CHAPITRE I

LES ÉQUATIONS AUX DÉUIVÉES l"()XCTIOXNELLES GÉXÉHALISAKT LES ÉnUATIOXS AUX DlKFf- RENTIELLES TOTALES.

Sommaire : Définition des (((nations éludit^es dans ce Ghapilie. — Réduction à une équation diflerentielle. — Cas de fonctionnelles dépendant de paramétres arbitraires. — La condition dintéiiraijilité. — Cas de fonctionnelles dépendant de paramètres arbitraires. — Exemples d'équations complètement intégrables. — Cas des fonctions d'une liiine et do deux points.

1. Définition des équations étudiées dans ce Chapitre. — Les équalions par lesquelles nous allons commencer cette étude constituent le type le plus siniple d'équations aux dérivées fonctionnelles. Nous les appellerons dans la suite équations aux dérivées fonctionnelles ordinaires ou simplement équations aux dérivées fonctionnelles. Elles se déduisent, par le passage du fini à linfini, de X équation aux différentielles totales

( 1 ) du = p 1 (f.r , ^ Pi d.r-i -+-... ^ />„ dx„,

vérifiée par une fonction n de n variables Xf. x-2i .... ^«; les coefiîcienls p étant des fonctions données de x,., x.,, . . . , jr^ et de u.

On sait que la théorie dc^ ces équations repose sur deux circonstances fondamentales :

i" Si le point A ayant pour coordonnées x,, x-2 Xn dans

l'espace à ii flinieiisions décrit une ligne L, son cléplacenienl s expriinanL en fonction d'un paramètre )^, l'crpiation (i) cpii donne la variation de H se réduit à une écpiation dilléreiilielle du premier ordre en )v et u. La lonclion ii est donc définie sur la ligne L si Ton se donne sa valeur en un point de cette ligne.

2" Si Ion se donne la valeur a^ de la fonction u en un point A. et cpron veuille déterminer sa valeur «,. en un autre point B, on peut j arriver en considérant une ligne L allant de A à B. Mais il peut arri\er cpie la valeur trouvée pour ii^ dépende du choix de la ligne L; dans ce cas, il n'existera pas de fonction u prenant la valeur donnée en A et vérifiant l'f'quation ( i ). Les conditions pour que cette fonction existe, c'est-à-dire pour que «,j ne dépende pas du choix de la ligne L, sont dites conditions cV intégrahililé de V équation (i ), ou conditions pour que du soit une différentielle exacte ('). On sait qu'elles s'obtiennent en écrivant que

dxj ' ■' Oz dxi ' ()z ^ ' ■' ' ' '

Si ces conditions sont idfnitiquemcnt vérifiées, l'équation (i) est dite complètement intégrahlc^ et la solution cherchée existe quelle que soit la valeur donnée M\. Si elles sont incompatibles, l'équation (i) n'admet pas de solutions. Si, sans être identiquement vérifiées,

elles sont compatibles, elles définissent une fonction uix^^x-x x,f)

(ou plusieurs fonctions); pour que l'équation (i) admette une solution, il faut que cette fonction (ou une de ces fonctions) vérifie cette équation.

Si nous passons à la limite, n devenant infini, l'équation ( i) devient

(•^) ^^U= / /\[x{t)\{],-.]\o.ri-.)dz,

ce qu'on peut aussi écrire

(3) u:r,.) = /i[^(oiu,.]i.

La recherche des fonctionnelles U de la fonction x{t) qui vérifient cette équation est un problème analogue à la recherche des solutions

(') Voii- sur n- sujet la NdIc ijui Icnuine te < lliiipil ii'.

CHU'. I. — KQIATIONS AIX DKIll \ KKS TONC TIO\M;i.l.i:S. | 53

(le lC(|ii;il mil i i i. \(mis jiHons itIioiin cr Irs deux ci icdiisliiiiccs loiitliimt'iilalcs sii;iiiilc<'s à |)i()|)()s de celle é(|ii;it loii .

2. Réductiou à une équation différentielle. — (loiiMilciitiis une famille (!(! lonelioiis .r (7 ) dépendaiil d un paraïuèlre A. I.a loiielioiinelle U se réduil j)oiir ces fonctions à une fonclion '.^(A i de A, cl la foncliony*à une fonction de A, L, t. L'équalion (2) se réduil alors à une équation diflerentielle du premier ordre qui détermine 'i( A ) en fonction de A si Ton connail sa \aleur initiale L'o pour A ;= o.

I\u'mi les métlujdes connues pour définir la solulion d'une é([ualion diUérentielle, celle qui s'applique le mieux au cas actuel esl la méthode d'approximations successives de M. Picard. Nous allons l'appliquer en supposant

ç(/ ) ayant poui- inodule fonctionnel i, c'est-à-dire vérilianl la condition

et nous montrerons que le rayon de convergence des approximations aune limite inférieure indépendante du choix de la fonclion ç(f ). En d'autres ternies, nous allons établir la convergence des approximations à l'intérieur d'une sp/icre de l'espace fonctionnel ayant pour centre le point Aq qui représente la fonction x{t).

Pour établir ce résultat, nous supposerons déterminées des constantes R, C, M, K telles que, pour

o<X.:R, |U-Uo|<C, |V-U„I<C, on ait

(5) f /^'|[.H/)|Uo, -.]\dz<^V-,

(6) f \f\lr{t^\\i,-.\\-J\[x(t)\\, T]|;'-rfT<KH-U-Vr-. ^ 0

Les approximations seront définies par la formule

l54 DEUXIÈME PARTIE. — DERIVEES FONT. TIONNELLES DU PREJHER ORDRE.

d'où Ton clt'duit

9,,(X)-'f,.,(X)= f dix I ;/|[^o(0-I-'-^^^)|?/'-i(!-i), -]!

Donc, lant que Toii a (8) |o,(;jl)— U„| <G (t = », 2, ..../) — !, ;i. < Xi.

on a. d'après ( \ ) et ( 6),

et, par suite, en lenant compte de ( .">),

l?i(>0-Uoi<MÀ, |q2(X)-9,(X)1<KM ^A

(I ou

On voit alors que, tant que )> ne dépasse pas la plus petite des quantités R et — log ( I H--|rj- ), la formule (8) ne peut cesser d'être vérifiée

et les formules suivantes restent exactes. La convergence des approximations est donc établie, et il résulte im médiatement de la formule (j i que la fonction L ^'.p( A) ainsi définie comme limite des fonctions Op{\) est une solution de l'équation ( a ) prenant la valeur Lo pour

On peut évidemment élargir les hvpothèses faites dans celle démonsti^ation. Mais, de toute façon, comme pour les équations diflérentielles ordinaires, il existe des cas singuliers dans lesquels la métliode est en d<'faut, une solution n'étant pas déterminée par ^a valeur initiale.

3. Cas de fonctionnelles dépendant de paramètres arbitraires. — 11 peut arriver que l'on ait à considérer des fonctionnelles dépendant, non seulement de la fonction x{t.'). mais aussi d'un ou plusieur^ paramètres, soit, pour fixer les idées, un paramètre a variant de où i.

t:ii.\i'. r. — Eyc.vrioxs ai \ dkiuvkks i oxction.nki.lks. ijj

Si une Icllr loiiclioiincllc l ^ xrrilic iiin' ('(iiiiilion iiiix fl(''ri\(';<'s tonciKiiiiU'Ilo lie hi toi'iiic ( O, l;i liiiinc de hi Idiiclum / <|('-|)ciiil Ki cvi- (Icinincnt tic a. Miiis crllc (IcpciKhiiicc juiil rlic plii*^ on nimiiH SI m |) le.

Il |)<'iil ;ini\('r ([iif la loiicl loiiacllc / ■^ml ilc la lorme

/|[.r(V,|Ua, T, 7. 11.

('•lanl ainsi une iVuul lonncllc de T{l)e[ une loiiclion au sens ordinaire du mot de la-" •'' ^- l-'i» variation de l -j,, pour une eertaine valeur de a, p<.Hirra ainsi s'exprimer sans faire inlervenir les valeurs de V^ pour d'autres valeurs que a. L'équation aux dérivées fonetioniielles peut être ainsi étudiée [)our cliacjue valeur de a indépendamment des autres, et cette étude présentera les mêmes caractères que si le paramètre a n'existait |>as. Nous dirons dans ce cas que y. fif^ure comme paramètre dans léquation étudiée.

Il peut aussi arri\er que, pour chaque valeur ao de a, la fonction y

soit de la forme

/|[.r(0, Uah. scoll-

dépendant des valeurs de l ^ pour toutes les valeurs de a comprises entre o et i et non seulement de \ g^ . Nous dirons alors que a figure essentiellement dans l'écjuation étudiée.

11 est évident que, dans ce cas, l'équation yi i n'est plus réductible à une équation dlfTérentielle. Si nous considérons une famille de fonctions oc(^t) dépendant d'un paramètre )., L ^ devient une ionctu)n de deux variables ). et a, soit -^i a, A); la fonction / devient une fonction de A, 7, 7-0, dépendant en outre, pour chaque valeur de A, de k forme de 'i(a, À) considéré comme fonction de a. L'équation (2) prend alors la forme

la fonctionnelle <ï> dépendant des \aleurs de ç(a, a) pour toutes les

valeurs de a entre o et i, mais seulement pour la valeur particulière

de A figurant au premier membre.

En général, cette l'quation n'est pas une équation différenlielle.

, . ,. ■ . V ôz{ ■3..\) \ . . ,

tppeutetreuneionctionde -^— . L. a^ ; c est alors une equa-

tion aux dérivées partielles, l n cas plus général est celui où O est

1 j6 DKUXlKiME PARTIE. - DÉniVÉKS FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

(le la forme

L'équation (9) est alors d'un des types étudiés par M. Volterra sous le nom d'écjuations inlégro-di (fêrentielles.

Le principe de la méthode d'approximations successives de M. Picard s'applique encore et la formule de délinition des approximations, qui doit remplacer la formule 1 7 ), est aisée à écrire. Mais la démonstration de la convergence des approximations peut présenter, dans certains cas, des difficultés plus sérieuses, comme c'esl d'ailleurs bien évident, puisque le type actuellement considéré comprend des équations aux dérivées partielles comme cas particuliers.

Nous pouvons considérer quand même qu'une solution de l'éqmition (9) est déterminée si Ton connaît sa valeur pour \ = o. Les cas où il n'en est pas ainsi ne peuvent être considérés que comme des cas d'exception, analogues à ceux qui se présentent pour les poinls singuliers des équations difïerentielles ordinaires.

4. La condition d'intégrabilité. — Si Ton se donne la valeur l „, pour une lonction ./„( l ), d une solution de l'équation (a ), et qu'on veuille déterminer sa valeur L| pour une fonction a.", ( n, on peut j arriver, d'après ce qui précède, en considérant une famille de fonctions .r(/), dépendant d'un paramétre A, et variant d'une manière continue de x^it) à J7,(f); en employant le langage géométritpie, les fonctions .Xo( l) el .v^( t) seront représentées par deux points Ao et A, de l'espace fonctionnel, et les fonctions dépendant de K par un<' ligne L allant de Ao à A, .

Mais, comme nous l'avons fait à |)ropos de l'équation (i), nous devons nous demander si la valeur obtenue U| ne dépend pas du choix delà ligne L, c'est-à-dire de'la manière dont varie la fonction .r(/ 1 entre x^it) eX Xi{l).

Considérons donc deux lignes L et L' allant de A^ en A,. Les points de ces lignes peuvent toujours être considérés comme déduits d'un ensemble E de points dépendant d'une manière continue de deux paramètres À et jj.. Pour ces poinls, c'est-à-dire pour les fonctions x{ t) représentées par ces points, L se réduit à une fonction de deux \ariables À et |j., et l'équation 1 2 ) à une équation aux dillercn-

CHAI'. I. — icyiATioNs Al X i»i;nivi:i s i-oncho.wki.i.ks. ijj

licUcs loliilcs. Le |»i'()l)l('iiic (le ciilcill roiiclioiiiicl (|ucil<)iis coiiMdéroiis s(! rainriic do ne, non m m me ci lui IraiU'; n"^ 2 ('t 3 ù iiii prohlùinc à iiiK' \arial)lc. mais à un pinhlciiic à dnix variables. On sail (|ii un (>l)li('iil la cniidilion poiii- (pic la \al<iii' l , (ililemu; en A, soil la inrinc |)i)iii- loiilcs les li:^iics I, roinu'cs de puinls de 1 ciisciiiMc 1'., en étiivaiil (|uc

(lo) ooiU = oioLl.

Cil posaiil. coinnio noiis laxoiis lail n" ()() de la pi'ciiilère l*arlu',

5(..)=^t^Va, 0,...)- — r— ^:^-

Pour (juc l"c(jiiali(tn (a) admcUc uiif --ohilKiii l |iieiiant (.'ii cliafiiir poinl A (le l'espace fonclioniiel une valent- indépcndaiilc <le la lii;!ie allaiil (le Ao en A, il esl évideiuiuent nécessaire el suf'fisani (' ) (|ue l'équalion (loi soit \(''rifiée, pour cette fonctionnelle l , cl pour tonles les d(Herniinali(>ns possibles de .r( l ), oxi t).OfX{t). La condition ([uc celle étjualioii soit V(''ri(i(''e, [)our une cerlaine tonction ^(t) cl une cerlaine \aleur de l , (|uelles (|uc soient les fondions ox{t) el Oi^cÛ), conduil à une ou plusieurs relali(uis enlre L et x(t)^ qui jouenl dans la théorie actuelle le même rôle que les conditions d'intégrabilllé dans la théorie de l'équation (i ). el ([ue nous appellerons conditions d'intégrabiliti' de l'équation (2).

Sans employer ce mot, nous avons déjà étudié (n"" 66 à 68 de la première Partie) la forme c[iie devait axoir ol , pour que l'équation (10 I soit vérifiée (jueiles que soient les fonctions oxH) et o,x(^). Pour appliquer les résultats obtenus, il faut ici déduire 2U',. de la formule i 3 1 en tenant eonqjte, bien entendu, non seulement de ce que x{t) varie, mais de ce que L varie, sa variation étant donnée par l'équation (2). On trouve ainsi, pour ôL^., une certaine fonctionnelle linéaire E(o:ï'), et la condition cherchée est que cette fonctionnelle soit identique i\ son adjointe.

Rappelons cjue, dans le cas important où El oj? 1 est de la forme

Ao ox — X^ùx' -\- . . .— A;, ox i'^-\- I çi /. ti 1 o.r, dti, il faut écrire séparément :

(') Fo//- la Note il lii lin (lu l'.li<i|iilL<'.

l 58 DIÎUXIKMI-: PAIiTIR. — DKIUVKES FONCTIOXNKLLES DU PRIÎiMIER ORDUK.

1° Que o{t, /, ) est iiiie tVuiclion syinétrique de t et de /, ; 2° Que l'expression

Afl oa- -h Al ùx'-h .. .-h kp 0^'/''

est idenU([ue à son adjointe. ÎNous appellerons respeeti\ement ces conditions la piemière et la seconde condition dinlégrcibililé de l'équation (2 ).

O.' Ces conditions devant être vériliées quelle que soit la fonction ^'(O devront être considérées comme incompatibles si elles ne sont pas com[>atibles quelle que soit cette fonction; dans ce cas il n'existera évidemment aucune solution de Téqualion ( 2).

Si elles sont conqoalihles, deux circonstances sont possibles :

i" Il peut arrixer quelles soient \(-ii(iées quelle que soit la valeui' de U. Dans ce cas, l'équation ( 2 ) est dite conipl élément intégrabie. Elle admet des solutions dépendant d'un paramètre arbitraire. On peut, en effet, choisir arbitrairement la valeur I (, de L pour la fonction Xt)i t). L'équation ( ■> ) définit la variation de L quand.rû ) varie, et comme la condition d'inté£,ral3ilité ne saurait cesser d'être vérifiée, la valeur trouvée pour une fonction .r, ( /) est indépendante des déterminations intermédiaires de .r(n.

2" Il peut arri\er que les conditions d'inlégrabilité ne soient vérifiées, pour cliaque fonction x( t )^ que pour certaines valeurs de l . Toute solution de réquation ( 2 ) de\ant vérifier ces conditions, nous n'avons à chercher les solutions de l'équation (2) que parmi les valeurs ainsi définies. 11 est, v\\ général, facile de voir si une ou plusieurs de ces valeurs sont solutions de ( 2 ), et ])ar suite, si celte équation admet des solutions.

6. Cas de fonctionnelles dépendant de paramètres arbitraires. — Le principe des raisonnements précédents s'applique sans modification. Mais la valeur initiale L 0 de l pour la fonction Xo( ^) n'est plus une constante donnée, mais une fonction donnée des paramètre^ considérés a,, 7.0, . . . , a,, ( ' ).

Dans le cas où les conditions d'intéerabilité sont vérifiées idenli-

(') \a- cas iiù, au lieu lie rr^ ]iaraiiirl l'es en iiDriilu!' liiii, oii a iiiii' aiilri' IViiKiiiiii ifrl)itrairc sçra l'iudit' à |)ait au Cliapilrc IV, eu raisun de ,'<(iii iuiixiilaiK !• partii ulièfc.

CIIAP. I. — lOUATIOXS \l \ lti:ill Vi:i:S l (tNCnONNKI.LKS. I )()

<jiiciii('iil , (•'(•sl-i'i-iliiT <|iicll(' (jiic sdil l;i loiicliuii x(l), (|ih;]Ics (jiic Miicnt. les valciiis de ces piiriinul irs ( (|iii iiil<i\ iciuicnt dans l'expression de ol ^1, el (jiiclle (jiie soil, pour la lonelion eonsidérée x{l)^ la l'orme de l eoiisid(''r('' eomnie lonelion des |)arainèlrcs a, l'équation (•tiidic'c sera dite coin plrti'iiicn l i ii téi; riihic cl adincllra des soiiilions liepcudanl évideminenL d'une loneLioii arhilraii'c de ii \arialjles.

Dans le cas où, sans (Mre idcnliqnemenl vériliées, les conditions d"int('-i;rabililé sont eonipalihics | il faut comprendre ici : compatibles pour loiiics les déterminations de Jc{t ) et pour toutes les valeurs des paramètres a|, elles définiront certaines valeurs de L qui, pour chaque fonction xit)^ pourront encore dépendre de paramètres <iii de lonctions darltiliaires i nuiis bien enlendu pas d'une lonelion arbitraire de n variables ). Jl n'est plus alors aussi simple (jue dans le cas où il n'y a pas de |)arainètres de reeonnaîlre si ('ertalnes de ces valeurs sont des sidiilions de l'équalion (2). Il faut, en iién( rai, procéder de la manière suivante :

Soil à cliereher, |>our une détermination ^„U ) de xi ^ 1, les lonctions de a, , 7.;,, .... y.;,, que l'on peut prendre comme valeur initiale de U. Elles doivent d'abord Nérilier les conditions dintéorabililé. 11 faut ensuite que, oci^t) variant infiniment peu, et la variation de U étant délinie par l'équatujn étudiée, les conditions d'inlégrabilité restent vérifiées quelle que soit la fonction rjx(i)\ ceci donne un deuxième groupe de conditions que doit ^érilier la valeur initiale de L. En écrivant cpie ces nouvelles conditions restent vériliées quand x{t) varie, on obtient un troisième groupe de conditions, et ainsi de suite. JNous avons ainsi des conditions d'îles coudilio/is d'iiitégrabilité de rangs 2,0, ....

Il peut arriver qu'à un certain moment les équations obtenues soient incompatibles. L'équation étudiée n'admettra alors aucune solution, du moins aucune solution régulière (') pour la tonction .2:(i) considérée. Si la même circonstance se présente pour toutes les déterminations .r„(^), cette équation n'a pas de solution.

Si cette circonstance ne se présente pas, les conditions obtenues

{') Nous; appelons régulière une fonelionncllo représenlal)le dans le \oisinage de la fonction eonsidérée x^^{t) par la série de Taylor

L = U„ - OU -i- - o- U ^ . . . -^ ^ 0" U — . . . .

l()0 DKL'XIKME PAUTIi:. — DERlVKliS FONCTIONNELLES Df PREMIER ORDRE.

resteront iadéfinimeut compatibles. 11 peut arriver qu après un nombre fini d'opératidus, les nouvelles conditions obtenues ne soient pas distinctes des précédentes ('); il peut arriver qu'on trouve successivement une infinité de conditions distinctes. Dans les deux cas, on aura t'ornu- toutes les conditions devant être vérifiées par la valeur initiale de L , pour qu'il existe une solution de l'équation étudiée correspondant à cette valeur. La démonstration rigoureuse de l'existence de cette solution est d'ailleurs liée à la démonstration rigoureuse de l'existence de la solution de l'équation (9), à laquelle se réduit l'équation étudiée lorsque l'on considère des fonctions a: (i) ne dépendant que d un paramètre.

7. Exemples d'équations complètement intégrables- — Les considérations précédentes s'appliquent, bien entendu, au cas des fonctions $ d'une ligne C; on forme alors les conditions d'intégrabililé en utilisant les résultats du n° 7o de la première Partie, dont nous conservons les notations.

Proposons-nous de cbercher toutes les équations complètement intégrables de la forme

(10) ô'I' = / /i <i\ M ) on ds

M étant le point <le la ligne il correspondant à la valeur s de la longueur d'arc. La fonction^est une fonction de <P et des deux coordonnées de M, indépendante de la forme du contour C. On a

dn L ô^V J -J ^ ^

Cette expression doit être identique à son adjointe. 11 faut et il suffit pour cela que le coefficient de on^ds^ dans l'intégrale soit une fonction svmétricjue des points M et M,, ce qui s'écrit

/(*, AJ) /(.*. Ml)

(') Si-Ia coïKlilioii <lr liin;; n est iiiir cinisétuu'Uif des préccdcuU's, il t-ii c<t sùi'LniciU de même de luulo li> --ui\ .mies.

CHAI'. I. — KQL'ATIONS AIX DnRlVKES l'ONCTIO.N.NKLI.KS. 1 0 1

L;i \;ilciir commune des (lcii\ incnibrcs csl alors une fnneliou de <1> seiileiueni . d'où il réstdte iminédiatenicnt fjiie /* esl fie la foiinc

/(«!., iM):=^CI.)cp(.M).