I.KVY. Il

l4<) l'RKMIKKE PARTIi:. — LES FONDEMENTS DL CALCUL FONCTIONNEL.

112. Remarques sur les surfaces de l'espace fonctionnel et sur les transformations infinitésimales. — Dans l'espace à ti diniensiou^. les surfaces conliimes à n — i dimensions jouissent de la propriété de constituer une sépai^ation entre deux réi;ions, telle qu'on ne peut pas passer de l'une à l'autre sans traverser la surface.

Dans l'espace fonctionnel, il existe également des surfaces jouissant de cette propriété. Telle est par exemple l;i sphère ||a7||^R.. En restant dans le champ des fonctions de carrés sommables, on ne peut passer par un mouvement continu d'une fonction de module fonctionnel inférieur à R à une fonction de module supérieur à Pi sans qu'une fonctinn intermédiaire soit exactement sur la sphère considérée.

A l'inverse de ce qui se passe dans l'espace à n dimensions, ces surfaces S, qui jouissent de la propriété d'être la frontière d'un volume, ne peuvent pas être caractérisées par leur nombre de dimensions. Nous savons qu'on peut, par exemple, établir une correspondance biunivoque entre l'espace fonctionnel et une de ses sections planes P; la surface S correspondra alors à une variété du plan P. qui limitera une région de ce plan, mais non une région de l'espace; si elle divise le plan P en deux parties P, et Po. on pourra, en sortant du plan P, passer de Tune à l'autre sans traverser la variété ^ . On voit donc que la propriété de constituer la frontière d'un \olume. qui dans l'espace ordinaire se conserve en général par des transformations ponctuelles, se pei'd au contraire en général. C'est une des conséquences de cette circonstance que le nombre to des dimensions de l'espace fonctionnel étant infini, rien ne distingue les uns des autres les nombres oj, oj — i . (o — 2. .... La géométrie (et en particulier Yaiialysis silus 1 est la même dans l'espace et dans les sections vérifiant un nombre fini de conditions linéaires.

Mais ces circonstances ne peuvent pas se produire |M)ur une tran— formation infinitésimale

vil) = xit)— G I [x I t, a] I,

la fonctionnelle G étant infiniment petite avec A. Si À est suffisammeni petit, cette relation est du tvpe étudié n'' 110 et il v a correspondance biunivoque entre x{^t) al y{t). A un volume décrit p;ir le point représentant x{t) correspond un volume très peu diflereut décrit par le point représentant j'(Z). l\ar suite, à une surface, fron-

<:iiAi'. VIII. — tuansioumations pom ti ki.i.f.s hans i.'esi'ACK fo.nctionnki.. ijj

iKTf d'un vdliiiiK^. cm irs|M)ii(l une >iiilii(r iiiliiiiiiHul |u'ii (lilh'renlc. qui f'si cojileinL'ul l<i Iroiitirre d un xnlmiii'. A uni' Mirliicc (It-finn- |);ir ^^ l'ondilions (r<''i;;ilil('' (•(>rrçs|)on(i tic mumiic mih' -iitI.icc mliiiiincni voisine déliiiic |);ir/> condilions d'c^alitc.

La dclnrinalioa de la siirtace est d'ailleurs bien dcliiiic ( indc{)cndamincMl t\c la loi dv correspondance entre les points de la surface iniliale et ceux de la Mirfacc (hMorméc i. >i IVin se donne les p composaiilo normales du dcplaceniciil de (•lia(jiic point. Viiim la didorniation d'une >urtace frontière de volume, dépendant d'un paramètre A, e>t bien dèlinie |)ar la donm-e en ( liaque point du {lè[)la- <enient normal o/i ^= l d).. Si la fonctionnelle [ d(''|)end, dune manière continue, ilu point de la surfac<', la surface déff)rmée est encore une surface définie [)ar une seule condition (régalité. quand A <'st assez voisin de la \alenr initiale; mais il peut arriver, nalurellemenl. ([ue ce caractère disparaisse (piand ), len<l vers une certaine limili- ).| .

11^?. Équations intégro-différentielles. — Considéron> nn i:roupe de transformations, obtenu par répèlilion d Une transtormation infinitésimale. Chaque point décrit une lijine. ([iiOn peu! obtenir par inléi^ratuni de 1 ècpiation

On peut dire aussi que la fonctionnelle F définit un vecteur en <'liaque point, et la ligne en que>^tion est une ligne de lorce de ce cliamp de vecteur.

Si la fonctionnelle F est linéaire et *\v la forme normale de \i.. A^olterra, l'éqnation (22) s'écrit

on ( I = if/. I /{ s)w(s') ds.

ou encore. ./ étant une fonction de / et "a,

)X{ s, \ ) ds.

Dans des cas plus généraux, la fonctionnelle F pouvant être représentée par une série de Taylor. on aura au second membre une

l4S PREMIÈRK PAUTIK. — LES FONDK.M lîNTS DU CAI.CLL I ONCTIONM:!..

série d'int('-<;rales de divers ordres el conteiiani ./• à divers dej^rés. L'équallon aura alors le caractère dune équation dinérenlielle pairapport à la variable A, et d'une équation inlé|j;ralc par rapport à l'autre variable. Elle est dite équation inlégio-diJJ'ihrnliclle.

Il peut d'ailleurs arriver qu'elle perde ce caractère, si. par exemple, la fonctionnelle F est une fonction de '(/) el ./'(/i; il viendra

et Ton aura une équalion aux dérivées partiellc> ordaïaiio. Il nous arrivera de comprendre ce cas sous la désij;nalion d'équation intégro-différentielle. Cela sinqilifîera le langage pour la suite. Mais ce cas sera, en général, un cas difficile pour le développement de la théorie. Cela tient à ce que, dans ce cas, Iti fonctionnelle l est continue d'ordre i seulement, tandis que pour les équations intégrodifférentielles proprement dites, elle est continue dordre o, la

dérivée -^ n'intervenant pas. Il en résulte que pour ces dernières on

peut aisément former les solutions par des approximations successiNCS, tandis que la démonstration de l'existence des solutions des équations aux dérivées partielles donne lieu, conimc on sait, à plus de difficultés.

L'une ou l'autre acception des équations intégro-difiV-rentielles partielles peut d'ailleurs se généraliser aux cas où, au lieu de deux variables t et A, on en a un plus grand nombre, l'équation ayant le caractère d'équation intégrale par rapport aux unes et aux dérivées partielles par rapport aux autres ( ' ). Telle sera l'équation

T^ I r I - 1 ^^' f' ^M '-1 > àxi l , X, a )

(les notations ayant la signification indiquée au n° 8 )

(') Une équation du type

dx(t) , r^

-h h{t) x{t) -h / /{s, t)xis)cts = zidt).

dt

qui apparaîtrait comme inlcirrale et diUércntielle par rapport à la même variajile, se ramène à une équation intéi;riile en prenant — - comme inconnue auxiliaire.

CllVI*. \lll. - riUNSIOIlMATIoNS l'()N( 1 l IJ.I.KS DANS I.KSI'ACI-; I ONCTKINNKI,. \ .\()

M. \ ollciiii il ImiI iiiic clmlf ;i|)|»n>r(>M(lK' <lc •(•> ('([iiiilioiix inlf'^rn- (lilliTciil irllfv. iiiii iiilci\ Miiiiciil (liiiis lin ^l'iiiid iioinhir de |inililiiiic.s |>li\ SKiiies, I un (lr-> i;rnii|)rN ilc \ ,i rnilili's i< iiii|)rrn;inl la variahlc temps, ruulrc lo vaiialilcs ([iii dct finiimnl l'élaL ilii svbtcinc ('■liidic. L'exposi- de cr> liavaiix, (|iii so rai laclicnl à Faloèhre fonctiomiellc pliilôl qii à lanaK-c lumi lomnllc. puisqii il s ;ii;il île [)robl»''infs où les ineonnuo -imiI iIi- Innrtuin.s. surlirail du cadrr (jnr ikhin iiiuis sDinnies traci's. \iuis exposerons seulement au Chapitre I de la deuxième Parlii; la nietlioiie d"a|>|)i<i\inial Kin-^ suceessives dnni il \ieul d'être (jue>liuu. iNuir le reste, nous ne pouvons rpie renvoyer aux magistrales lei'ons de M. A olleri-a ( Lrmns sur /es /onctions (/e lignes; Gautllier-^ illars, i()i3 i.