TRANSFORMATIONS PONCTUELLES DANS L'ESPACE EONCTIONNLL

SoMMMRi-: : Niilions j^énéiales. — Notions sur les cqualioiis iiité|^rale.s de picmière espèce. — Equalioas à limites fixes de deuxième espèce, ou équaIi()^^ de Fredholin. — Equations à limite supérieure variabl<'. on de \olieira. — Conespondauces l'iiéaiies coiiliiiues. — Cori'ispondancc-; dépendant linéairement d'un paramètr(\ — Transformations non linéairis. — Pœmarques sur les surfaces de l'i'space fonctionnel et sur Ic^ Iran^foini.it imi^ inlinilé^imalc-. — Equations intégro-diUérentielles.

100. Notions générales. — Dans 1 espace à n dimensions, une transformation ponctuelle est une relation entre un point A, de coordonnées a:,, x'o, .,.• -^rt? 6t un point B, de coordonnées )^,, y-^, — y„. Les coordonnées de B étant données en fonction de celles de A, c'est un problème fondamental de résoudre les formules par rapport aux coordonnées de A; c'est le problème de l'inversion de la relation donnée. On traite d'abord le cas linéaire; on a à résoudre un système de relations algébriques linéaires; le problème est r(''Solu aisément par l'introduction du déterminant du système. Dans le cas général, la notion fondamentale est celle du déterminant fonctionnel; si ce déterminant n'est pas nul, on peut, au moins dans une certaine région, exprimer les coordonnées de A en fonction de celles de B.

Nous suivrons la même marche dans l'espace fonctionnel. Nous étudierons d'abord le cas linéaire, ])uis le cas non linéaire. L ne difticulté fondamentale provient de ce qu'une variété linéaire à une inlinité de dimensions peut représenter tout l'espace fonctionnel ou n'en constituer qu'une section; pourtant, elle aura toujours la même généralité, en ce sens que l'on peut établir une correspondance biuiiivoque entre les points de deux telles variétés.

Considérons deux fonctions x{t) eXy{t)^ t \arianl de o à i, re|)résentées par deux points A et B de l'espace fonctionnel. J^a correspon-

<:I1A1>. Vlll. — TIlANSFOnaiATIONS l'ONCTLF.I.I.KS DANS I. KSPACK FONCTIONNEL. 1)1

(Iniicc crilir ces points rsl liDCiiin* cl iV-soliihlc piir i;i|)|ii)it à H >i, |)()iir cliacitu' valeur de f^ y{/) esl uik; fonclioiuiellc liiniairc de ./•. Sii|)|)()soiKS (•e(l(! fonctioiniflle de la forme de iNF. Volterra. On a

' r ) yi / ) :- I ft s. ( )x( s) dt ( o < / < i i.

Le prohlrinc (jui se pose est di; savoir si celte (';(jualion |)eul se l'i'soiidre |)ai' rapporl à x{s). Une lelle é(jiiatloii, lorsque la fonclioii /(5, /) esl liaie, est ce qu'on appelle une intégration de pveniu'ie espèce. La fonction /(.v, 0 est appelée noyau de cette équation.

Elle ne constitue qu'un cas particulier du problème posé, puiscpic y{t), considéré comm(> tonclionnelle linéaire de x{t), peut n'être; |)a^ <le la forme de M. Volterra; ce cas n'est même pas le plus importaui. Xous ne nous attacherons d'ailleurs pas à étudier le cas général lel (ju'il résulte des considérations des n°* 49 et oO, mais nous nous eoulenteions de donner quelques indications sur les cas les ])lus importants. Pour plus de détails, on consultera avec profit le Cours d\innlyse de M. Goursat, ou les Ouvrages sur les équations intégrales de VL Lalesco et de M. VoltciTa.

101. Notions sur les équations intégrales de première espèce. - Voyons d'abord ce que donne, appliquée à l'équation (i), la méthode du passage du liai à Tiiilini. Posons

*■,= —> Xj =^ X[ Si) (j = I. 2 pi,

P On peut considérer l'équation (i ) comme limite du système

' 2 ,' y'j = CxjXi -f- CijXj, . . . + Ci,J X

j) et cj devenant infinis. Mais ce point de vue ne conduit à aucun résultat précis. Si p = rj, la solution du système est, en général, bien déterminée. Si /? <^ ^, il y a en général impossibilité. Si /> >- ^, il y a en général indétermination. Les trois cas pouvant aussi bien conduire à la limite à la même équation (i), et les conclusions qu'on peut s at-

132 PltliMIERE PARTIK. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

tendre à tirer du |)assage à la limite étant contradictoires, on voit qu'on ne peut pas s'attendre à ce que l'étude du sjslénie (2) conduise, dans le cas général, à une théorie de l'équation (1).

11 n'y a, d'ailleurs, aucune raison de considérer comme plus naturel de prendre p =1 q. Cela conduirait à l'idée que l'équation (1), dans le cas général, détermine bien -f^s). Or, s'il en était ainsi, en ne considérant que les valeurs de t comprises entre o et -> on aurait indétermination, et, en posant t =^ ?.t Qi y{t) = ■iri(z), on aurait

■i]{-. \ =■ I f(s,-]x{s)ds,

équation du type (i), t et 5 variant de o à i, et dont la solution serait indéterminée. On voit bien qu'il n'y a aucune conséquence à tirer du fait que les intervalles de variation de s et t soient égaux, cette circonstance pouvant toujours être réalisée par un changement d'unité sui" l'une des variables .v et /.

102. L'introduction de la notion de fonctions orthogonales va nous donner des résultats plus précis. Supposons ^"(5, t) de la forme

chacune des suites

(5) 'biit). <L2(0, '••-, '^nii), ...,

étant composée de fonctions orthogonales et noruiales ( ' ). Remarquons que la série -c,^ est nécessairement convergente, si f(s^ t) est de carré sommable, car

l) ds dl = c j -i- c| -t- . . . -I- r-,2

(') Une fonction /(s, t), de ciirré sommable dans le caiTe o<;5-<i, o</-<i, ])eul d'ailleurs être roprésentéc pur une série de la forme (3), eon\ergcnte en moyenne. Ce résultat se déduit de l'étude des équations intégrales de deuxième espèce Voir sur ce sujet les Ouvrai;cs cités n" 101 ou le remarquable Mémoire de M. E. Sclimidt (Mathematisc/ie Annaleii. t. LXII el LXIII). Nous reviendrons sur cette ([ueslion au Chapitre I\ i\v la Irnisièmc Partie, dans le cas où la fonction f{s,() est sj'uiélri(|uc.

CIIAl'. VIII. — TllANSl'OKM ATIOXS PDNCTUKI.I.KS DANS I.'kSI'ACK I'ONCTIONM;!.. i)!

Eu |)().s;illl (()) (li— I io,(.s)x(s)ds,

rc(ju;ilinii ( i) s ('cril

Si les suites (^4) et (5) sont couiplètcs, on ])cul (lé\olo|j|jci- )'(/j ou série de t'onelions '^{i)- En désignant par 3„ le eoeflieienl de '}«(^), il vient p„==c„a„. La série S [3,^ est sùrcuieuL (convergente, mais c^ tend vers zéro et l'on ne peut affirmer que loif^ converge. La convergence de cette série est alors nécessaire et suffisante pour l'existenc<; d'une fonction de cari*é sommahle x{s)^ correspondant par la formule (G) aux focfliclents ci.i= — (condilion de M. E. J'icard).

Ci ^

Cette fonction csl alors bien déterminée.

Ainsi, dans le cas où les suites (4) et (5> sont complètes, l'équalion (i) établit une correspondance biunivoque entre l'espace fonctionnel tout entier, décrit par x(.s), et une partie de cet espace, décrite par j(i). (Nous considérons ici l'espace fonctionnel représentant l'ensemble des fonctions de carrés sommables.) La partie décrite par j'(f ) est définie par des conditions de continuité.

Pour se rendre compte delà nature de cette condition, plaçons-nousdans le cas particulier où fis, t) = o, si 5 < ^ et i si 5 > ^. l^'équation ( i) s'écrit alors

S ) ds.

Le champ fonctionnel décrit jiar )''(?) est celui fies fonctions s'annulant pour t = o e\ admettant une dérivée de carré sommable; cette dérivée est x{s). Dans ce champ, la définition naturelle de la distance de deux fonctions )-( t) et ^ {t) est donnée par la formule

\\\t)-y(t)fdt.

Avec cette détinition, et la définition habituelle dans h- champ des x{s), la correspondance entre les deux fonctions est (continue; le point représentant l'une des fonctions tendant vers une limite, celui représentant l'autre tend aussi vers une limite. Avec la définition

l34 PREMIÈRE l'AUTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL rONCTlONNEL,

habituelle de bi dlslance dans le champ des y(^), .x(s) ne dépendrait évidemment pas deyi t) d'une manière continue.

Appliquons maintenant la méthode j^énérale. La fonction f{.s, / i considérée s'écrit

fis, / ) —^ cos( n -; )-s sin ( n Jt:^

l.a relation entre les développements correspondants de x(s) et y(t} esl alors

(comme il est bien évident, puisque y est la jnnmitive de x), et la condition de M. Picard est que la série !'(/? + - J [îi,% ou plus simplement la série -/?- ^'f^, soit convergente. Cette condition est équivalente à celle que j'(i) soit une fonction s'annulant à l'origine et ayant une dérivée de carré sommable.

103. Des circonstances toutes différentes se présentent si les suites (4) et (5) ne sont pas complètes toutes les deux.

Supposons d'abord que la suite (4) soit complète, mais non la suite (5). Des conditions sont alors nécessaires pour que y (t.) soit représenlable par une série de fonctions 'i>(0- Si y( t) vérifie ces conditions, on peut continuer comme dans le cas précédent. On \oit donc que le problème est, en général, inq^ossible, jamais indéterminé.

Supposons maintenant la suite (5) complète, mais non la suite (4 )• Si la condition de M. Picard est vérifiée, on peut trouver une infinité de fonctions x(s) vérilianl les relations (6); elles sont représentées par la formule

./•(.s- ) = i:a„cp„(5; H- Ï(a-) = X{s) -h U^)-

ç(s) étant une fonction orthogonale à toutes les fonctions o,, (a).

Si, enfin, aucune des suites (4) et (5) n'est complète, on trouve : d'une part, des conditions de possibilité inqjosées à )(/): d'autre part, indétermination pour i(\s). Il n'y a aucune rekition entre le

CIIAl'. VIII. — llt.V.NSIOUMATIONS l'ONCT IKI.I.KS DANS I. KSI'ACI-; lO.NCIIO.NM;!,. l'îj

iii)iiil)ic (le ((iikIiI loiis iiii|i(»s<''cs il }'(;') ri le lutinhrc «le pii liimrli'es iliMil (l(|M'iiil )i s I. Ir |H('iiii('i' (le CCS iKimhrcs (l(''|)cii(|;iii I de lu siiilc ( .") ) cl le sccdinl i\c l;i siiilc ( f l.

On iiitticiil ;iiiisi (les cii(()iisl;iiiccs loiilcs (iiilcniitcs fJc celles rcnc()ulr(''cs (liiiis IcIikIi' (les corropinidimces linéaires dans l'espace ;'i // diîncnsioMs. L;i circoiisliuice cssenlicdle do celte élude est nue, si le delerniinanl des coefficients est nul, ainsi c[ue ses mineurs, jusqu'à Tordre p — i, les i- doixerJ \érilier /; coiidilions de jiiissihilih'-, et les a: dépendeni (/// inrine noiithrc p de paianiélres; d'ailleurs, en ;;énéral, le délcrniinant nest jias nul, et le prohléme est toujours possilile et d(''lerininé.

Ces circonstances ne s'étendent pas à l'espace fonclionnel. il \ a e(>rres|)ondance hiiinivoque enti'c les fVtnctions

et les IducIioiis

y(t) =- ':Lc„y.„'h„il ).

telN^s ipie "^((^ e(Uiverge, niai> non entre des (onctions quelconques de carrés soninial)les.

10 i. Nous allons nuimtenanl étudier des cas dans lesquels la théorie ordinaire des équations linéaires se généralise, et dans lesquels, s'il V a p conditions de possibilité, la solution dépend fie p paramètres arbitraires.

L n premier cas est celui on la (onction y (.v, /) est symétrique. On peut monti-er. dans ce cas, que les deux suites (4) et (5) sont identiques. Elles sont alors complètes en même temps ou incomplètes en uKMue temj)s. et, dans ce dernier cas, il faul ajouter le même nombre p de fonctions pour les compléter ce nombre étant fini ou infini). Ce cas vérifie dt>nc bien la condition énoncée, à cela près qu'il faut tenir compte de la condition de M. Picard.

Deux autres cas sont ceux des équations intégrales de deuxième espèce et des équations à limites variables. Ils vont nous donner des exemples de correspondances bien définies dans le champ de toutes les fonctions de carrés sommables, l'équivalent de la condition de M. Picard n'existant plus. Nous verrons ensuite un cas plus général.

lOo. Équations à limites fixes de deuxième espèce, ou équations

l36 PREMIÈRE PARTIE. — LES I-OXDEMENTS 1)1 CALCLL FONCTIONNEL.

de Fredholm. — On appelle ainsi rccpiation int(''gralc linéaire

(8) y{t)=^x{t) + X I fis, t)T(s)<h (n<f

Les équations de ce tjpe se présentent iréqueiument dans les applications. Si t est un paramètre fixant la position diin point sur un contour, et si x el y sont des grandeurs physiques définies en chaque point, il arrivera souvent que la valeur de y{ t) en un })oint soit une fonctionnelle linéaire de .r qui dépende spécialement de sa valeur .z"(^) au même point. On a alors une équation du type (8).

Dans ce cas, la solidarité qui existe entre les valeurs de x et y en un même point permet de déduire des conséquences du fait que ces deux fonctions sont définies dans le même intervalle. On peut espérer obtenir des résultats généralisant mieux la thc-oriedes (''quations algébriques linéaires que ceux relatifs à lécpiation ii . Nous allons y arriver par la méthode de passage du fini à linfîni.

Posons

Si = - ,

av = 00 i Si),

^'-^iS)

r^'équation (8) apparaît comme la limite du système

JK« = À (-•!,„ .r, -+- À c,,„ .r, -+-... -H ( I -^ À (n.ji ) ,r„.

Ce système difière du système ( 2) par l'addition du terme 1 dans les coefficients de la diagonale principale. Cela change son aspect, el l'on peut obtenir, en le résolvant, des formulas sur lesquelles le •passage à la limite s'efieclue sans difficullé. Indiquons seulemeni

(•') La présence tlu facteur \ n'augmente en rien la généralité. pui>([u"c>[i piut remplaçai- 7</{s, t) par/(s, t); elle facilite l'exposé de la liiéorie.

CIIM'. VIII.— TltA.NSl ORMATIONS l'ONCTlJ KI.LKS DANS l'kSPACK KONCTION.NKI.. iV (Oïliineiil sf |»r(''s('iilc Ir ciilciil pour le diin iiiii ii;il riir I -\- }, r-i., ). Ci^i . . . Àc'„,i

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