CHAPITRE m

TRANSFORMATIONS ET APPLICATIONS DE L'ÉQUATION AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DE L4 FONCTION DE GREEN,

Sommaire ; 1/ équation de M. Hadamard : L'éfjiiation de M. Iladamard et la fonction de Gieen. — Léqualion de M. Hadamard et la fonction de Green d'ordre 2. — L'équation de M. Iladamard et la fonction ()'/' sur le contour. — Applications : Les inégalités de M. Hadamard. — La recherche des solutions honiogrnes. — Etude du cas du cercle. — Extension au cas de l'espace.

LÉQUATION DE M. HADAMARD.

27. L'équation de M. Hadamard et la fonction de Green. — L'équation aux dérivées fonctionnelles de M. Iladamard est Féqualion

déjà considérée n** 12. Elle est complètemenL inlégrable, non seulement, comme nous l'avons vu, dans le champ des fonctions symétriques, mais dans le cbamp des fonctions quelconques, étant exclues seulement les singularités pour lesquelles la formule ( i) cesse d'avoir un sens j)Our les points du contour.

Etant donné le rôle joué dans la théorie de la fonction de Green par les dérivées normales, fonctions d'un point et d'une direction, nous considérerons non seulement des fonctions de deux points, mais des fonctions ^(A, h\; B, 9b) de deux points A et B et de deux directions données en A et B et définies par des angles 0^ et ^b- La direction de la normale intérieure au contour C en M sera définie par l'angle B. L'équation

(2) 8n'(A, e.v; B, 0i5)= TtO, Ga; m, 0)T(M, 0; B, Qti)onds

<:HAI'. m. — rnANSFORMATlONS ET APPLICATIONS DK l'h^UATION. I<)1

est analogue à l'ôcjualion (i), se réduisaiiL à elle lorsque la foucliou M' ne dépend pas de Oa cl On.

Nous désignerons par -; — la d('-rivéc d'une louclion suivant la ^ ' dii\

direction dclinic en A par l'angle 0^.

Appelons <I>,^ uuc solution de r(i(puili()n aux dérivées fonctionnelles de la lonclion de Green

(j) ^*i1 = / —, j—onds.

an J^. an an

De cette équation résulte (juc

\.dnn -HZ J d/)\d/i dn d/in

La fonction

2 7: dnxdnii

est une solution de l'équation (2). En particulier, si <I>jj est la fonction de Green i,'g, la fonction