I. e(|iiiilinu ( lo) s'écnl aloo

o<Ij r

(II) = / c( M I fjii as — o»r,

é"l' Je '

M' élanl une J'o/ictiofinc/le addilne de la région intéiieurc à C.

Les éqiialions eoniplèlemenl inlégrables de la forme (lo) sonl donc de la forme (i i); elles admelLenl comme solutions des fonctions de fonctionnelles addilives.

8. Cas des fonctions d'une ligne et de deux points. — Désignons par $|) une foncliou diin contour C et de deux jioints A et B, et considérons les équations du type

( « 2 ) o.i.f, = f fi c}.,v '1. \ , <i.;/ ~) hi ds,

([ui comprennent comme cas particulier une équation importante que nous rencontrerons dans l'étude de la fonction de Green.

Proposons-nous de chercher toutes les équations de ce type qui soient complèlemeiit intégvahles dans le champ des fonctions symétriques ('). Nous entendons par là que, si l'on se donne une fonction symétricjue quelconque (-) des points A et B, il existe une solution de l'équation (12) égale à la fonction donnée pour un contour particulier C^ et qui pour un contour cjuelconque soit encore symétricjue en A et B.

(') J'ai trailô dans ma Thèse (Ctiap. II) un problème plus général, en supposant que la fonction / dépende aussi des points A. B, M. Cette généralisation, en rendant laspect des formules un peu plus compliqué, ne change rien d'essentiel aux calculs ni aux résultats. J'ai aussi traité le cas où l'on ne se restreint pas au champ des fonctions symétriques: l'étude de ce cas est un peu plus difficile.

(') Il est entendu qu'on exclut toute singularité telle que les formules qui suivront cessent d'avoir un sens. Cette remarque est importante, car on exclut ainsi les fonctions de Green, par l'étude desquelles on est conduit à des équations du type (2) ou d'un type un peu plus général. La singularité de ces fonctions nous obligera donc à une étude spéciale.

iCri DiaXIhiiJK

l'AIlTIK. —

DKRIVIiES FOXCT

\oiis |H)srr

Mi élanl un point du contour C; nous appellerons ds^ l'élément (l'arc décrit par ce point.

Pour cpie la fonction U»,^, étant symétrique, le reste lorsque le contour C se déforme d'une manière quelconque, il est évidemment nécessaire et suffisant que la fonction /(a, î^, *') soit symétrique en [3 et y. Pour traiter le problème posé, nous devons donc chercher toutes les fonctions f ['3., 3, v), symétriques en ^ et y, et telles que la condition d^intêgrabilité soit identiquement vérifiée lorsque ^^^^ est symétrique en A e/ B.

La variation de la fonction y est

/([i. fji, 0) + ' f{-f, 0, y,)J o/M ds

La condition dintégrabilité s'obtient en écrivant que cette fonctionnelle linéaire de on est identique à son adjointe, cest-à-dire que le coefficient de o/i, dsi dans l'intégrale est une fonction symétrique des points IM et M( . Il vient ainsi

da -/(^'?'V)--^-^7r^/'?.-p^^)

<'t nous devons chercher toutes les fonctions /\7., |j, -') symétriques en 9j et y vérifiant identiquement cette équation, car la condition que <I>B soit symétrique en A et B n'empêche pas a, ^3. v, [j,, •',, 0

CII.Vl». I. — liQUAiflONS AUX DKIlIVKliS KONCTlO.NNKLLIiï. 1^3

«l'rlic ([uelconques ; elle est seulement intervenue pour nous j)(;inicllrc (le i'e|)résenter Q>j',^ et <!>?[' |)ar le inrme >\inij(tl(' o.

9. Dérivons ('('([iiiilion ( i.')) pai' rapporta J^, "'i, o. Il \niil

(•4) ?(.ï, .^, -;) ï< Y- ^^. Yi I = cp(7., pi, Yi)9(p,, |i, o;,

en posant

La fonction ci(a, ^j, -') apparaît ainsi conime un pr()(luil de trois facteurs dépendant l'un de a, l'autre de [i et le troisième de v. Couime elle est évidemment symc-trique en j3, •'. on peut poser

'^^^"^''^ jTiV) —

Le |)reinier membre de l'équation ( i4) devant être indépendant de ■', on a

c étant une constante. Posant alors

g'{y.) = cig-,(7.) = c gi\:^), il vient

10. 11 peut arriver que la fonction 'f (a, ^, y) soit identiquement nulle. Commençons par traiter ce cas. La formule (i5) donne alors, en tenant couq^te de la symétrie dey (a, [i, y) en ,3 et y,

(17) /(a, p, y) = /i<>, iî) + /î(«, Y> L'équation (i3) dérivée par rapport à 0, s'écrit alors

(18) <|>(a, P)-]..,^,2)-i-d.(a, Y)'KT>^^,' = ^('^->Pi)'K.'ii,ô,'+'l'>^, ii)'MTH5;, en posant

La formule (18) nous montre que le produit '\'(y-, P) '}(?? 0) ^^t

l64 DEUXIÈ.ME PARTIL. — DÉIIIVÉKS FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

indt'pendanl de [i>. La fonction '}(a, [i) est donc de la forme

h\ désignant une fonction arbitraire. Les formules (i^) et (19) donnent alors

Or on peut faire sur l'écjuation (12) un changement de fonction inconnue en posant

(21) xr,1 = A,('ti^),

h, étant une fonction primitive de h\. La nouvelle équation aux dérivées fonctionnelles est évidemment complètement inlégrable en même temps que l'ancienne. En j remplaçant U^ par <I> et en conservant les mêmes notations, la forme de la fonction /(a, [3, y) devient

En portant cette valeur de la fonction y dans l'équation (i3), celle-ci se réduit à

c'est-à-dire k c = o. La formule (20) se réduit donc à

./'/^ P, T) = /i«>- ■ L'équation aux dérivées fonctionnelles étudiée est alors de la forme

— = / on as = ob

(S étant Taire intérieure au contour C, si l'on suppose oti compté positivement vers l'extérieur) qui est un cas particulier de la forme (i i). On devait s'attendre à trouver cette équation, les points A et B n'intervenant pas, ou n'intervenant que comme paramètres dans les solutions de l'équation considérée.

H. Revenons au cas où la fonction o(a, j3, y) n'est pas identiquement nulle. Elle est alors de la forme (16), et l'équation (i5)

CHAI'. I. — KQUATIONS AUX DÉRIVKKS l'ONCTION.MvIXES. id")

(loniio, Cil l(Mi;ml (;(»iii|ilc de la s\ iin-iric de f(^y.^ |j, y),

la fonction g ("'lant une fonction piiinitive de la fonction g . Si alors nous faisons le changeuicnt d'inconnue

analoi^ue à celui défini par la formule (^21), la fonction /"(a, p, y) relative à l'équation auv dérivées fonctionnelles v(''rifi<''c par ^Fj^ est do la forme

(23) /"la, p, Y) = Py + /".«' 1^; + /'^=^. Y)-

En tenant compte de cette formule, et posant toujours

on a, par dérivation de l'équation (ij) [)ar rapport à 0,

(2^.) [y ^.i;(a, [i )][[B. + J;(!3, 5,,] + [.3 +-Ka, Y ;1[Yi + 'Hy> ^^)]

= [Yi + 4'l^, ?.)![? +'^(?., ô)J-f-[Pi + <l>(a, Yi)J[Y +'KYi.^i]- Dérivant à nouveau pai- rapport à [j et y, et faisant y = |j, on a

Donc <|> (a, {3) se réduit à une fonction 'l^i^^-i) de son second argument, et l'équation (aS) devient

<].(o)[P + <1;(13) + y + 'Hy)-Pi-4'(Pi)-Yi-'WYi']

Le second membre ne dépendant pas de 0, il en est de même du premier, ce qui exige, soit que '}(o) soit une constante, soit que son coefficient soit nul, c'est-à-dire que ,3-f-'i;(j3) soit une constante. En tout cas, on a

et par suite, en tenant compte des formules (aS) et (24),

/(a, !3, y) = 3y -+- /i(a) + £( S^H- y') + ci(lâ -h y,)- .

l66 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

Porlanl celle valeur dans l'équalion (i3), on voil que le terme [i'^] a pour coefficienl — . Il faut donc que c = o. Un nouveau changement de fonction inconnue, remplaçant a, [^, y par a — C|, ^ — C|, V — C| , fait alors disparaître le terme en C|, et il vient

/(a, 3, y) = py+y-(a).

Portant cette nouvelle valeur dans l'équation (i3), elle se réduit à

■(PiTt-?Y) = T./.(?.)-^-"./i(7i)-ï/i(lî)-.'^/i^r)-

Le second membre ne dépendant pas de a, il doit en être de même du premier, de sorte que la fonctiony, (a) est de la forme c a-\-c" . Substituant cette forme, on voit enfin que c' et c" sont nuls, de sorte (| u e

/(a, P, t) = Py- .

L'équation aux dérivées fonctionnelles étudiée se trouve ainsi réduite, par le changement de fonction inconnue, à la forme

(•iG) ■ ocp,^=y*^,'i»^^«

12. Les résultats des n"' 10 et 11 conduisent à énoncer le théorème suivant :

Si une équation aux délavées fonctionnelles de la forme

est complètement intégrable dans le champ des fondions symétriques des points A et B, ou bien la fonction f est une fonction de son premier argument seulement^ de sorte que les points A et B ne figurent que comme paramètres dans V équation donnée^ ou bien cette fonction est réductible, par un changement de la fonctionnelle inconnue^ à la forme

r>^ = C «I.A ,i,M 5,j ^^ Cette équation, ainsi que M. Hadamard l'a découvert et que nous

CHAI'. I. — i':.)i:ati()NS aux i»i-:ui\ i';i:s r )m rin\M:r,i.Ks. 1(17

NOTK SI W LV (OMUTION I) I M K(;i; U;IIJ IK.

En raison (lu lolc roiidaincnlal de la coudilion d'inl('i;iabililé, il ii'esl peut-èlre pas iniililc de lapprlcr coinincnl se ()r('senle celle eoiidilion dans la lliéoiie des écjualions aux dilïéreiiliellcs totales. Nous exposerons celle queslion sous une forme un peu dillérente de la forme habituelle, plus simple, à notre avis, en tout cas se prèlanl mieux aux généralisations que nous a\ons en vue.

a. Considérons l'équation à deux variables ind(''peiidantes

(1 ) </;; = \ ( X, y, z ) dx •+- Y ( j-, j', z ) dy.

Si une fonction r- vérilic; cette équation, ses dérivées premières sont \ et Y. et Ton en déduit deux expressions de - — ^ (lui doivent être égales, c(î qui donne

dy âz

dx ^ ()z

Telle est la condition d'inlégrabililé, évidemment nrcessaii e.

Soit maintenant à résoudre le problème de Caueliy relatif à Téquallon ( I ), c'esl-à-dire à déterminer une solution de cette équation égale à Zq pour x = t' = o. Pour la calculer en un point ç, i\, nous pouvons faire varier dabord x de o à ç, puis y de o à r , et intégrer l'équation (i) le long du contour ainsi défini. En d'autres termes, la

variation de ; sera définie sur l'axe des x par la condition —^ =X.

et sur une parallèle quelconque à l'axe des j' par la condition -^ = \ . Ea fonction :; ainsi délinie vérifie donc une équation de la toinie (■^ ) dz r=(\-^ II) dx 4- Y dy,

H ('tant une fonction de x c{y, dont nous savons seulement qu'elle s'annule pour )' = o.

D'ailleurs, le problème de Cauchy posé ne pouvant admettre diiulrc solution que la fonction\3 ainsi obtenue, il est nécessaire et

l68 DEUXIÈME PARTIE. — DKniVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

suffisant, pour qu'il ail une solution, que cette fonction vérifie l'équation (i), c'est-à-dire que u = o.

11 est évidemment nécessaire pour cela que la lonction ; ainsi formée vérifie la condition (2). Je dis que, réciproquement, cela est suffisant.

Supposons donc cette condition vérifiée. D'autre part, z, vérifiant l'équation (3), vérifie la condition d'intégrabilité correspondante

dy âz ôx oz

La comparaison des formules (2) et ( /\) donne

£m <)Y ôy dz

d'où

Si la condition (2) est une identité en a?, j', ;, on a ainsi une solution, quel que soit z-o- La solution de l'équation (i) dépend dun paramètre.

Si c'est une relation entre x, r, z, (contenant efiectivement :?. il peut y avoir des solutions de (i), si la fonction z définie par la condition d'intégrabilité est bien solution de (i); en général, il n'y en a pas.

Si c'est une relation entre x ely^ il ne peut pas y avoir de solutions.

b. Supposons maintenant que z soit fonction de x, y, et d'un paramètre a, variant par exemple de o à i et que ses dérivées X et \ , par rapport à x et j', soient données par des formules de la forme

K(x, j>-, 2o)= F] [z(x,y, :i)\x,y, Xo] ],

Y{x, j, ao) = G 1 [z(x, y, a) ] x, y, ad |,

les fonctionnelles F et G dépendant des valeurs de z pour les valeurs particulières de x et y que l'on considère, mais pour toutes les valeurs de a entre o et i .

Chacune de ces équations est du type (9) considéré dans le Chapitre qui précède, avec cette différence qu'elle contient une variable

ClIAP. I. — K(,)UATIO.NS AU\ DKUl VKHS l'ONCTIO.NMCI.I.KS. l((9

(:r ou y ) fif^iinml cimmic païaiiirlre. L'eiiseinblc de ces ôquatiijiis (lé(ii)il la \aiialinn de r (|iiaiHl x et y varient, par exemple de la luauièic iiuli(pié<' au |)aragraplie a; on a ainsi une lonclion z bien détei iniuic, solution des équations

dz ,, , àz ..

la fonclion // [.r, y, a) sannulant pour x ^= o.

[x's deux \aleurs de -; — 7- déduites de ce système sont é;iales. Pour

faciliter l'écriture, supposons que les variations des fonctionnelles F et G lorsque la fonclion z varie s'ex|)riuient par les intégrales de M. Vollerra :

/ I'%,a(, 0 J rfa, / G'.,

ch.

11 vient

= ^ -+- / G;,3j,[X(j", jk, a) 4- «( X, y, 7. 1] (h..

La condition dintégrahilité du sjstéme (5j s'obtient en faisant u = o. Elle est nécessaire pour que 11=^ o et que, par suite, la fonction :; formée soit solution de l'équation (5 V Elle est aussi suflîsante, car elle entraîne, en tenant compte de (6 ),

Cette équation intégro-diflerentielle définit parfaitement u(x, >', a,, ) si Ton connaît sa valeur initiale pourj^= o, et si cette valeur initiale est nulle, u est partout nul. c. q. f. d.

Si la variation des fonctionnelles F et G n'est pas de la forme considérée, si notamment elle contient des termes dépendant spécialement de l'allure de la fonction z(x, y, a) dans le voisinage du point a= o, l'équation (7) sera remplacée par une intégro-différen

»• 11 P . 1 - - 1 1 . àuix. y, !Xo) 1

tielle d un type un peu plus gênerai, donnant p sous la

forme d'une fonctionnelle linéaire dépendant des valeurs prises par u{a:,y, a) quand a varie de o à i, fonction en outre de x, y, a,). Mais la conclusion que cette équation entraîne m = o, si la valeur initiale u[x, o, a^) est nulle, subsiste.

rjO DEUXIÈMK PARTIE. — Di'rIVÈKS FONCTIONNia.LKS DU PREMIER ORDRE.

c. Soit maintenant une fonction z de trois variables a?i, .2:2, ^i, assujettie à vérifier l'équation aux différentielles totales

dz = Xi ( Ti, X2. -es, :■) dx^ -l- X-i( x^, x-i^ X),^ z) dxi-\- X3(a;,, x=i, x^, z ) dx^.

Cette équation permet de calculer la variation de :; quand on fait varier j?,, 5^25 -^s suivant une loi déterminée, et il est évidemment nécessaire, pour que le résultat soit indépendant du chemin suivi, que

Uxj ■' àz ()x, ()z ■' - ! /

Je dis que cette condition est suffisante. En effet, si l'on considèr.' des systèmes de valeurs j"i, x-x^x-^ dépendant d'une manière quelconque de deux paramètres X et ijl, représentant des points x,, x^-, x-i, décrivant une surface S, on vérifie sans peine que

c'est-à-dire que le résultat est indépendant du chemin suivi pour faire varier a?i, x^t ^3, à condition que ce chemin soit sur la surface S. Mais deux chemins quelconques allant de l'origine à un même pointa?), x-2, X:i peuvent toujours être considérés comme étant sur une même surface S. Le résultat est donc indépendant du chemin suivi.

Jl n'y a pas de difficulté à considérer, au lieu de la fonction ii{Xi, X21 x-i)^ une fonction d'un plus grand nombre de variables, on bien une fonctionnelle, ce qui conduit au problème traité dans le Chapitre précédent. Nous rencontrerons au Chapitre IV une généralisation un peu différente. Il n'y a jamais de difhculté à étendre le raisonnement du paragraphe a de cette Note, et nous pouvons toujours affirmer que la condition d'intégrabilité, toujours aisée à former et évidemment nécessaire, est aussi suffisante.

d. Bien entendu, dans le cas où cette condition n'est pas idenliquement vérifiée, il faut choisir une détermiuation initiale de la fonction ou fonctionnelle étudiée qui la vérifie, puis écrire qu'elle reste vérifiée pour les nouvelles valeurs de cette fonction ou fonctionnelle déduites de proche en proche des équations données. On obtient ainsi, en général, de nouvelles conditions de plus en plus restrictives, comme nous l'avons montré au n" 6.

CIIÂPITIIK U.

L'ÉQUATIOX AUX 1)KIU\ KKS lONCTIONNELLES DE LA l'ONCTION DE GllEKX.

S;i\i.MAiRK : Le problcine de Dirlchlet et la fonction de Green dans le cas du plan : L'é(|ualion île Liiplace. — Les poicntiels de simple et de double couche. — F^e prol>lème de Diiiclilct. — L;i fonction de Green. — Cas du cercle. — Sinj;ularité de la fonction de Grecn. — Application de la repicsenlation confoiinc. — Le prolilèmc de Diiiclilet dan*; l'espace. — La variation lie la fonction de Green : I^a fornnile de iM. Hadamard. — La variation des dcrivces de la fonction û^' Green. — Inlégrahilité de l'équation [■''>) : Formation de la condition dintégrabililé. — Ktude du cas régulier — Etude du cas singulier.