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r)évelo))|)(>iis-l(' en srric siii\inil les puissances croissaiilcs de A. 1.»' Icniic coiislanl csl i. Les cocniciciils de A el ),- soûl i'es|tc(l i\ cinrul

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et tendent \ers

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(ie facteur provenant de ce que les deux termes ol)lenus en permutant / et y, qui ne doivent être comptés que pour un, sont comptés deux fois dans le développement de l'intégrale double ; ce dernier développement introduit aussi des termes pour lesquels i=J-, niais il n'en résulte aucune difficulté, leur somme tendant vers zéro j.

Dune manière générale, les termes successifs du développement de A„ suivant les puissances croissantes de A tendent vers les termes correspondants de l'expression

= n-X I fit,, ,,)dt,-- I j

f(tl. /. I ... /(t;,, t., I

fit, lit-,

X r//i dt.^ . . . dt,,-

expressi'on qu'on appelle déterminant de l'équation (8).

Le numérateur de l'expression qui donne xi se déduit de A„ en remplaçant par y,, y.,^ . . . , )„ les éléments de la diagonale de rang /.

lis l'IlE.MIKItK PAHTIK. — l.KS lOMtKMKNÏs UU C.VLCII. FONCTIONXEr,.

Les coetlicieiits, qui soiil des niiaeurs de A,,, sont infiniment pelilsavec — j à l'exception du eoeflicienl de )'/, mineur correspondant à un élément de la diagonale princi|)ale; c'est un déterminant analogue à A„, et qui a même limite. On a donc des expressions de la forme

les coefficients C/ , étant des infiniment petits, de Tordre de -• A lii '■' ' ' /i

limite, on est conduit à une expression delà forme

iioi ./■! .s) = )-i 5 I -f- >. / F is, i )y{ t ) (// ,

F(.ç, /) désignant une fraction, dont le d(''noMiinaleur est A. et dont 1(" numérateur est une série analogue a celle qui donne A.

Ainsi, nous sommes conduits à une expression de x{s) en fonction '\e y tout à fait analogue à celle qui donne y(j) en fonction de x. Le noyau f(^s^ t) est seulement remplacé par la fonction F(.v. /'). qu'on, appelle noy-aa rèsohant.

Bien entendu, la méthode que nous venons d indiquer n'est qu'une métliode d'induction, dont on pourrait difficilement tirer la démons- 1 ration rigoureuse de l'équivalence des formules (8) et (lo). AL Fredliolm. à qui est due la tlu'-orie de l'équation (8), a vérifié directement l'exactitude de la solution donnée jiar la formule (8). Contentons-nous d'énoncer ses j^rincipaux rc'sultats :

i" Le novaii f{s^ t) étant supposé fini, la série A, et la série analogue qui représente le numérateur de F(.v, /), sont toujours conveigentes. Ce sont des fonctions entières en ),.

2° Si le déterminant A n'est pas nid, la solution de l'équalion (8 ) est unique, et donnée par la formule ( lo).

.*)" Si A, qui ne peut être identiquement nul, puisque A = i pimr). ^ i , a une racine d'ordre h pour la valeur considérée de A, la fonction J'( ^ » doit vérifier h conditions de la forme

/ Oi(t)y{ t ) dt = i^ i/=i,2, ...,//).

Si ces conditions sont vérifiées, l'équation (8) admet des solution^ dépendant linéairement de h constantes arbitraires.

niAI'. VIII. — TU \NSI uHM \MO\S l'O.NC II KI.I.KS DANS I. KSI'ACI-: l-ONCTIO.XNKI.. IV,

Les circoiisiaiico tjiie I nu pciil rcucdiit rcr diiii- I cIikIi- «le I (•(jii.ilion de hrcdlidlm sont donc cxiichiniiit \r> tiUMiics ([IK- I on icucoiilrr d.ins l'ctudc des s\^l«'iiit'^ d (■(|iiiil ions ;ilj4«'l)il(jiics liii('-air<'><.

l'otir les éqiuitions diiii l\|)c |»liis général, sans avoir ("oriné ('\|)licilniiriiL ilans Ions If^ cas rcx|)i c^^ion (|in ^c-iK-ralise le d(''lcnninaiU. nous dirons ((uniie relation linéaire, dijnnanl y{ t )cn tonetion de Xi s). adni<-l tin délerniinanl . el (|iie eelui ci n'est pas nul. loistjue la résoliilion |>ar rapport, a .r est toiijonrs possil)le el dclcrminee dan^ lé champ (le> lonctions de eaires soinmaltles.

10(>. Équatious à limite supérieure variable, ou de Volterra. — Elles peii\ent être de première on de deuxième es|(èee. ( )n a ainsi les deux l\jies d"érpialion>

(11) yt/)= I /{S, i )x(s } cis,

-, I (17) y / . = ./(^Z ) -f- À / f\ s^ l '.i-f s \ ils.

Si / varie Je o à un^^ valeur V. on peut se proposer de «lètermiuei' la (onction X dans le mènii' iiilei\alle ( o, T).

Ces équations peuvent être considérées comme des cas particulierdes équations à limites lixes. Il suffit de prendre le noyau éiial à /*(.ç, t) pour .y <^ t et nul [)our 5 ^ /. La discontinuité pour s = /. l)ien loin de rendre la résolution plus difficile, la facilite. Même dan> le cas de l'équation de première espèce, il en résulte une solidarité entre les valeurs de x et y pour les mêmes valeurs de la variable, el cela est, comme nou> le >avons. de nature à faciliter l'intéoration. On a, en effet, en dérivant léquation ( i 1 ).

(i3l y'(t —/( /. /).ri / ^ -r- f /'({ s, t \Ti S) t/s.

Si /(o, o) n'est pas nul. et T assez petit pour que / (^/, t) ne s'annule pas dans l'intervalle considéré, on peut prendre comme fonction ineonnuey(^, t)x(t), et Ion est ramené à une équation de deuxième espèce, plus facile a intégrer. D'ailleurs y(o) = o est une condition évidemment nécessaire pour que l'équation (11) admette une solution, et, dans cette livpollièse. les équations (1 1* et < \r^\ sont équiva-

l4o PREMIKRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

lentes. 11 suffit donc d'étudier l'équation de deuxième, espèce, que nous prendrons sous la forme (la).

Les formules générales de M. Fredholm sont évidemment applicables. Mais la solution du problème actuel est beaucoup plus simple, et a d'ailleurs été ohicnuc par jNl. \ olterra bien avant les travaux de ^r. Fredholm.

Formons la solution par la méthode des approximations successives, lapproximalion x,i^i [t ) étant déduile de la précédente par la formule

j/i <) = 3-„+i ( /) -î- À / f[ S, t \x„(s ) ds,

d'où l'on tire,

^« + l(/l — X„it)-r-'/~ I /{ S. / \[Xn(s) — .Vn-l ( S \\ ds =^ O. •^ 0

Si les fonctions fis, t) et Xiis) — x^is) sont linics. et recpeclivement inférieures en module à des nondjres R et .'Tl, on en déduit