LA VARIATION DE LA FONCTION DE GREEN

21. La formule de M. Hadamard. — Supposons que le contour C 56 déforme, sa déformation étant définie à la manière habituelle par la donnée de un en chaque point. Cherchons la variation ogi^ de la 'onclion de Green, correspondant à cette déformation, les points A it B restant fixes. Nous désignerons parle symbole O). lorsque les

(') Voir mon Mémoire déjà cité des Acta mathematica.

l82 DElXlÈMi: PARTIR. — DKRIVKES FONCTIONNELLES DU PREMIER OHDRE.

points A et B (ou un de ces points) sont sur le contour, la variation obtenue en supposant qu'ils restent sur le contour (ou que le point considéré y reste) en se déplaçant normalement à lui.

Lorsque B est fixe et intérieur à C, il résulte de la formule (i3) que oo^ est harmonique et sans singularité à l'intérieur de C. Cette fonction est donc définie si l'on connaît sa valeur, lorsque A vient en un point a du contour. Or. dans ce cas, on a évidemment

(.4) o.,.ii = o,,^i;-5^o,„ = --^,„„.

On en déduit, en appliquant la formule (i4)î"

o.i'u — — — / on ds.

^ ■■ Je on an

Cette formule, (Jiie à M. lïadamai'd ('), donne la variation delà fonction de Green lorsque A et B sont fixes et intérieurs au contour.

Si A vient en a sur le contour, l'intégrale obtenue a la même dh-

dg^,

continuité que le potentiel obtenu en remplaçant -y- par sa partie

du

infinie 2 ^ , et Ion trouve pour S^^iJ, non zéro, mais 1 expression

déjà écrite (24). Si en même temps B vient en b sur le contour, on a de même, évidemment,

' dlla d/i,,

122. La variation dss dérivées ds la fonction de Green. — Si A

et B sont intérieurs au contour, la formide (ao) peut être dérivée

sans difliculté et donne la variation des dérivées de ^>"iV

d<^^ Si A vient en un point a du C(uitour. -^ étant la somme de

dn

2 — -: — - et d'une fonction holomorphe, les inléerales obtenues se an i ' C'

dlos-

(') Voir Comptes rendus, 9 fÙM-icr igi).!, el Leçons sur le Calcul des variations, p. 3o3 cl suiv

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