OU K" À

(l4j \Xn + l(t) — X,i{t)\< p ,

inégalité qui se vérifie immédiatement par récurrence. 11 en résulte, en vertu des principes bien connus de la méthode des approximations successives, que x„(t) tend uniformément, pour | ^| <;T, vers une limite x( t ). solution de l'équation i \-2 ), et qu il n'v a pas d autre solution.

Si les fonctions JK' 0 *^*^ ./••^■' ^* i^'' sont pas finies, mais de carrés sommables, on peut prendre pour Xo(t) une fonction de carré sommable quelconque, et le module fonctionnel de ./;,,) — Xn ( et non son module maximum) vérifie l'inégalité ( if )• On en déduit la convergence en moyenne de x„(t) vers une fonction de carré sommable, solution de l'équation ( r •? ).

En prenant :ro(i ) =j'i f ), on obtient j'(/) sous la forme d'une série entière en X.

Ces résultats apparaissent bien comme un cas particulier de ceux relatifs à l'équation de Fredholm; dans ce cas le déterminant A n'est jamais nul; alors la solution est toujours unique et déterminée, et est une fonction entière de A.

107. M. Lalesco a montré l'existence d'un lien élmit entre l'équa-

CHAI'. Mil. — TIUNSI-OHMAIIONS PONC ITKI.I.KS DANS l.'iCSI'ACI': l'ONCTIONNia.. \\l

lion (le V ollcna et 1rs <(Hi;il loiis dillV-rciil icllcs lim'-.iircs. Soil i'i I i(iii\ cr la solulion dr I i'(|ii:ili(iii

, -s (i" n r <i"~^ it ^ , dit ^

s'aiiniilanl poiir / . f) ainsi (juc ses // — i |)i'cinièrcs (l('Tiv(''f;s. Ou peut la funiuT |)ai' apinoxliiialioas successix es, eu |)rciiaut coiuiiie

... . <i" Il r^

inroiiuuc aiixiliain- — ; — - ./( t ). Un en tire al"

et ré<|nation ( 1 j ) séerit

j-[ t ) ~ .r{() ~- I f(s,t)x(s)ds,

avec

fis, n =f{t ) -^j\(t ,(t — s) -h . . .-^f„i t )

On est donc ramené à une équation de \ oit erra, dont le noyau, considéré comme fonction de s, est un polynôme. La mélliode des approximations successives conduit sans difficull*' à la solution. Le fait que /"( .ç, / ) soit un polynôme en s n'apportant aucune simplilication dans la méthode, l'application à l'équation (i5) de la méthode des approxinuitions successives devait nécessairement conduire à considérer l'équation de Volterra sous sa forme générale.

108. Correspondances linéaires continues. — Soil un point A représentant une fonction de carré sommahle xit), et restant à l'intérieur de la sphère

(J<i) / X-^(()dt = l [nu \\.f(f)\\=i\.

Si un point B représentant une fonction de carré sommable dépend linéairement de A, il décrit une région (volume ou hypersurface) que nous pouvons appeler ellipsoïde. On peut se demander si la dislance de B au centre de l'ellipsoïde est limitée supérieurement. La réponse est affirmative.

En effet, dans Ihypothése contraire, on pourrait trouver une suite

i4^ l'RKMiKiîi: l'ARTii:. — r.Es fom)i:.mi:nts ut cm.ili. konctioxx::!. <le fonctions

.7 , (/ ). T->( f il . . . , 3',i( / I

auxquelles corresijoudcnt, dans la corres|)on<hnKe eludi<''e, de> (onctions

'/■\'f,i\ t), Aor,2i/) \„r^ii'l'

les lonclions •/■,„< / i étant situées sur la sphère ( ibj, 6t les 'h,i augmentant indcliniment. (Choisissons unc^ suite de coelfieients a,, tels que X^r^-^:= I et que ^\'f^af^ augmente indc'dinimenl. A hi fonction

./•(/) = £| ai .Ti ( n -I- tîCt-2./.i{ I \ ... - -z„a„.f„i t I ....

les t ('•tant tous (-gaux. à ± i, coi'i'espoud la lonclion

j'(() = £i},,<-/,r,i( /) -T- z-yl^^a^r^iit) -f-. . .-i- 3„/.«^/„t,«( t ) —. . . .

Désignons \)i\.v yni t) la somme des n jiremiers termes de vit), et choisissons ô„ de manière que

'^n'^iiCi, 1 y„-\' I )r,„^ t \ (It ^u. i)\\ a (''\ idemmcnt

/ y'î,^ t^flf^' j jft-ii l)c/t ^'/.jiayLil'ja'j-^llal

Cette expression augmentant in<léliulnient a\cc //, la fonction ri/) ne serait pas de carré sommable. Le théorème est donc démontré.

11 en résulte que, si A reste dans une région lime, B reste dans une région finie, ou encore, ce qui revient au même i voir n° 39), que lî dépend de A d'une manière continue.

Si la correspondance entre A et B est r('solid)le par rapport à B, le

rapport -—7 ( B' étant le point qui correspond à V) a non seulenn'ut

un maximum, mais un niininium. En d auties termes, l'ellipsoïde correspondant à la sphère (16) a ses dc-mi-diamètres compris enlic une limite inférieure positive et une limite --upeiieure finie.

lOil. Correspondances dépendant linéairement d'un paramètre. — •

17 ' y(f) = xU) -f- "hzit),

<:ilM'. \lll. — TU VNSIOIIMATIONS l'ONCTl I 1.1 i;s 1> VNS l/i:SI>A<:ii KO.NCTIONNKL. 1 "i J

V'Iaiil dcMyiu'c |)ai- K . .le di- (jiic |MMir | ). | ■ ' — » la rcdalioii i i - ) est

icbolublc par ia|t|iort à .n / i.

Nous alliiii^ Idiincr la ^(diiliiiii p.n- ijc- a|>|)ii i\ i mal ions siic»'('S>ivc.s. pI■|•ll(p|l■^ ((iiiiiiK' ii'IalKiu de i(''(ii iiTiirr

Z„{ t I d»'sii;nanl ce (|iic dcvirnl z\ t i pixir la dclcriiiiiialion X „ de x . On cil d (M 1 1 1 1 1

■ï'//-f-i' I I — A-„ (7 ( -+- A I -s„ ( / I — :;„ii / ij = (), |U,M 11 /. — .r„i /i|!<K| À 1 ||.r„i/ 1 — ar„i(^OlU^l'*-'^"l '■ l">

^"•11 élani iiidi pendant ile n. Done. si KPv|-<i, oc„[t) convei^e en niovennc \ei> une fonction x{t) de carré soinniahle, et la formule ( i8) monlif à la Imiilc qiu' ccllr loncln'ii \iTilie li'cpiation (i-). D ailleurs, M \(/) est une >()liili(iii de ecllc (-(pialion, on a. par iinr nn'tliode analogue.

Il Xi / I — j-i / I II ^ k I /. I ;i \' / I — X{t »|1,

ce (jui pi-ou\e (jne \( / i et xi M -oui idcntirpies. La solution lroii\ée est donc unique.

On voit ainsi que. pour | a| —, la solution ( i j » définit une em-

respondance biunivoque et continue entre les deux fonctions de carrés sommables x et y. A une fonction x{t ) de module fonctionnel égal à I, correspond une fonction j't /!) tle module fonctionnel compris évidemment entre i - — | A | K et i -;- | X j K .

110. Transformations non linéaires. — 11 est facile d'étendre le raisonnement piéc('dent à de> eipialion- non linéaires. Parlons de l'équation linéaire

< I',) I j)^, /) = F 1 [.ri .V ' I /] 1,

F étant une fonctionnelle linéaire de x. et supposons que cette équation admette un déterminant non nul. de ^orte crue le rapport , ; des

Il -'^ Il modules fonctionnels ait une limite inférieure positive m.

Considérons l'équaUon non linéaire

d('(liiit(' de la précédente par addition d'une fonctionnelle G nulle pour .r = G et telle que la différence

G|[X(S)|/]1 — G |[.vi5i|/] I

ait son module fonctionnel inférieur à K|1X(5 ) — x{s) ||, tant que les fonctions ûc(s) et X(5) sont situées à l'intérieur d'une sphère de centre R ayant l'origine pour centre.

Cherchons à former par approximations successives la solution X{ s) de l'équation (20). Prenons comme première approximation la solution ./■o(-s) de l'équation (19), et formons les approximations successives par la formule

^1/1 = 1-1 [./7^i( 5.) I ^1 K G I [Xi(s) I t] I,

(I iiù l'on déduit

F I [.r, { s ) — X(,{ s ) \ / ]\ -h G \[xo( s )\ t]\ — o, F ] [./v,i( s ) — Xii s )\ /]\ — G\ [xi^i^ s ) I /] I — G I [xii s )\ t]\ ( i > o;.

Ces formules définissent sans ambiguïté toutes les fonctions .//, et l'on a, pourvu qu'elles restent à l'intérieur de la sphère de ravon R,

lk,-.'-o| -Kll-z-ol =;^1|J<7)1|, Il x,+,- .r,- Il < ^ Il X,— .r,, ll< (^- j llr' ' ' !l-

De cette formule résulte la convergence des approximations vers une solution de l'équation (20), pourvu que K <^ m, et il n'y a évidemment pas d'autres solutions dans le voisinage de l'origine.

Ce raisonnement suppose que l'on ne sorte à aucun moment de la sphère de rayon R. 11 suffit pour cela que

c'est-à-dire que y{t} ait son module fonctionnel au j)lus ég;d

. Hi m — K) a ^

Ou voit donc (juil v aura corres[)ondance biunivoque entre les

CHAI'. Mil.— TIIANSI (»U.M ATIO.NS l'IlNCI tKI.US DANS l.'lCSPACK FO.NCTKl.NMI,. lj5

|>(>inls A cl H if|)r('^ciil;iiil \^^^ deux loiicl loiis .r cl )', hiiil que ccii\-ci resiciil dans do rci;i(ms Millisiimiiiciil [kIiIcs, iiiiiis Imiio, ciiloii i;iiiI rorii^iiic.

On pciil ;i|i|)li(|iicr ce i('-sull;il à imc iclalion ^\l' loniic |)rcs(j(ic ([ncIcoïKjiic. M I (111 coiiiMÎl un sxslèiiic de |)oiuls Ao et B„ ([iii m' corrcspoudciil ; ./ „ cl )'„ dcMi;nant les fondions reprcsentces pai- ces poiiils, iHcllons celle r(dalioii sons la loiine

121) y( / ) — Koi / • = F I I .r -- ^0 I /] I h ('. 1 [.r - .r„ | / | |,

!• desi<;nanl dans le second nicinhre la [)artie du premier ordre par rapport à ./• — Xo (c'est-à-dire (|ne F|[o,r|/|j est la \ariatiou du second niend)re au |minl Aq).

Si [((pial ion Inn'aiie

n a j)as un dclerininaiil dinerent de zéro, on ne peut é\i(Ieniiiienl pas saltcntli^e à ce que la eorrcspondance définie par ré([ualion ( 21 ) soil résolu Ijle par rapport à la f'onclion x. Si, au contraire, elle a un déterminant dillerent de zéro, la fonctionnelle G vérifiera presque tt)ujoiirs dans le voisinage de Ay la condition indiquée plus liaul; si sa variation première est continue à la Lipsehitz elle la vérifiera, dans une certaine sphère de centre A„. non seulement pour une \aleur convenable de K inférieure à ///, mais pour K aussi petit que l'on veut. On a alors une correspondance blunivoque entre les points A et H dans des petites régions entourant respectivement Ao et Boni. Si l'on soi't du point de vue local, il y a déplus grandes difficultés. Une des questions les plus importantes est de chercher combien une équation, de forme absolument quelconque par rapporta •ï(/), admet de solutions dans un volume donné. La question analogue, dans le cas de l'espace ordinaire, et résolue par la notion de l'indice de Rronecker, qui s'exprime par une intégrale de surface. On ne peut songer à aborder sa généralisation avant d'avoir étudié l'intégration dans le domaine fonctionnel, ce que nous ferons dans la troisième Partie; mais, même après cette étude, le problème considéré semble encore très difficile {voir troisième Partie, n" 148, 8" ).