d/i\ dn
([ui se réduit sur le contour à ^1, est une solution de cette
équation.
Si, au lieu de considérer une déformation quelconque du contour G, nous considérons une famille de contour bien déterminée, se déformant depuis un contour intérieur Go jusqu'à un contour extérieur G( de manière qu'un contour G et un seul passe par tout point A de la région comprise entre Go et G,, nous pouvons supposer que l'on ait choisi pour Oa l'angle définissant la direction de la normale intérieure à ce contour. Get angle apparaît comme une fonction du point A, et l'expression (4) apparaît comme une fonction bien déterminée des points A et B. Gette fonction vérifie l'équation (i) pour la déformation considérée du contour G, ou bien, si l'on particularise les points A et B, pour toute déformation laissant ces points intérieurs au contour. Mais si ces points arrivent à être sur le contour, il est essentiel que le contour j soit normal aux directions correspondant aux angles choisis Oa et Ob-
LIÎVY. 13
28. L équation de M. Hadamard et la fonction de Grêen d ordre 2. — Des circonstances analogues se présentent avec la fonction de Green d'ordre 2. Cette fonction, que nous désignerons par G)^, intervient dans le problème qui consiste à déterminer, à l'intérieur d'un contour C, une fonction biharinonique^ c'est-à-dire vérifiant l'équation
connaissant ses valeurs et celles de sa dérivée normale sur le contour C. La fonction Gj^ est définie comme une fonction du point A, s'annulant sur le contour ainsi cjue sa dérivée normale, et étant la somme de /'^log- et d'une fonction biharmonique et régulière là l'intérieur de C. C'est aussi une fonction symétrique des points A
etB.
cl- G'^j Sa dérivée normale étant nulle, c'est la dérivée seconde , 1 qui
joue le rôle joué parla dérivée première dans l'étude de la fonction de Green d'ordre i. Ainsi la variation de G^ est donnée par la formule
et la fonction
I d'^ÇA
^ '^- dn A dn \\
est, par suite, une nouvelle solution de l'équation (2).
ÎNIais on peut ici arriver à un résultat un peu plus simple. On a,
en effet,
^^G^ ^^G^ ^G^ rf^G^
dn""- ds'^ du dii-
Am désignant l'opéi-ation A effectuée en considérant (i^j comme fonction de M. La formule {(')) peut alors s'écrire
oG^ = ~ r Am Gj\ Am GJJ on os, o t: ^ / „
et la fonction
qui ne dépend plus du choix des directions considérées en A et B, est une solution de l'équation de M. Hadamard.
CHAI'. III. — TRANSI'ORMA IIONS KT APPLICATIONS DE l'kQUATION. IqS
^l). L équation de M. Hadamard et la fonction (('/' sur le contour. — L'écjualion (i) est plus simple ([ue l'équation {'i) parce qu'elle p(!rmcl (le définir la variation de la fonction inconnue sans faire intervenir les dérivées d(* rcttt; fonction par rapport aux Cf)ordonnées des points A t't H. Mais SI 1 on veut ramener l'équation (h ;'i I:i forme (i), on ne le peut pas, et Ton est conduit, d'après ce ([ui jji(''eéde, ù se <lonner arhilrairemeut en A et B des directions délinies par les angles 8a et Ou.
Un moyen d'éviter cette complication est de ne considérer les valeurs des expressions (4) ou (5) que pour les points du contour. Ces expressions ont alors un sens bien défini; nous avons déjà vu l'intérêt qui s'attache à ces valeurs. D'une part, la conuaissanec de la fonction (J^ à laquelle se réduit, à un facteur constant près, l'expression (5) sur le contour suffit pour résoudre le problème de Dirichlet.
IJ autre part, la variation première de -^ — et, par suite, la variation seconde de^g introduisent cette fonction, dont la singularité, lorsque les points a el b sont voisins, est la principale cause de difficulté dans l'étude de l'équation (3). On mettra donc mieux en évidence le caractère de cette difficulté en faisant dépendre l'étude de «Jj de celle
Les points a el b devant rester sur le contour, nous devons considérer la variation 0( (/^ et non la variation o^/'^'. D'après le n" 2l2, on a
(7) Si Qf> = ()'/'(/'":; ô/Ja-h /x-6 on/,)
d- los: —
d/i dlla
-^"^'^'^'"'-dJTd^}'^'- La fonction (j'^' est donc une solution de l'équation
( 8 ) 0, Wl = W'I ( ka ona + kl, on, )
d- loff —
dn dna di- \oz —
^'^''"'-d^Td^ ^ "^'^
qui n'est au fond qu'une forme modifiée de léqualion de M. Hadamard, écrite de uianière à ne faire intervenir que les valeurs de W'I sur le contour et à préciser le sens qu'il faut donner au second membre j)our les fonctions ayant même singularité que Ç^. En posant
(9) ^i=gî-^3tt,
3C2 étant alors une fonction holomorphe, et en tenant compte de ce que, d'après le n" 22, nous pouvons, dans les formules (7) et (H) y
remplacer les facteurs logarithmiques par -CJ'^i et -(j,/, on voit que la
transformée de l'équation (8) par la formule (9) s'écrit
10) o,3C^= Je2(A:«o"a-4-A-6Ô/^6) f 3t^i3tf on ds
L V. ,,. f [(jii ( je^/ 0/; - 5C^ cna) -h g*|(5CS 5/; - .IC^ ont)] ds.
30. Nous avons obtenu l'équation (8) en formant la variation de Cj"/'. Nous allons maintenant montrer le lien qui existe entre les .autres solutions de cette équation et l'équation (3).
Soit <ï»^ une solution de léquation (3). Supposons :
1" Qu'elle soit de la forme
la fonction //^ étant holomorphe lorsque les points A et B sont tous deux voisins du contour,
2" Qu'elle soit une fonction harmonique de chacun des points A et B;
3° Qu'elle s'annule lorsque l'un ou l'autre de ces points vient sur le contour.
Je dis que. dans ces conditions, la fonction
dlla dllf,
est une solution de l'équation (8).
Il résulte, en eft'et, de la première de ces hypothèses que ^^\, est représenté par l'intégrale du second membre de (8), et des deux
fii.vi'. III. — TKANsi ohmations kt applications de I. KgcATiox. 197 autres ijuc
De ce résullal, t»ii |»<mi|, déduire que léquation (8) est coniplètomenl intégral)le dans le cliamp des fonctions avant même singularité que ()"/,, c'est-à-dire (jur l'f'-cjuation (lo) est complèl(,'ment intégrable dans le oliam|) des Innclions régulières.
En çllet, nous pouvons choisir arbitrairement pour un contour (^i la fonction W'I ayant même singularité que {^l- La formule (i i) détermine alors sans ambiguïté une fonction Oy vérifiant les trois conditions énoncées au début de ce paragraphe (on le voit en déterminant
— — comme loïK^tion harmoni(iue de B connue sur le contour ainsi an,, 1
que sa dérivée normale, puis de même <I>,j comme fonction harmonique de A, et vérifiant ensuite que cette fonction vérifie les trois conditions énoncées). De la première et la troisième condition résulte, d'après le n° l26, l'existence d'une solution de l'équation (3) correspondant à la valeur initiale ainsi définie. On en déduit alors, par la formule (i i), la solution de l'équation (8; cori^espondant à la valeur initiale choisie pour W,'. Le résultat énoncé concernant lintégrabilité des équations (8) et (lo) est donc établi.
On pourrait, bien entendu, le démontrer directement en utilisant les résultats établis n" 77 de la première Partie sur les fonctions dépendant d'un contour et dun point de ce contour.
