj",, et Tes principaux résultats qui précèdent dans le dernier Chapitre de la troisième Partie.

88. Comparaison des propriétés Ç et C^' . — Il \\y a évidemment pas identité complète entre ces deux propriétés. La première n'implique pas l'existence des dérivées fonctionnelles; la seconde suppose au moins l'existence de la dérivée fonctionnelle première. On peut, d'ailleurs, l'énoncer sans supposer l'existence de la variation seconde

o^U et de la (l(''iiv(''e fonctionnelle l j.,. . En effet, la condition L'',,= o signifie qne, la variation rjx{t) étant en valeur absolue inférieure à //

dans l'intervalle {t — e, t -\- s), et nulle en dehors de cet intervalle, la

oU' valeur au point t du rapport -y-^ tend nécessairement vers zéro avec

h et î, sauf peut-être pour des poinls constituant un ensemble de mesure nulle.

Nous allons montrer 1 équivalence des propriétés Ç^ et Ç|'' pour les fonctionnelles vérifiant les conditions suivantes :

1° Existence, dans le domaine (t), dune varuition première normale et d une variation seconde.

2" La dérivée U^ est continue par raj)|)ort à /, les ditFérentes fonctions de t obtenues en faisant varier x{t) étant également continues.

3" La répartition des masses liées à o-L est, dans la bande \t — ^, I ■< /, la même que pour une fonctionnelle normale, et L ^.,.^ est dans cette bande inférieure en module à K, / étant aussi petit, K aussi grand {ju'on veut, mais tous deux indépendants de x{t).

4° La dérivée l ,;; est continue, tant par rapport à / que comme fonctionnelle de .vit).

On pourrait d'ailleurs aisément remplacer cette dernière condition par la condition moins restrictive cjue le point de l'esj)ace fonctionnel qui re[)iésente la fonction Ij ^.^ de / dépende d'une manièpe continue de celui qui représente xit)\ il suffît que L ',2, considéré comme fonction de t. soit de carré sommable, pour que cette condition ait un sens très pn'cis.

89. Divisons rinlervalle ( o, i) en // intervalles égdux, le nombre n étant pris assez grand pour que \ l' — ^|=— entraîne dans tout le domaine CD

(';) \^''xKl']—^'~r,t\\ = r^-

n étant un nond)re positif arbitrairement petit. Cela est possible, d'après l'hypothèse ci-dessus, relative à L'^..

Désignons \^arf(() et F(^) deux fonctions du domaine (payant même valeur movenne dans chacun des intervalles ( , — ), et

par fi{t) la fonction égale à f{f) de o à - et à F(/') de - à 1

CHAI'. M. — l ONCTIONNKLLKS DF DKGKKS QLELCONQl'ES. Il)

iNtstins

La dillcrcncc L j [ \'{ t }\\ — L | [/(< )J j, «jui intervient (l;in> ItMioneé de la propriété (ji ('•quivalenlo à la propriété (j", ésl la somme do n termes, déprudanl de l'indice i. dont lun quelconque s'écrit

i ii//<oii-i i[y;-i(/'ii = f ?',(>.. rf). = 'f:-.n-r io:ii)d>..

On en déduit

nS) U I LF(/)] I - U I [ AO] 1 =21 ^'"^ ~2 / ^•?KÀ)^>-.

Calculons d'abord ■:>',( \). On a

Dans cette intégrale, remplaçons L j. par sa valeur en un point déterminé de l'intervalle considéré; elle devient nulle, puisque la valeur moyenne de g{t) dans cet intervalle est nulle. L'erreur sur L^^,, d'après la formule (17), est au plus égale à r, ; l'erreur sur 'j^(i) est donc au plus égale à

■ r. f \g{t)\dl, lui

et l'erreur sur la première partie de l'expression (iH). a

■r, f \g(J)\dt^2r,0\l, ^ 0

cpiantité aussi petite que l'on veut.

Or la propriété Ç est équivalente à la propriété CJ' , 2°, puisque nous ne nous occupons que de fonctionnelles continues admettant une variation. Elle équivaut donc à la propriété que l'expression (18) puisse être rendue aussi petite que l'on veut; la première partie de cette expression étant aussi petite que l'on veut, nous sommes

Il4 PREMIÈHE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

ramenés à démontrer que Texpression

(iq) y / X^-(>0C?>.

peut être rendue aussi petite que Ion veut pourvu que n soit assez grand, lorsque Uiî= o, et dans ce cas seulement.

00. i" Supposons d'abord que L^.^o, et que L^.j., soit nul aussi pour / — ;, assez petit, de sorte que, dans la répartition de masses liée à o-L . il n"v ait pas de masses dans le voisinage de la droite

La dérivée '-^"lO^) n'est autre chose que la variation seconde de L, •calculée pour

X{t)=fi-,{t)-h\gi{t), txit) = gi(t).

La détermination de ox{t) n'étant difiérente de zéro que dans Fin-

Icrvalle ( , -], l'intégrale qui exprime o-L devra être étendue

seulement au carré

Il n n n

Or il n'y aura pas de niasse dans ce cai*ré, pourvu que n soit assez grand. Par suite, l'expression (19) sera non seulement aussi petite que Ton veut, mais rigoureusement nulle.

2° Supposons maintenant toujours Ljî=o, mais n'imposons plus 41 I '^.j. d'autre hypothèse que celle faite dans l'énoncé (n°88, 3°). On aura alors

ç';(X) = f f Ll,., I [fi-, - igi] 1 gi{t)ffi( ^) dt dti

= f f '-•-. I [//-i - >-^/] I S'{t)g(ti)dt dt„

CHAI'. VI. — 1-ONCTIONXEI.HÎS DE DEGRÉS QUELCONQUES. Il5

et roxprcssioii ( i()) est au plus éf^alc ù

Le résulliit ohlcnu csl donc encore dt'-monlrr.

3" 11 resle à se placer dans le cas où L/^» n'est pas nul, cl à niuntrer qu'on peut s'arranger dans ce cas pour que l'expression (19) reste, quelque grand que soit //, supérieure en valeur absolue à un nombre fixe G, d'ailleurs aussi petit qu'il sera nécessaire.

Le terme qui provient de Lj.,^ tendant vers zéro, il suffit de tenir comph' du lerme qui provient de Lr;, qui s'écrit

Or, U".2 n'étant pas nul, on peut, en vertu de l'hypothèse de la continuité (n° 88, /î"), choisir un petit intervalle (<i, to) dans l'intervalle (o, i), et une petite sphère du domaine (D de centre f{t) et de rajon /•, telle que L'^.. soit d'un signe déterminé, par exemple positif, et supérieur à un nombre fixe m, si t est dans l'intervalle (t,^ t^) et Jc{t) dans cette sphère. Prenons F(f ) sur la surface de cette sphère et ne différant de/(/) que dans l'intervalle (^1, t-^)- L'expression (20) est évidemment supérieure, quelque grand que soit /?, à

/ A rfA / mg'^{t)dt= ,

ce qui achève de démontrer le théorème énoncé.

Les propriétés (J, ou (/, , apparaissent donc comme équivalentes à la propriété (j', sous des conditions très peu restrictives, et le sont probablement toutes les fois que l'énoncé de ces propriétés a un sens. Mais elles conservent un sens dans certain cas où la propriété (j'' n'en a pas. Aussi paraît-il indiqué de modifier un peu désormais la définition des fonctionnelles de Gâteaux, en les définissant par la propriété C\ ou par la propriété équivalente Ç|.