J^, \ dn dn dn 1 dn 1 dn 1 dn 1 dn dn

Nous devons écrire que cette expression est identique à son adjointe.

Le coeflicient de ouxclsy dans l'intégrale est une fonction symétrique des points M et M,. La première condition d'intégrabilité ( n° 4) est donc identiquement vérifiée. La seconde condition d'intégrabilité exige que le coefficient de on soit nul. puisque la dérivée la plus élevée de on qui figure dans l'expression (•^)2) doit être d'ordre pair. La valeur du coefficient de on est indinierenle. La seule condition d'intégrabilité est donc

ds dn an as

24. Le calcul précédent ne s'applique pas si la fonction <Ii^ a la même singularité que la fonction de Green. Considérons maintenant

l86 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

le cas dune fonction de la forme

la foncht)n hl^ étant supposée finie et continue, ainsi qu<î sls dérivées jusqu'à l'ordre 3, lorsque les poinls A et B sont tous les deux voisins du contour.

Tenant compte de la deuxième formule {'26)., on voit que

iT. .1, du , dn

rd^ / cl /Il a/1

dsi.

Les formules (3i) et (Sa) sont alors remplacées par des formules dans lesquelles les coefficients de on' ne sont pas modifiés, de sorte que la condition (33) reste nécessaire. La modification du coefficient de hn est sans importance. Enfin, l'intégrale définie est modifiée, celle qui figure dans la foriîiule f3a) étant remplacée par l'expression

d/t d/ii d/i \ d/ii d/> 1 d/) d/i \ d/i 1

" * it d/i

ds.

Si nous montrons que cette expression est identique à son adjointe, il en résultera que la condition d'intégrabilité, comme dans le cas régulier, est exprimée par la formule (33).

Nous supposerons que o/i admette, non seulement une dérivée première continue, mais une dérivée seconde partout finie. Alors,

tandis que -; — r-^ et -; — — ont pour partie intime celle de

dn dni dn^ d/i

dn dni

c'est-à-dire

-, leurs coeHicients sont de la forme

s ) -+- [).{Si — S')-.

>v et u. restant finis. Il en résulte que le passage à la limite représenté ])ar le symbole v. |). scilectue d'une manière uniforme, ce qui permet d'effectuei- une quadrature par la règle de calcul liabituelle.

Pour démontrer (jiie lexpression (35) est identifpie à son adjointe, nous de\ons la multi[)licr par o, ii ds, intégrer le long du contour C,

CHAI'. II. — UÉUIMOKS roNCIIO.N.NKM.KS lli; I.A FONCTION DE (.RI KN. 187

cl M-iilii T ([lie le résiiluu ohicmi ne cliim;;e j);i.s si l'on ('■(■|iiiiii;c les Miiil)itl(> o cL 0|. \()iis |)(iii\iin^, (hiii'- I fxpi'CNsioii ohlemie, inlervorlir le ^\nll)(ll(• \. |». ci Ir Mi;iir d iiitt'^r;ihoii, et consiflérer la valeur |)niiri|)alc df riiil('i;rale ddiihlc ohlcnue, c'est-à-dire la liiiiilc. pour î ^= (), de I iiitéj^rale ohtcniic en sup|)riinanl les pari ies du clianip (rint<''i;i"al ion |)oiir lcs(juelle.s

( )r le i liaiii|) d inlé|^raliMU ainsi drilni ne elianj^e pas si 1 ou inle.veilil les points IM et M,, et la fonction intégrée diffère de la fonction obtenue en éelian<;('anl o/i et o,// par une fonction iinpairr. e'esl-à-dire eliangeani de sij^ne si l'on éeliangc M el M,, et dont, par suite, l'intégrale est nulle. L'intégrale double considérée, et par suite >ii limite pour z = o, ne eliange donc pas si l'on intervertit les fonctions o// el 0,/;. de sorte (|ue l'expression (3.")) est identicpie à son ad|ointe.

L'a lornuile {■)•'*) représente donc bien la condition d'intégrabilil»'. non sans doute dans le cas des fonctions ayant une singularité quelconque, mais dans le cas des fonctions régulières et dans le cas de celles ayant la même singularité que la fonction de Green.

Nous devons maintenant écrire que celte condition reste vériliéc (piand le contour se déforme. Cela nous conduira à de nouvelles conditions; cette fois, les réMiltats obtenus dans le cas régulier el dans le cas singulier seront essentiellement dlfiérents.

!2o. Étude du cas rég-ulier. — Nous &u[)poserons <ï>^, non seulement, comme pour former la condition d'infégrabilité (33), fini et continu ainsi que ses dérivées premières et secondes, mais holoniorphe, lorsque A et B sont voisins du contour.

On a, en tenant compte de l'équation (3o).

(j()) oi —jr~ = ■ , on y- 0/i / - — — 0/^1 dSi.

as atdii an 'x-J^.ani a/iias

Cette formule, la formule (oii, et les formules analogues relatives à la fonction ^' permettent de former la variation du premier membre de la condition d'intégrabilité. Cette variation comprend une intégrale déiinie, un terme en on, un terme en o//', qui doivent (•tre nuls séparément. Ecrivant d'abord ([ue le coefficient de on' est

l88 DEUXIEME PARTIE. — DERIVKES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.

nul, il vient

du (In ds ds

Pour continuer la discussion, il j a deux cas à distinguer.

Premier cas. — L'un des facteurs — ^ et — î- est nul; supposons

du dii ' ^ *■

pour fixer les idées que ce soit le premier, et qu'il reste nul lorsque le contour se déforme. L'équation (3o) montre alors que $,* ne dépend pas du contour. 11 en résulte de plus que i^ ne dépend pas de B, car, quels que soient le point B considéré et le déplacement de ce point à partir de sa position initiale, il suffit de considérer un contour passant en ce point et normal à ce déplacement. La dérivée normale de jÎJ étant nulle, $|^ ne varie pas dans le déplacement considéré.

La fonction ^^ est alors une fonction cV un seul des points A et B, indépendante de l'autre et du contour. Une telle fonction vérifie bien, évidemment, l'équation (3o) et la condition d'intégrahilité(33).

d^^ d^^^ Deuxième cas. — Supposons maintenant que —r^ et -j^ ne soient

pas nuls, ou du moins ne le soient qu'accidentellement, pour un contour particulier, sans le rester quand le contour se déforme. Les équations (33) et (3^) sont alors des équations linéaires et homo-

gènes en —z — et — t— , admettant un système de solutions non nulles. Leur déterminant est nul, ce qui donne

ces deux termes n étant pas nuls séparément, puisque —j^ n est pas nul .

Ce cas ne comporte pas de solution réelle. Pour les solutions imaginaires, il vient, en tenant compte de la formule (33),

dn ds ' dn ds

(ou bien les formules obtenues en remplaçant dans celle-ci f par — ;').

r.nw. rr. — i)i;iiiM;Es ro.NcrioNNiaLES de i.a io.nction hk (jriKKN. ihig Gctic Iniiiiulc à XIII hiiii- (Idii rcsler vcrilit.M; quand le contour se déforme. Tenant compte des formules (3i) et (3G) et égalani lecoeflicienls de on dans les variations des deux inend>res. il \ient

c(/i'- dtdii rf/i* dtd/i

Recommençant à ('-j^aler les coefficients de on dans les variations des deux membres, et ainsi de suite, on obtient successivement les coiuhtions

-dJj'XCd^-'-dT) ^djn'K-Tnr-^'^ir) =° (/^ = ^-3, ...,-.;,

qui ni(iiilreiil. j)uis(nie la fonction i^j est liolomorphe, que les conditions (38) restent vérifiées lorsque le point M s'éloii;ne du contour.

La fonction |^ est alors une fonction analytique de :r, + iy^ et de x-, — iy.2 (ou de .r, — ()^, et de x.2-\-iy.2)i ^i et y, étant les coordonnées de A, j'2 et )'2 celles de B.

Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes pour qu'il existe une solution de l'équation (3o) égale pour un contour particulier à la fonction <[>«. En effet, la forme de l'équation (3o) montre qu'elles restent vérifiées lorsque le contour se déforme, et la condition d'intégrabilité, qui résulte de cas conditions, reste également vérifiée.

26. Étude du cas singulier. — Supposons maintenant que ^g soit la somme de la fonction Green et d'une fonction h^ holomorphc lorsque les points A et B sont voisins du contour.

La formide (36) n'est plus exacte, l'intégrale qui y figure représen-

d^^ tant la variation o —^ lorsque M est intérieur au contour, et étant

discontinue à la limite comme l'est, d'après la formule (9), la dérivée d'un potentiel de doul)le couche de densité