dn Il y a donc lieu d'ajouter le terme

d /rf^il . \ d'^^ . , rf*!, . d^^ ^ ,

;- I — ; — 0/1 1 = — on -+- fC — ;— OH ; Ort ,

ds \ dn I dt dn ds dn

1«)0 DEIXIE.ME PARTIE. — DERIVEES FONCTIO.NXELLES DU PREMIER ORDRE.

t i il vient

oi —j- = k — T- 0// / — 0,,,, dsi

as as i~ J, ""i 'f/iicis

Cette formule et les résultats du n" !2i permettent de former la \ariatiiin du premier meiidne de la condition dintéiirabilité. Annulant le cneflieient de o/^', il vient

ds ds

Ces deux facteurs, dont le produit est nul, doisent d'ailleurs être nuls tous deux. Si par exemple le premier était nul et non le second,

daprès la formule (>').)) la dérivée -~ sérail nulle, et d'après l'équation (.)o), <î>|* serait indépendant du contour, ce qui n'est pas possible, puisque sa partie infinie en dépeiKJ efl'eclivement. On a donc

^'^^ -d7=-di = ''-

En écrivant que ces conditions restent à leur tour vérifiées lorsque le contour se déforme, on n'obtient cette fois aucune nouvelle condition imposée à la fonction <I»,V En efTet, si elles sont vérifiées initialement, il résulte de la formule (Sg) et de la formule analogue relative à <I>^' qu'elles restent vérifiées. Comme la condition d'intégrabililé (33) est une conséquence de ces formules, celte condition reste vérifiée. Par suite, à toute détenniiiation initiale de ^l^^ayant même singnlaritc que la fonction de (îreen et vérifiant les conditions (ii>) correspond une solution de récjuation { 3o).

Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence dune solution sont ainsi beaucoup moins restrictives dans le cas singulier que dans le cas régulier.

Cela était d'ailleurs à prévoir. Si nous remplaçons la région intérieure à C par la région comprise entre C et un autre contour C , nous obtenons une autre fonction de Green, ayant dans le voisinage de C la même singularité que g^, et vérifiant évidemment l'équalion (3o) lorsque C se déforme, C restant fixe. Toutes ces fonctions, dont la forme dépend ainsi d'une ligne C, sont donc des solutions du proldème que nous venons de traiter, et l'on devait s'attendre à trouver des solutions a^ant un assez grand degré de généralité.

CHAI'. II. — iii;uim:ks idm rioNNKi.i.r.s di: i.\ fonction ui; (iur.iN. 191

T<)iil(!l<>i>, (m Ml' |n»ii\;iil |);l-^ |ii('\(ni' (|iir le |niilil(iiir Ir.iih' iH' roiidiiirail à aucune aiili'c ciiiKlilioii (^uv les coiidilioiis (^ |(>). Si l'on rt'inplaio la tonclion doiliccii pai' la lunclion de iSeuniann, on est conduit à une é([ualiuii analoi^uc à 1 é({ualii»n l 3o ) ; la reciierclie des solutions de cette cMiiiation avant niè'nie sin«;ularité que la fonction de Ncumunu conduit à des conditions analoi;ues aux conditions (4o), mais en ojilre, à la condition l»eaucou|) plus restncti\e que ces solutions >oi<nt des tonclidus liarmoiiKjues des points A et B ('). Dans le piohlcnie relatilà l'équation ( oo), on aurait pu s'attendre à la même restriction, puisque les solutions dont nous venons de montrer ri priori rexislence la M-nlii'u': mais nous avons \\\ (pifllc ne se pn'Ni'niail pas.

( ' ; \'oir ma Tliè^c, Cliapili.' [11.