LE PROBLÈME DE DIRICHLET ET LA FONCTION DE GREEN DANS LE CAS DU PLAN

Il peut être utile, pour faciliter la lecture de la suite à un aussi grand nombre de lecteurs que possible, de rappeler d'abord les propriétés classiques des fonctions liarmoniques et de la fonction de Green. Le lecteur au courant dv ces questions peut passer les n"' 13 à 20.

13. L'équation de Laplace. — Une fonction u de deux variables x el )', coordonnées d'un point dti plan, est dite harmonique lorsqu'elle vérifie V équation de Laplace :

.nu ,n,i i\) Ait = -— - -^ — — = o.

()x- df'^

Cette équation ne change pas par un changement de coordonnées rectangulaires. Si en particulier on prend comme axes de coordonnées la tangente et la normale à une courbe, on a, en conservant b'S notations du n" 76 de la première Partie,

rf2 i< d^ u d' u d^ u du

dn- dt- dn^ ds- dn

La formule de Green, appliquée à deux fonctions liarmoniqucs a et (', s écrit

les fonctions u et v étant harmoniques et continues ainsi que leurs dérivées premières à l'intérieur du contour fermé C, et ds étant l'élément d'arc de C décrit par le point M dont dépendent a et r. Si en particulier i^ = i , on a

r du ,

La fonction \os -, p étant la distance de deux points A et M, est

une fonction harmonique de chacun de ces points. Si Ton veut appliquer la formule de Green à a et log-, considérées comme fonctions

de M, et si A est intérieur au contour C, il faut isoler ce point par un petit cercle. On trouve ainsi

[ d , i , \ du

I r d , i , \ dn\ .

'' -i-J^^X dn ^^ "0 du )

la direction positive de la normale étant dirigée vers l'intérieur de ('.

14. Les potentiels de simple et de double couche. — On appelle ainsi respectivement les intégrales

Va= / }Ji.(jr)log^rf5,

Wa = / H.(5)— -log-<^5, J (In p

a(5) étant la densité du potentiel considéré ( ' ).

Si A n'est pas sur le contour C, la règle habituelle de dérivation des intégrales définies s'applique et il en résulte que les potentiels sont des fonctions harmoniques du point A.

Les formules qui définissent les potentiels conservent un sens

(*) Il résulte iniincclialcnient de ces définitions que, pour ix(s) = i, W» représente l'angle sous lequel la ligne C est vue du point A, en comptant positivement les angles pour les parties de C pour lesquelles A est du côté positif choisi sur la normale. Si C est un contour fermé et A intérieur à C, on a donc Wa=: 21:.

niU'. II. — IIKHIVKKS FONCTIONM'I.LKS I)K I.A FONCTION DF, GREKN. Iji

\i)\>(^[\(' A, supposé iiil(hieiir au coiilour, Icnd vers un jKtint ^a du conloiir; mais W^ lu- Icnd pas v(!rs \\ „. ( )a a

lim Va = V«, / lim \\'\ = W„-h 7t;/„,

Y-a élanl la valciii- de [J-{s) au [)oliil a.

Si l'on désigne par -: — une dérivée prise en supposant un déplacenienl de A parallèle à la normale intérieure en a, ou a

= / \x(s)—, — \o"-ds.

dUa Jj. ' ^ dna " f

Cette intégrale conserve un sens lorsque A vient en a, mais, de même que W^, elle n'est pas eontinue. On a

(,7) l,m = / ,^,5) log — ^5 — -;/„,

A— ^rt a'ia ^(j "fia pa

pa désignant la distance «M.

La dérivée normale de VV^ est eontinue, en ce sens qu'elle a la même valeur limite suivant que A tend vers a d'un côté ou de l'autre de C. Mais l'intégrale qui représente cette dérivée cesse d'avoir un

sens quand A est en a, la fonction - — -, — log; — devenant infime pour 1 dn dfia " p„ ^

Ort=o. Elle est la somme de -r et d'une quantité finie. On peut

obtenir une expression commode de la limite considérée en écrivant

^Wa r, , r/2 /, I \ ,

(8) hm — = V. p. / [<xi s ) — [Xa] -r—: log — rf5,

x-y., dUa Je 'dndna\ Pa/

le symbole v. p. désignant la valeur principale au sens de Cauchy [iioir n'^ 52 de la première Partie).

Les formules (6) et (7) supposent simplement [^(s) continue ena; pour la formule (8), il n'est même pas suffisant de supposer l'existence et la continuité de la dérivée l>-'{s); on peut l'établir en supposant en outre l'existence de la dérivée seconde [J- (•^)5 hypothèse qui peut d'ailleurs être remplacée par d'autres moins restrictives. Mais, de plus, la formule (8) suppose essentiellement que G soit un contour/erme. Dans le cas contraire, il y aurait lieu d'ajouter au second

174 DEUXIEME rAIlTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDIE.

membre le terme

il II a

'^a étant l'angle sous lequel on voit de a une ligne C joignant les extrémités de C, et telle que le sens positif choisi sur la normale à C en a soit dirigé vers l'intérieur du contour fermé formé par C et C.

Si lo-n considère les dérivées -;— relatives à une direction parallèle

dta ^

à la tangente en «, on a

——= - — = V. p. / ;j.(s)-7— log — ds, a dta dSa Je dSa Ç>a

a dta dSa " '' « Je '^ " ' d/i ds,

,. d\x dWa r / ^ I '

Iim — = - — = V. p. / ;j.(s)-7— log —

A ^ « dta dSa Je "*« P<»

^^^ ^ ,. dWx d(Wa-^-lX,,) , r di . I ,

Il m — — ■ — — = T a', -f- / 'US) — ; — \o" — as

Indiquons enfin que, pour tout arc analytique C, de C sur lequel 'J-[s) est liolomorphe, les fonctions

(lO) -Iog— , iog— , log -, \a, ^^ a

dn '' p„ dfia ^ Pu dndn, ° p,^ of,

sont lîolomorphes. Si, de plus, [x(.sj est sur toute la courbe C une fonction liolomorphe de certains paramètres, les valeurs de V^,^ et A\ ^ à l'intérieur de C et leurs valeurs limites sur l'arc considéré Ci sont des fonctions holomorphes de ces paramètres et du point A. Cette proposition est connue sous le nom de théorème /le liruns.

lo. La problème de Dirichlet. — Ce problème consiste à déterminer une fonction harmonique /r^, continue, ainsi que ses dérivées premièies, dans la région intérieure à un contour C, connaissant sa valeur ;/ en tout point .M de C. Nous supposerons la valeur donnée sur C fonction continue de M ( ' ).

Le problème ainsi posé admet une solution et une seule.

La démonstration de Tunicité résulte aisément de la formule (4)-

Pour démontrer qu'il en existe une, il suffit, par la méthode de M. Fredholm, de montrer que, pour une détermination convenable de u(5 ), le potentiel ^^ ^ résout le problème. Comme ce potentiel est harmonique, il suffit qu'il prenne la valeur u sur le contour, ce qui,

(') On pouirail iidiiicUre cciUiiiK^s disconliiiuilOs.

CHAI'. II. — DKRIVKES K0NCT10NNEM.K« DE L\ KONCTION DE (.UF.li.N. 17»

«Tapirs la roiimilc (()), cojuluil à (Icliiiir |/( s ) par rrcjualiou (l<! l'redliolin

(il) -;ji«+ / ;ji(^s)-p-lug — ds—Ua-

J.. fin 0,1

\a' nojaii «l(; celle éqiialion <•>! lidloiiKtrplie. Son (Ictenniuaiil ne peut rire mil, car s'il élait mil, un poiinail Irouver une fonclion ji (.y; non nulle (pii anmilerail le premier membre et \v. polenliel correspondant W^ serait une solution non nulle du pr<)l)lcme i\c Diriclilet correspondant à des données nulles sur le contour, ce ([ui est contraire à l'unicité de la solution.

Il existe donc une fonction a(.v), donnée pai- une foriiuih.' de la forme

(^■Jï) T.[Xa= ll'a-+- / Il '0{S, Sa) ds,

le fonction '3 étant holomorphe. Le potentiel W^ est alors une solution du problème de Dirichlet, et, de plus, nous voyons que, si le contour C est analytique et si les valeurs données u sont des lonctions holomorphes de s et de certains paramètres, \i-{s) et, par suite, Wv= '/a ^t)nt des fonctions holomorphes du point A et de ces paranu'tres. Celte proposition est due à MM. Schwarz el Hadamard ( ' ).

16. La fonction de Green. — Pour pouvoir résoudre le problème de Dirichlet, quelle que soit la fonction donnée u sur le contour, il suffit de savoir le résoudre lorsque cette fonction est égale à la valeur

prise sur le contour par la fonction log - , /• désignant la distance de A

à un point B quelconque intérieur à C. Ce problème n'est pas résolu

par la fonction log- elle-même, celle fonction étant harmonique,

mais infinie au point B. Soit ]i\, la fonction qui le résout. On appelle Jonction de Grecn la fonction

(|3) ^B = 't.g^— //fj.

C) J. Hadamard, Me moire sur le problème cVanalyse relatif à l'équilibre des plaques élastiques encastrées {Mémoires présentés à l'Académie des Sciences, I. XWIII, 1908, p. 23-27). Voir aussi mon Mémoire sur l'allure des fondions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour {Acta mathematica. t. 42).

\-S DELXlÈMi; PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES Dl PREMIER ORDRE.

Elle est ainsi définie par les condilions dètre l(( somme de log- et

d' une fonction harmonique et régulière du poij}t\. et de s'annuler quand A est sur le contour.

En appliquant la formule de Green aux fonctions g^l et g^^ (il faut, pour cela; isoler les points A et B par des petits cercles), on obtient la formule

La fonction de Green est donc une fonction symétrique des points A et B. Cest donc une fonction harmonique de B aussi bien que de A. et elle s'annule lorsqu'un cpielconque des points A et B vient sur le contour.

En appliquant la lormule de Green à ^'^' et à la tuiiction harmonique Uf^. on obtient la formule

^i4i uk=— fu'I^ds

■2- Je dn

qui résout le pnil^lème de Dirichlet.

La ré^olutiiin de ce problème est ainsi ramenée à la connaissance

de la fonction de (ireen, et il sufiil même de connaître -^ . qui est

an ■ '■

une fonction d'un j>oint du contour et dun point intérieur au contour, c'est-à-dire une fonction de trois variables seulement. On peut même observer qu'il suffit de connaître la valeur de la fonction

dn dna

Il et M étant deux point? du contour. En effet, cette fonction étant connue, la fonction

qui est une fonction du point A. liarmonique et régulière à l'intérieur de C. et connue sur le contour ainsi que sa dérivée normale, est définie en tout point A intérieur à C par la formule < 5V La fonc-

tion -J^ est ainsi connue, et la formule ('i4') résout le problème de

Dirichlet.

La fonction (j"^', bien définie lorsque a et b sont des points du

CIIAP. ir. — OKRIVKES FONCTIONNELLES DE L.V FONCTION DE GREEN. 1^7

conloiir, cl (loiil la connaissance équivaut à celle d*' la fnnclion (le (irocu eile-iuènie, est la preinièi-e dérivée de celle rouclion qui ne soil pas uulle. Toutes les autres dérivées, pour les points du contour, s'en déduisent immédialemenl ; ainsi la formule (2) donne

k'a et l<b désignant les valeurs de la courbure de C en a et b.

17. Cas du cercle. — Lorstjue C est un cercle de rayon R, on a

(17) ^j^ = log-^-,

d désignant la distance de B au centre du cercle, et r' la distance de A au point B' conjugué de B dans le cercle; on vérilie immédiatement que cette expression possède bien les propriétés qui servent de définition à la fonction de Green. On en déduit

^=2 — lo-i — - = ^ — i dn du '= 0 R g2 h

f 2R2sin2- «""

p désignant toujours la distance AM, p désignant la distance de A à la tangente au cercle en M, 0 l'angle des rayons du cercle aboutissant aux points a et b, ab la distance de ces deux points. Il est à remar-

([uer que (j"/' ne dépend que de la distance ab, et non du rayon du cercle passant par ces deux points. -

18. Singularité de la fonction de Green. — D'après la définition de cette fonction, et d'après le théorème de MM. Schwarz et Hadamard, la fonction Ag est liolomorplie, de sorte que g^ a même singularité que log-, lorsque A et B sont intérieurs au contour C et que de plus le point B ne s'approche pas du contour. Mais il n'en est plus de même lorsque B est sur le contour; c'est alors la fonction g^ qui est holomorphe (étant nulle), et h^ a la même singularité que log-- On est alors conduit à se demander ce qui a lieu lorsque A et B tendent vers un même point du contour.

1-8 DELXIKMIC I>AUT1E. — DÉRIVÉES FONi.TlONXELLI.S DU PUEMIEU OllDUi:.

Pour résoudre celle question, parlons de la remarque que

(lu "- r, p2

se réduit, quand A vient en un point a du contour, à une foncllon holoniorphe des points a et M. La fonction 'f (A, IM), définie comme étant une fonction harmonique de A, sans singularité à l'intérieur de C ni sur C, égale à la précédente sur le contour, est donc, d'après le tliéoi'ème de MM. Scliwarz et Hadamard, une fonction liolomorphe des points A et ]M.

L'intégrale

est donc une fonction harmonique de A, égale à a sur le contour (en raison de la discontinuité du potentiel de double couche). Elle est donc égale à iip^, et la comparaison de celte formule, qui donne une nouvelle solution du problème de Dirichlel, avec la formule (i4>, donne

(.9) f^ =..^;l|ogi c.(A, M).

^ -^ ' dn du ^ p . ' ^

dff^ La fonction es étant holomori^he, la singularité de —7— est ainsi

' ^ du

parfaitement connue.

Or celte fonction, permettant de résoudie le problème de Dirichlet, permet en particidier de déterminer /q^, et par suite gy,. On a ainsi

(.0) .A^,ogi--L- r

p' désignant la distance MB. Tenant compte de Texpression (19 ), on voit que g^ est la somme d'une fonction holoniorphe des deux |»oints A et B et de

L'application de la formule de Green aux fonctions log- et log montre que l'expression précédente est identiquement égale à

CIIVP. II. — l)i;Hl\ KICS FOXCTIONNEl.l.r.S DE I, A KONCTIOX lir: (JllKKN. I 7<)

l'^illiii ou iIimIiiiI lie hi loiimilc (i()) (liic ({'! e>l l;i somme (Je; --7- cl

\ .'/ 1 .' > ^iiji

A\\\\i\ fonclion holomorplic des jioinls a cl h du couloiir.

\x pi'ohlcmc pose csL aiusi ic'-solu simpicmoul pour \;\ louciion (le (îiccu cl celles de ses dtu'ivées (pu |onci'oul le |iliis j^rinid l'c'de daus la siiile.

Les résullals |>réccdenls, reposaul sur le llH'Orcnie de MM. S( liwarz el Iladainard, supposent nalurellemeiit le contour analjti([uc. Si, au lieu de vouloir connaîlrc la fonction de Green avec une erreur qui soit une louciion lioloniorplie, on se propose seulement d'ohlenir une erreur (jui resic Unie aiusi (pie ses dérivées jus(prà un ordre délermint} y>, il suKîl de suj)poser (pic les coordonnées du |)Oinl M du conlour soient des lonclions de 5 continues ainsi (|ue Icih's déi'ivécs juscpi'à l'ordre p -{- \ .

lu. Application de la représentation conforme. — Considérons une représentation conforme de la région intérieure à C sur la région intérieure à C, et appelons A' et B' les points qui correspondent à A et B. Une fonction harmonique du point A devient une fonction liaioniquc du point A'. D'autre part, la différence

I ' I ' log- — logp,

!'•' désignant la distance A'B', est holomorphe. On en déduit que

j désignant la fonction de Green relative au contour G', car la difféence de ces deux cjuantités est une fonction harmonique de A' (ou ie A), sans singularité, et nulle sur le contour. I Pour déterminer ^'i^, il suffit donc de connaître une représentation

onforme de la région intérieure sur une région pour lacjuelle on

onnaisse la fonction de Green, par exemple un cercle. On peut .isément en déduire une autre méthode pour l'étude de la singularité

e la fonction de Green.

Appelons /(A) le rapport entre un chemin infiniment petit décrit

ar le point A' et le chemin correspondant décrit par le point A.

>n a évidemment, A et B venant en a et b sur le contour,

l8o DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

Prenons pour C une circonférence de rayon i el représentons la correspondance entre les points de C et ceux de C par la relation

5'= Fi .ç ).

La fonction/*, en un point de C, est évidemment la dérivée de S, de sorte tpi'il vient, en tenant compte des formules (i8),

Nous avions déjà ramené le problème de Dirichlet à la détermination de la fonction d"/'. La formule (23) nous montre qu'il se ramène à la détermination de la formule d'une seule variable Ff^). Cette fonction étant connue, il se résout par deux quadratures.

20. Le problème de Dirichlet dans l'espace. — La plupart des résultats précédents s'étendent au cas de l'espace, en remplaçant le

potentiel logarithmique log - par le potentiel newtonien - \—;^, dans

l'espace à n dimensions), et le facteur 2- qui intervient dans un

grand nombre de formules par le facteur 4" 1 d'une manière générale, le facteur à considérer est égal à la surface de la sphère de rayon i).

Il y a toutefois deux circonstances qui rendent impossible la généralisation de certains des résultats précédents.

1° L'expression

est remplacée par l'expression

dn p p^

qui ne se réduit pas à une fonction holomorphe des points a et M quand A vient en a sur la surface, mais devient infinie pour 0 = 0. L'équation de Fredholm (11) est alors remplacée par une équation à noyau singulier. M. Fredholm a d'ailleurs montré, par une méthode fort élégante, que les propriétés essentielles de son équation ne sont pas modifiées par une singularité de la nature de celle considérée ici,

CIIAP. II. — DlilUVKKS l'ONCTlONNELLES DE LA FONCTION DE GHKEN. l8l

el que sa nirtliodo de icsoliilion du prohlèine de Dirichlcl s'appliquaau cas de 1 espace.

Mais il résulte de la sii)i;ularil(' considérée (ju'il iiesL pas possible de généraliser les résultais du u" il). 11 ne semble pas possible, dans le cas de l'espace, de représenter par des quadratures en nombre fini une fonction ayant même singularité que la fonction de Green, c'està-dire différant d'elle par une fonction liolomorplie. En tout cas, ce résultat n'est pas obtenu par les expressions qui correspondent aux expressions (:îi) et (22 ).

Dans un grand nombre de questions, il suffit d ailleurs de connaître une fonction différant de la fonction de Green par une fonction restant finie, ainsi que ses dérivées jusqu'à un ordre déterminé. Ce résultat peut toujours être obtenu par des formules élémentaires, mais qui deviennent rapidement compliquées dès que l'ordre considéré est élevé ( ').

•2° La notion de représentation conforme ne s'étend pas au cas de

'l'espace. Il en résulte qu'on ne peut pas trouver de fonction d'un seul point de la surface, analogue à la fonction V {■s) du n° 19, dont la connaissance suffise pour résoudre le problème de Dirichlet. Ce problème ne peut être considéré comme résolu que quand on connaît au moins la fonction CJ'J^ de deux points de la surface. Cette circons-

I tance augmente l'intérêt qu'il peut y ayoir à considérer cette fonc-

! lion.

Dans la suite, nous étudierons surtout le cas du plan et nous évite-

,rons d'utiliser la notion de représentation conforme lorsque ce ne sera pas nécessaire, de manière à présenter les raisonnements sous une forme permettant l'extension au cas de l'espace.