X-^adll

[d'après la noie du n" li et la formule ( i4 ) |, de sorle que l'on peul encore écrire

Considérons inaiulenanl la variai h »n 0,. ohlenui." en tenant compte de ce que a reste sur le contour en se déplaçant normalement à lui, et qu'en même temps la direction de la tangente au contour en a tourne d'un angle on[,. La relation entre les variations 0 et o, a déjà été écrite avec d'autres notations [formules (3i), n° 76, première Partie]. Il vient, avec les notations actuelles et en tenant compte dos propriétés élémentaires de la fonction de Green,

dg'^i , dg^

dSii dSa

«^B > agK

dlla dlla

dta dlla

dgl .

dgH ^ , dlla

dn a

l84 DEUXIÈME PARTIE. — DKRIVÉES FONCriONNELLES DU PREMIER ORDRE.

et, par suite, en tenant compte des formules (26),

Ol

dSa

Ol -, = Aa -z On^i

dlla alla

I r [pa dg{l .

dri dn.

1 ^\'>gi- 1 ,.

La première de ces formules était évidente a priori.

Une méthode analogue s'applique pour les dérivées d'ordres supérieurs, et lorsque le point B vient en un point h du contour. On a ainsi, pour la variation de la dérivée d"^',

d^ loi

()M O'/' ^^" — ■^- Çt ^^««

dn dn,,

d'- log —

--"''^'''""^jTd;^

ds

la valeur principale étant relative aux deux points singuliers a et b de l'intégrale, et ka et kb désignant les valeurs de la courbure en a et en b.

INTÉGRABILITÉ DE L ÉQUATION (-25).

23. Formation de la condition d'intégrabilité. — En remplaçant la fonction de Green dans l'équation (25) par une fonction inconnue $1% nous obtenons l'équation aux dérivées fonctionnelles

j<ï'jj = 1 - îi on ds

2 ~ J ^ dn dn

Cette équation admet comme solution, non seulement la fonction de Green que nous venons de définir, mais aussi, comme il est facile de le vérifier, la fonction analogue relative à la région intérieure à C et extérieure à un ou plusieurs contours fixes intérieurs à C. La

CIIAP. 11. — DKIUVKI-S FONCTIONM-M.ES \)E I,A 1-ONCTlON DIC GHEKN. lS>

oondilioM (riiilc^r.iliililc est ('n nlciiiiiifiil nciiIh'c |i()ur huiles ces rdiiclioiis. Mais lotîtes CCS fdiiclions sont des l'oiiclions svmélriqnes (les |)(»iiil.> A el B, liarmonlques, s'annulanl lorsqu'un des points vient sur le contour, et avant mrine singulaiilc, c'ebl-à-dire telle quela dill'érence de deux quelconques d'entre elles esl liohjinorphe lorsque les points A et B sont voisins du contour. En rais(jn de tous ces caractères commuas, nous pouvons nous attendre à ce que la condition d'intégrabililé ne soit j)as identiquement vénliée.

l\)ur former cette condition, supposons d'aboi'd que la fonction ^j^ soit (inie et continue ainsi que ses d(''ri\(''es premières et secondes. On a dans ce cas

(In dii^ ds ■^~J, diiy diiidn

et, par suite,

\ dn . du

^ fd^l, d^-^l , rf^*;^, d^l\ ,. (d^^y d^^ ^ f/*,\ f/*y,

\ d/i dn"- dn- dn J \ dn dn dn dn