NOTIONS SUR LES SÉRIES DE FONCTIONS ORTHOGONALES
Sommaire : Variétés linéaires à n dimensions dans l'espace fonclif>nne] ; expression de la distance. — Définition des angles. — Composantes d'un vecteur donné. — Choix d'axes rectangulaires dans une variété linéaire quelconque. — Variétés linéaires à une infinité de dimensions. — Suites complètes et suites incomplètes. — Changement d'axes rectangulaires dans l'espace fonctionnel. — La fonctionnelle considérée comme fonction d'une infinité dénombiable de variables indépendantes.
91. Variétés linéaires à n dimensions dans l'espace fonctionnel. Expression de la distance. — Considérons n -\- i fonctions /„ (^), fi{t), • • •^/n{i) données. Les points de l'espace fonctionnel représentant les fonctions
•'■(0 =/o(0 -^ ajiit) -f- atfiil)^.. .+ a„J),(f)
constiluenl une variété linéaire à n dimensions on pla/t'V,i. Les quantités «,, a-j, . . ., an peuvent être considérées comme des coordonnées dans ce |)lan.
Nous considérerons des plans contenant l'origine, c'est-à-dire le point qui représente la fonction xi t) ^ o. On peut alors représenter l'ensemble des points du plan P,, par la formule
(i) x( t) = aif^(t)^a,f,{t)-^...+ a,Jn(t).
Considérons la distance /• d'un point à l'origine. Nous prendrons la définition de la distance donnée par la formtile
définition qui est celle que nous avons surtout considérée jusqu'ici et
CIIAP. VU. — CONSIDÉnVTIONS (iKOMÉTUIQUES, Ii;
{[lie nous ronsidéi'crons exclusivement dans la suite. Pour une fonclion (lu |>lan P„, on a
les coefficients A/ et A,- y ayant des valeurs faciles à former. 11 })eul arriver que cette formule j)renne la forme
11 faut et il suffit nour cela nue Ton ait
fnt)dt
fi{t)fj{l)dt = o {i, j, =1, 2, .... n; i^i).
Lorsque la première de ces conditions est véi'ifiée par une fonctiony,(/), on dit que cette fonction esliiorinale ; lorsque la deuxième est vérifiée, on dit que les fonctions y,(^) el/j^l) sont orthogonales.
Supposons donc que les fonctions f{{i), J\{t)-! • • -^ f/i{t) constituent un système de fonctions orthogonales et normales, de sorte que la formule (2 ) est applicable. De même la distance p des points qui représentent les fondions oc{t) et
(4) y{t) = b,f,{t ) + bif^it) +. . .+ bnjn{t)
est alors donnée par la formule
p2=(^,,ai)'-+(62-a2)2-^...--(6„— «„)'•
Ces formules montrent que le plan P^ est identique à l'espace E,^ de la géométrie à n dimensions, les coordonnées considérées étant rectangulaires. Autrement dit, une figure étant définie par les distances de ses points deux à deux, une figure formée par des points du plan P„ est identique à la figure formée par les points ayant respectivement les mêmes coordonnées dans l'espace E„. On peut donc dire que le plan P„ est un hyperespace ordinaire à 11 dimensions.
92. Définition des angles. — Considérons deux vecteurs OM et OM', de longueurs respectives /' et /'', représentant des fonctions x{t) ex. y[t). On appelle angle de ces vecteurs l'angle 0 défini parla
Il8 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.
formule
xit)y{t)dt.
En remplaçant T{t) e\. y{l) par les expressions (i) et ('î), et tenant compte des formules (3), il vient
rr cosô = «1 6i-}- «2^2^-- • •+ <^ii^ii-
Cette formule montre que, pour les fonctions du plan P,,, il y a identité entre cette définition et la définition habituelle de l'angle dan* l'espace à n dimensions.
On peut de même appeler /v'cosO produit scalaire des fonc-
lions x[t) et^(0, et /-'cosO — —projection de la fonction yij) sur
le vecteur OIM. Ces définitions sont identiques à celles employées dans l'espace à n dimensions.
Si l'on considère une figure de l'espace fonctionnel, formée d'un nombre fini de points, on peut la considérer comme tracée dans le plan défini par ces points. Dans ce plan, les relations de la géométrie ordinaire s'appliquent. Les relations connues entre les angles et les côtés d'un triangle, entre les faces et les dièdres d'un trièdre (la définition du dièdre étant la même que dans la géométrie ordinaire), s'appliquent donc.
On remarque que la définition des fonctions orthogonales donnée n° 91 n'est qu'un cas particulier de la définition que nous venons de donner de l'angle de deux vecteurs; deux fonctions orthogonales sont représentées par des vecteurs dont l'angle est droit.
Si un vecteur OM est la résultante de vecteurs OM,, OMo, ..., OM^ orthogonaux deux à deux, on a évidemment
* 0M2= OMf-t-OiMi + ...+ OM;,.
93. Composantes d'un vecteur donné. — Soit OM un vecteur du plan P„, représentant une fonction x{t) de la forme (i). Nous supposons qu'on sache qu'elle est de la forme (i), mais qu'on ne connaisse pas les coefficients «,, «o, . . . , «„. On les détermine aisément par la formule
fj) «/= f fi(t)x{t)dt.
CHAI'. VII. — coxsidkh.vtions (iiio.Mi'rrRiQiKS. ii<>
(îromélrnjiiciucnl , cclii rcsicnt à ('■crlrc (jiic r/, <'>l la loiii^iu'iir dt; la |)i(ij('(li()n (le la roiiclion X{t) sur Taxe des a; (' ).
Si l'on ne sali pas si .v[l) est de la l'orme (i), on pcul calculer les coefficients a; pai' la lormiilc (5 ), et former la fonction
Elle ne coïncide |>as a\cc ^(<) en j^énéral ; mais, en posant
f fi{/);(n dt= f fi't){\{t) - x{()-\ dt = a,-ai= o.
/ La fonction ;(/ ) est donc orthogonale à loiis les fi{t), el par Mille à toutes les fonctions de la forme (i); elle est orthogonale au plan P„. Les formules (5) et (6) nous conduisent donc à la décomposition du vecteur OM en un vecteur OH du plan P„, représentant la fonc tion X(/), et un vecteur HM, normal à ce plan, représentant ^{t)- On a é\idemment
I x^-{t)dt= X^t)dl-+-j i-{t)dt
= a]-hal + ...+ al-h f \-iJ)dl.
94. Choix d'axes rectangulaires dans une variété linéaire quelconque.— Nous allons montrer que les conditions (3) ne restreignent nullement la notion de variété linéaire, mais que dans une variété linéaire quelconque, représentée par la formule
(8) ^(0 = ^rfi(0-+-^-2?2(0 -^- ■• + «/.?/;( 0.'
on peut choisir n fonctions orthogonales et normalesy", {t\ f-i{l\ ..., /'ft(^) telles que la formule (i) représente la même variété.
Bien entendu, nous supposons les .fonctions '-2, f /), c22(^ ), . . ., C5„(^) linéairement indé[)endantes; dans le cas contraire, on aurait une
(') La quaiitilé a^ représente évidemment la plus courle dislame du p(jiiU x {t) à n'importe quel point, non seulement du plan P„, mais même de l'espace fonctionnel, pour lequel «; soit nut. C'est la distance au plan a,= o. Si la fonction /, (0 n'était pas normale, il y aurait lieu de diviser l'intégi-ale (5) par sa moyenne quadratique.
variété à moins de n dimensions, et rinlroduciion de certaines de ces fonctions serait inutile.
Nous emploierons le langage géométrique et chercherons à déterminer les vecteurs OA,, OAo, . . ., OA„ qui représentent les fonctions /'/(/). Prenons d'abord OA, de longueur unité et dirigé suivant le vecteur OM, qui représente o,(i). Décomposons ensuite le vecteur OM2 qui représente 'f2(') en OHo dirigé suivant OA, (c'està-dire OM,), et H^Mj normal à cette direction; pi*enons OAo parallèle à H2M2 et de longueur unité. Décomposons de même OM3 en OH3 situé dans le plan OAïAo (qui n'est autre que OM, Mo), et H3M3 perpendiculaire à ce plan; prenons OA3 parallèle à H3M3 et de longueur unité. Continuant de même, nous obtenons n vecteurs OA,, OA2, . . ., OA,j, de longueurs égales à l'unité et orthogonaux deux à deux, qui déterminent une variété linéaire à n dimensions évidemment identique à celle donnée. Le résultai clicrché est donc obtenu.
Ainsi la variété ( 8) est du type étudié n"' 91 à 93; seulement, elle est rapportée à des coordonnées obliques. On peut la rapporter à des coordonnées rectangulaires, et les formules penuellant de passer d'un système à l'autre ne sont autres que les formules habituelles du changement de coordonnées.
On peut considérer en particulier des changements de coordonnées rectangulaires. 11 est facile de retrouver dans ce cas les formules de la géométrie ordinaire. Pour qu'on soit dans ce cas, il faut et il suffit que les fonctions 'fi(/) soient orthogonales et normales, c'est-à-dire, en posant
que
{ Cl,(<"l,y-+- C2,/C2.y-+-. . .-t- C„jC,ij= o.
On peut inversement exprimer les //^ {t) en fonction des '^i{t) par résolution du système (9). On trouve évidemmenl
avec
