CII.VP. VII. — COXSIDKHATIONS GEOMETRIQUES

c'est-à-(Jire

(il) /hit) = cu,\^\(l) -T-ci,,ï ■^i{t)-ir...-\- c/,^„9„(t I. ( A = I, ?., . . .. n).

Homme (ViùWruvb les f/i{t) sont (]e> (onctions ortliogonales et normales, il \ ii'nl

Ces formules, par la manière dont nous les avons obtenues, résultent (les formules (lo). On peut de même, inversement, déduire les formules (lo) des formules (12); les systèmes (lo) et (12) sont donc équivalents.

D'autre part, la comparaison des formules ( i), (8), (9) et (11) donne sans peine les formules

(14^ a,= Ci,,ai-+- Ci jUi-h. . . 4- c,ijan,

qui permettent de pa^ser du système de coordonnées a,, y..,, .... y.„ aux coordonnées a,, Oo ««, ou inversement.

9o. Variétés linéaires à une infinité de dimensions. — Considérons maintenant une suite indéfinie de fonctions

orthogonales deux à deux et normales. La formule

qui généralise la formule ( i ), définit une variété linéaire, ou plan, à une infinité de dimensions, contenant l'origine. Soit P cette variété.

Les remarques faites au sujet des plans P„ s'étendent sans difficulté à ces variétés aune infinité de dimensions. Ainsi l'hypothèse que les fonctions /,(^) soient orthogonales et normales ne restreint en rien la généralité de la notion de plan P.

Si Ton sait qu'une fonction est représentable par une série de la forme (i5), on peut encore en obtenir les coefficients par la formule (5).

Prenons maintenant une fonction j-{t) de carré sommable, à cela près quelconque. Calculons les coefficients a/ par la formule (5), et

formons la série

(i6j ai/i{n-^aif.2(t)-h...-^ anfn(.i)-^

Il s'agit d'étudier si elle représente une fonction, et si cette fonction est ou non x( t).

Appelons X„(/j la somme des /? premiers termes, et posons

La formule (^) donne

I x^( f) d( = a^i-h aj-^- . . .-+- al -f- j ^l

(t)dt,

d'où résulte que la série Sa,', est convergente, sa somme étant au plus égale au premier membre.

Appelons A,, le point de l'espace fonctionnel qui représente la fonction X„ (t). Si Ji' >> /i ^ N, on a

quantité aussi petite qu'on le veut si N est assez grand. Donc A,i tend vers un point déterminé A. Analyliquement, cela signifie que \,i[t) converge en moyenne vers une fonction de carré sommable X(<).

Bien entendu, cela ne veut pas dire que la série (i()) converge pour chaque valeur de t. Elle converge seulement en moyenne. La valeur de X(^) peut d'ailleurs être modifiée arbitrairement pour les points d'un ensemble de mesure nulle. On a vu que, dans ces conditions, X(/) peut être considéré comme parfaitement connu si l'on sait calculer

U7) f X(t)y(t)dt,

y{t) étant une fonction de carré sommable, à cela près quelconque. Cette intégrale est la limite, pour n infini,

(i8) r X„{t)y(,t)dt,

puisque

j [X{t} — \„i i)]y{t)dt i ^ I [\it) — X„(t)Ydtj y-{t)df,

CIIAP. Vil. — CONSiniillATlONS GKOMKTRIQl'KS. lïS

(|n;mlil«'' (jiil Icnd vers zéro. Or, en posiint

6«= f /nit)J if)c/(,

Texpression (i8) sV-cril

L'expression (17) est donc lu somme de la série '^(t„h„^ dont on peut vérifier immédiatement qu'elle est convergente, puisque l'a* et "^h'^ le sont. La fonction \(^) [)eut être considérée comme connue.

La fonction x{l) apparaît alors comme la somme d'une fonction X(^) représentable par la série (16), et d'une fonction \{t) orthogonale à toutes les fonctions y/(0, puisque

J //( /i^Ù ) dt — f fii t \xU) dt — lim / /,( t)\n^t') dl = «/— «/= o.

La fonction x{i) donnée sera alors représentable par la série (i5), ou non, suivant que cette fonction ç(^) est nulle ou non.

96. Suites complètes et suites incomplètes. — Nous dirons qu'une suite de fonctions orthogonales est complète s'il est impossible de trouver une fonction git)-, non identiquement nulle, identique à toutes les fonctions de la suite. Elle est incomplète dans le cas contraire.

Dans le premier cas, la fonction ;(^) du numéro précédent est sûrement nulle, et par suite une fonction x{t) de carré sommable est toujours représentable par la série (i5). On peut dire que le plan P constitue tout l'espace fonctionnel, et les coordonnées ai constituent un système de coordonnées rectangulaires dans l'espace fonctionnel.

Ce cas est d'ailleurs eflfectivement possible. La théorie des séries trigonométriques, dont nous avons rappelé les principaux résultats au Chapitre 111, montre que la suite

I, y/acosa-f, v^2sin-2-^, ..., ^■ico^iiiT.t^ / 2 sina/i-/.

est une suite complète de fonctions orthogonales et normales. 11 n'existe aucune fonction orthogonale à toutes ces fonctions, et c'est pour cette raison que toute fonction de carré sommable est représentable par une série trigonométrique.

124 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS Dt CALCL'L FONCTIONNEL.

Le cas des suites incomplètes est évidemment aussi possible. Il suffit de supprimer des termes d'une suite complète pour obtenir une suite incomplète. Dans ce cas, il existe au moins une fonction orthogonale à toutes celles de la suite, et qui n'est évidemment pas reprt-sentable par une série de la forme (i5 ). Le plan P, quoique ayant une infinité de dimensions, ne représente qu'une section de l'espace fonctionnel.

On démontre aisément que toute suite incomplète peut être déduite d'une suite complète par suppression de termes en nombre lini ou infini.

Il n'est pas nécessaire que les fonctions d'une suite soient orlhoi;onales pour qu'on puisse se poser la question de savoir si la variété linéaire qu'elles définissent constitue ou non tout l'espace fonctionnel. Ainsi, considérons la suite

Par application du procédé indiqué n° 94, on en déduit une suite de polynômes orthogonaux

CiO) 1, fitt), fiit), ..., fn(t), ...,

qui sont bien connus sous le nom de polynômes de Legen^he. Les /i premières fonctions de la suite (20) sont évidemment des combinaisons linéaires et homogènes des fonctions correspondantes de la suite (19), et inversement. Une fonction orthogonale à toutes les fonctions d'une des suites le serait à toutes celles de l'autre; on démontre qu'il n'en existe pas, et par suite la variété linéaire définie par les fonctions (20) constitue tout l'espace fonctionnel.

On voit que, sans passer par l'intermédiaire des suites de fonctions orthogonales, si l'on se donne une suite de fonctions non orthogonales,

comme la suite (19), et si Ion démontre qu'aucune fonction ne peut être orthogonale à la fois à toutes ces fonctions, on peut affirmer que la variété linéaire qu'elles définissent constitue tout l'espace fonctionnel. On peut approcher en moyenne autant que l'on veut de toute fonction de carré sommable par une somme de la forme

«l?i Cl-H «2'-p2( <,) -H. . .-!- Cln^nit)'

CIIAP. VII. — C()NSIl)i;RATIONS (IKOMKTUIQUES IlG

SeulemonL la dillércnce essentielle entre ce cas et le cas des fonctions orthogonales est que, lorsqu'on améliore indéfiniment l'approximation, n augmentant indéfiniment, le coefficient Oi d'indice fixe / ne reste pas fixe. Au contraire, dans le cas des fonctions orthogonales, on peut prendre le coefficient donné |)ar la formule (5 ), qui dépend de i seulement et non de n.

97. Changements d'axes rectangulaires dans l'espace fonctionnel. — Considérons dcuv suites

(>.\) fl^t), /îU), ..., /n(t), ....

(9.9.) Oi(t), tfoÙ), .... «p«Ù>, ...,

de fonctions orthogonales et normales, la première étant complète. En posant

Cl,,i= f J'ii^ t \zn t)(tt,

on peut donc écrire

(9.3) ^i^ f) = Ci^,-fi(t}^Ctjfz(t)-{-

Le fait que les fonctions ^{{t) soient orthogonales et normales s'exprime par les conditions

[ Ci,,c,,y-4-C2,/C2,y-h...= o {IT^J)-

La résolution des formules (aS) par rapport aux fonctions yy%(i) est d'ailleurs possible ou non, suivant que la suite (22) est elle-même complète ou non. Si, en eft'et, cette suite est complète, on peut intervertir le rôle des suites (21) et (22) et écrire

(25) //,( O = CA,i?i(M-t-C/,,2r2<r»+

Réciproquement, si les fh{t) s'expriment par des séries de fonctions <^i{t), toute fonction de carré sommable ^(j), pouvant être approchée en moyenne autant qu'on veut par une somme de fonctions fh{t) en nombre fini, peut l'être aussi par une somme de fonctions '-3/(0? ^6 qui prouve que ces fonctions forment une suite complète.

Dans ce cas, le fait que les fonctions fhij)., données par la formule (20 ), soient orthogonales et normales, s'exprime par les for-

mules

{■ib) '.

Dans le cas contraire, /^ (/) est la somme de la série (aS), et d'une fonction ghit) orthogonale à toutes les fonctions ^i{t)^ et qui, pour au moins une valeur de /«, n'est pas identiquement nulle. Si c^ est son module fonctionnel, celui de /a(^) étant i, on a pour cette?valeur de h

On voit d'ailleurs sans peine que la somme SpJ^ (finie ou infinie) est égale au nombre de fonctions qu'il faudrait ajouter à la suite (22) pour la rendre complète.

Contrairement à ce qui se passe dans le cas d'un tableau fini de 11- coefficients a y, le système (26) n'est donc pas une conséquence nécessaire du système (24). S'il est vérifié, et dans ce cas seulement, le système (23) est résoluble, par rapport aux //,(/), par la formule (25).

Si les deux suites (21) et (22) sont complètes, une fonction x{l) de carré sommable est de la forme

les «,et a/j étant les coordonnées rectangulaires dans deux systèmes ditïérents. On a, pour passer dun système à l'autre,

Ji = j f/i' t)X

«A = / f/i' t)x{t) dt,

ou, en remplaçant 'fk{t) par sa valeur (23),

(28) a/= Ci,,ai-h C2,,«2-i-- • • • On a de même

(29) rt/^— C/,^l-f- C/,,,<72 +

Cette dernière formule n'étant vraie que si la suite (22) est complète, on voit que la formule (28) n'est résoluble par rapport aux «/, les conditions (24) étant supposées vérifiées, que lorscpie les éga-

CIIAP. VII. — CONSIDICRATIONS (ilCOMKXniQlES. 12;

lités (:>Ji) sont vraies aussi, cl non rinrgalilé {:i~). H suffit même, d'après ce qui précède, de vérifier la première égalité («')j; l'aulrc en résulte nécessairemcnl, el dans ce cas la résolulion cherchée esf donnée par la formule i-H)).

1)8. La fonctionnelle considérée comme fonction d'une infinité dénombrable de variables indépendantes. — D'après ce (pii pr<'(c(|c, la donnée d'une fonelion x{l) de carré sommable dans l'inUir- \n\\c ( G, i) équivaut à la donnée d'une suite de coefncienls «,, a^, ... tels que la série ^lal converge. La théorie des séries Irigonomélriques nous avait déjà conduit à ce résultat; la théorie générale des séries de fonctions orthogonales nous donne une infinité de manières de l'obtenir, chacune définissant un système d'axes rectangulaires dans l'espace fonctionnel.

Une fonctionnelle Uj[ii?(f)J| peut alors clic considérée comme une fonction des variables «7,, a-,, . . . , (t„, . . .

U I [xi t)] I = «(«1, «2) • • ■ ; <"';;) • ■ • '•

La dislance de deux points de l'espace fonctionnel étant définie par la formule

r-z= I [ Kl / I -- .ri /)]- dt — Si 6„— a„ i- OÙ

a„ = / 7/(1 t )X{ t) dt, •- 0

b„= / fn{i^yyt)dt,

cela revient au même de dire que la fonctionnelle L est continue, ou que la fonction u est continue, les définitions de la continuité étant celles qui résultent de la définition de la distance.

Il est facile d'établir une relation entre les dérivées partielles - — et la dérivée fonctionnelle U'^,. On a

oU = / V'x^oc dt =^ Z Un oa,i, u,i désignant le coefficient de/„(/) dans le développement de L'^.. On

en déduit

De ces formules résulte immédiatement la relation

.31) A,Li=r

Cette expression A, L est /e paramètre différenliei du premier ordre. En langage géométrique, elle représente le maximum de (^L)lorsque ox a pour module fonctionnel i, ou en d'autre terme la valeur

de (-7—) pour un déplacement normal à la surface de niveau

L = const. En la calculant à partir de celte définition, on arrive à l'une ou à l'autre des expressions ( 3i) suivant que l'on définit nn point de l'espace fonctionnel par la fonction x{t) ou par ses coordonnées à, , «o, . . . , a,,-, . . . •

99. Du point de vue qui vient d'être exposé, on peut déduire une nouvelle démonstration du théorème de M. Fréchet sur les fonctionnelles linéaires définies dans le champ des fonctions de carrés sommables.

Une telle fonctionnelle est évidemment de la forme

cette série devant être convergente toutes les fois que ^af^ converge. Il en est bien ainsi si F( /?) = c^ + q -f- . . . -f- c,^, tend vers une limite pour 71 infini. Je dis que cette condition est nécessaire ; pour le prouver, nous allons montrer que, si F(/i) devient infini, on peut choisir les <7„ de manière que ^af^ converge, mais non Sc/,6r„.

Si les c,i ne tendent pas vers zéro, on peut choisir une suite de nombres />,,y>o, ...,/)v? ••• tels que les c correspondants soient tous du même signe et supérieurs en valeur absolue à un nombre positif /> . Il

suffit alors de prendre a,i = - si n est un des nombres />v, et zéro dans le cas contraire.

ciiAi'. VII. — (:n\sii)i:nATioxs (iKOMKTiiiyuKS. 129

SI 1{!S (•„ Icmiciil \rr-, /cki. I'"( // i et F(/t + i) soiil ('-(juivalenls. Prenons ;il()i>

" l'" I n I i'(n-^i) V { Il ) F ( rt -j- 1 )

( )ii en tifdiiit

Celle iliUi'iencO C>1 é([iii\ iilenle à loi; !-'( /j -j- 1) — l()gF(//), el ^Cnan «IcvieiiL iatiiii.

Il laiil donc que ïc,^ converge. Aux coefficients d correspond alors une fond ion o{t) de carré soni niable, et la fonctionnelle cherchée

sécril

ce qui esl la lonmile de M. Fréchel.