APPLICATIONS
31. Les inégalités de M. Hadamard. — M. Hadamard a déduit des équations (3) et i O) des inégalités importantes concernant les fonctions de Green.
La fonction de Green g'^ est toujours positive. Cela résulte de ce qu'une fonction harmonique régulière ne peut avoir ni minimum ni maximum. La fonction de Green, fonction harmonique de A, nulle sur le contour C, et positive et très grande sur un petit cercle F entourant B, est toujours comprise, dans la région annulaire située entre C et F, entre zéro et son maximum sur F.
L'équation (3), vérifiée pour la fonction de Green, montre alors
198 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES Dl PREMIER ORDRE.
que
(•■^) Ô^Tk > o,
pour toule défornialion telle que on soil partout négatif ou nul. En d'autres termes, la valeur de la fonction de Green pour deux points fixes A et B augmente lorsqu'on remplace un contour enveloppé par un contour enveloppant.
Lorsque A et B sont confondus, la fonction ^j^ n'a pas de sens, mais la fonction
qui a même \ariation quelle, a une valeur bien déterminée /<(A) ('). L'équation (3) donne alors, en tenant compte des inégalités de Scliwarz,
32. La fonction de Green d'ordre 2, Gy, est vraisemblablement toujours négative pour un contour simple. Mais cela n'a pas été démontré. On peut alors seulement déduire de la formule (6), G^j ayant un sens lorsque A et B sont confondus, que, si on est partout négatif ou nul. on a
ôG^ < o, (8Gê)^<5G;toGll.
De la première de ces inégalités, et du fait que G^ est négatif pour un cercle très petit entourant le point A, résulte que celte fonction est négative pour un contour quelconque.
33. Malgré la brièveté des indications que nous venons de donner, le lecteur peut se rendre compte de la fécondité de la méthode employée.
Toutes les fois que l'on sait résoudre un problème, pour certaines valeurs particulières des données, les méthodes du calcul différentiel permettent de le résoudi-e d'une manière approchée pour des valeurs
(') D'apiès la défiiiitioii de la fonction de Green, A ( .\ ) est la ^alcui- Dioyenne du logarithme de la distan(c diin point du contour au jxiint A, la moyenne étant calculée en donnant à cliar(iic ('lément d'arc un poids cj,'al à l'angle sous lequel il est \u de A
CIIAP. III. — THANSrOR.MATIONS KT A PI'MCATIO.NS I)i; I. KOLATION. I<)()
dos (loniKM's voisines des valeurs pailiculières considérées daUord . Si les doniK'cs compreniicnl une fonrlion aihiliairc on une li^ne, l;i inéllunJe consiste à fornicr la variation de la fonctionnelle éludii'C en l'onclion des variations des données. On peut ainsi étudier la lonc lion de Green pour des contours voisins de la circonférence. On p(Mit etudi(!r ses sini;ularités en un point singulier M d'un contour C en considérant d'abord des contours voisins de C et réguliers dans le voisinage de M.
On peut naturclleinenl ap|)llcpier des méthodes analogues à des problèmes beaucoup [)lus généraux que celui de la détermination de la fon(;tion de Green relative à l'équation de Laplace el au problème de Dirichlet.
3i. La recherche des solutions homogènes. — \ un point de \iie tout différent, on peut utiliser l'équation aux dérivées fonctionnelles (3o) du Chapitre |)récédent à l'étude de la fonction de (îrecn. Nous avons vu que les conditions d'intégrabilité de cette é([ualion, très peu restrictives, ne donnaient aucun renseignement nouveau sur cette fonction; l'équation ( 3o) ne peut donc conduire, si on la considère seule, à la détermination de la fonction de Green. que si l'on suppose sa valeur connue pour un contour particulier.
Il n'en est pas de même, si l'on combine les renseignements que peut donner l'équation (3o) avec les propriétés élémentaii-es de la fonction de Green, notamment celle relative à sa singularité, celle d'être harmonique et celle d'être homogène et de degré zéro.
Lorsqu'on remplace la figure formée par le contour G et les deux points A et B par une ligure semblable et très peu dillerente, la fonction de Green ne doit pas changer, d'ajjrès la propriété d'homooénéité. On a donc
. , , 'l^K. '''^B. '^é'u. àffH^
l)Xx (lyx (^-^'B àjH
rAijKA et^Bî J'b désignant les coordonnées de A et B, et oXa, oy\, oxb, ^yB-> leurs variations pour la déformation considérée. En remplaçant, d'autre part, og'^ par sa valeur, on voit que la fonction de Green est solution de l'équation
( t) — I —j— —- — r,n ds = -; — oxx -)- 1 — or.v -t- -; — o.rB -r- -^ OJB-
■}. T. J„ diL du oxx Oyx Ox^ uj u
Comme ou peut considérer dans le plan quatre déformations infinitésimales indépendantes les unes des autres et remplaçant la figure par une ligure semblable (par exemple une translation parallèle à Ox, une translation parallèle à Oy, une rotation et une homothétie), on a, en réalité, quatre équations inté f^ro-différentielles vérifiées par la fonction de Grecn.
La question se pose naturellement de savoir si ces équations suffisent pour déterminer la fonction de Green, ou si, du moins, ajoutées à certaines propriétés élémentaires de ces fonctions, elles en facilitent la détermination.
3o. Remarquons d'abord que la réponse à la question posée, non au point de vue des calculs pratiques à effectuer pour la résolution des équations (E), mais au point de vue de la possibilité théorique de cette résolution, est indépendante du contour considéré.
En effet, le problème qui nous a conduit aux équations (E) consiste à trouver des fonctionnelles <ï»g vérifiant l'équation aux dérivées fonctionnelles de la fonction de Green et ayant la même propriété d'homogénéité que cette fonction. Les équations (E) définissent les valeurs initiales de ces fonctionnelles pour un contour particulier. Quel que soit le contour considéré, il est évident qu'on doit trouver les mêmes fonctionnelles, et par suite, le même nombre de solutions des équations (E).
Du moins ce résultat est très vraisemblablement exact. Pour le démontrer rigoureusement, il faudrait écarter l'hypothèse d'une fonctionnelle vérifiant les conditions indiquées, mais définie dans un champ fonctionnel ne comprenant qu'une partie des contours plans C.
Les mêmes remarques s'appliquent si, au lieu de chercher à définir la fonction $è par les équations (E), nous utilisons les propriétés suivantes :
i'' Avoir même partie singulière que ^^ dans le voisinage du contour, c'est-à-dire être la somme de g'^ et d'une fonction holomorphe lorsque les points A et B sont suffisamment voisins du contour;
2° Vérifier sur le contour les conditions
CHAI'. III. — niANSl-OItMATIONS ET APPLICATIONS DE l'kQUATION. V.o |
3° Elrc (hiiis le vf)l.sinaf^e <lii ((liitoin- une loncliou liMnnoiinjue de chacun des j)()inLs A et lî ;
4" l'^lr»' une lonetion sa ni('lri(jii<' des poiiils \ rt l>.
1^11 cllel, CCS coiulilioiis, sii|)|M>sces viTiliécs |)oiir un conluiir iniliid, le restcnl (|iiiin(l le conloiii" se dcfoiine. Si donc nous montrons <[ue pour un contour particulier, par exemple un contour circulaire;, ces conditions, jointes aux équations (E), suffisent à déterminer la fonction de Green, il en sera vraisemblablement ainsi pour un conlour quclcoïKjue ( ' ).
36. Nous avons déjà remartpié le rôle (pie jouent les \aleurs des d(''rivces de la fonction de (îreen sur le contour, et en [>articulier de la première dérivée qui ne s'annule pas, que nous avons désignée par gi
La forme des équations (K), faisant intervenir les valeurs de «l'J^ sur ie contour, conduit à représenter cette fonction par un d('veloppement en série de Taylor dans le voisinage du contour et à étudier
les conditions imposées aux dérivées successives . ^^ , ^. . 11 nous sulfir
(l'étudier les conditions imposées à W'I = -^ — 'T~'^ ^'' ^'^ efTet, nous
arrivons à montrer que cette fonction est déterminée, les autres dérivées sont déterminées par les conditions 2" et 3" du n" 3o; il n'est
(') La ilit'ti( ulli'- d'une d<''iiionstrati(>n ligomcuse ])ro\icnl A^^ i-i^ que la propriété 1°, A raie pour un contour initial C,,, Test sculenicnt pour lis rontours assez peu «liiïéi'cnts de Cj. Si Ton post> <ï>,j = ,:,''i{ + /«u, la formule
g . A ^ Ci ^1 ^' ^;^ ^'^.gH ^ <^}^ (jj^ \ ,^^ ^j^
" 2 - j ^ \ dn dn dn dn dn du /
inonti'c (|U(> o/t|( ("st lioIoMiorj)lie si //[j Test, et Ton peut, en forniani h\^ ]iar des approximations sueeessi\cs, montrer rigoureusement ([ue /t[j icste Indomorpiie pour les contours li-ès peu différenls de G,,. Mais il ])eut aiTi\er que liy^ cesse d"<Hre lioloniorphe dans le ^(lisinage du contour ])our des c<jntours ('. assez différents de Cj,; il s'agirait de montrer que cette circonstance ne jx'ut pas se ])roduire pour des fonctions vérifiant les équations (E).
La première partie de la démonstration est exposée au n" 31 de ma Tiièse. Je ne l'ai pas reproduite, parce ([ue. ayant remarqué que la démonstration c[ue j'avais donnée pouvait se simplifier, je n'ai ]ni encore arriver ;i la mettre sous une forme suffisamment simple.
d'ailleurs pas diflicile, en faisant abstraction de ces conditions, do les déterminer par les équations (E). De toute façon, pour montrer que le prolilème posé au nuuiéro précédent d('termine bien (à une constante près) toutes les dérivées successives de <ï>^. il suffit de montrer qu'il détermine bien ^"l.
Les conditions imposées à ^*^| peuvent, comme nous venons de l'indiquer, se déduire des équations (E). 11 est aussi simple de les déduire du fait que W'I vérifie l'écjuation (8) et est homogène de degré — 2. Dans une défoimation remplaçant la figure par une figure semblable, les points a et b ont des déplacements normaux o/?^ et o/?6, et des déplacements tangentiels oSa et 05^. La variation de W^ due aux déplacements normaux, et celle due aux rotations des tangentes [qui est d'ailleurs nulle en vertu des conditions (i4)1î ^^onl contenues dans l'expression de o,^'2 donnée par la formule (8). Il vient donc
(F) (>in'^,^—-!^OSa-^ —^r,Sh^1^\— =: O,
<)Sa ''S/, l
ol désignant la variation d'une longueur / liée à la figure; en
d'autres termes, 1 + y désigne le rapport de similitude de la figure
déformée et de la figure primitive.
Les équations (F) constituent quatre équations intégrales (') vérifiées par la fonction W^^. Il faut remarquer que pour arriver à ce résultat l'hypothèse que <]^g soit harmonique est essentielle. En effet, sans cette hypothèse, les coefficients de onx et S«b dans la formule (8) ne seraient pas ka^",, et kb^V^^^ mais
dn^.dub diiadul
Ce seraient deux fonctions nouvelles, distinctes de W^^ qu'il faudrait éliminer. Les deux équations résultant de cette élimination
(') Ma]f.'ii'- la présence de signes de dérivation, elles se dislinguenl des équations intégro-differentielles qui comprennent une intégration par rapport à une variable et une dérivation par rapport à une autre: tel était le eas pour les équations (E), contenant une intégration le long du contour C et une dérivation normale. Toutefois, elles se distinguent nettement des équations intégrales ordinaires par la présence sous le signe d'intégration des valeurs M'j^ et U'Jf de la fonction pour deux systèmes différents de valeurs des variables.
<:ii\i'. III. — TUANsrort.MATioNs i;t applications dk i-'icyiATiON. 9.o3
|)rii\(iil s'»;(;i'irc dinclcmnil tu (niiiiîiiil li-s ('•qiiali(»ii> (I' i rchilivcs à (l(> (Idorniatioiis (|iii ;miiiil(iil o//„ il o///,, >oit j)iir cxciiiplr :
1° l'nc lioni(ttli<'tic |)iii' iii|)j)uii ail pdiiit dr coiicniiis des laiigmlcs fil cr et en /; ;
'>."' L'in' idialinii par ia|>|)(nl an [loiiil de concours des nornialo.
Mais CCS deux cquallons ne siiriiiaicnl pas à délcrniiiicr M*'/,, ^andl^ (juc nous allons \(>ir, par liHudc du cas du ccrt le, que les qiialie équations (F), joiiile» à la condition (jue M*'/, ail pour pailie inlinie celle de {]",,<'[ soil s\m(iiiqiie en d cl A, vullisenl {').
37. Étude du cas du cercle. — Dans !<• cas d un cercle de lavon i, l'écpiation (F) relative à une rotation montre que W'I se réduit à une ionclion ']>(0) de Tare 0 qui sépare les points a et h. Fn raison de la propriélc- de symétrie de M''^', ci-lle fonction est paire.
A cause de la svm<''trie de la (ij^iir(> par rapport au diamètre peipendiculair<' à aO, Tecjuation relative à une translation parallèle à ab est idenlicjuemenl vèrili(''e, et il reste à écrire les ('-quations relatives à une translation perpendiculaire à ah et à une homothétie. Nous considérerons, ce cjui revient au même, les équations relatives à deux liomothéties, Tune par rapport au point de concours des tangentes en a et b, l'autre par rapport au centre du cercle.
Pour écrire ces équations, nous ne prendrons pas Ô<n''^ sous la lornie (8), mais nous utiliserons les formules
A, li ^)- </, l> '2 ~ A, B — > 1, /' ./(;
(') <)n peut Irouvi'C (ju'ii n'y a pas très ^'rand iiiU'Tcl à arii\ci' à montrer (|iu; la fond ion cl<' Gi'ccn est déterminée si l'on utilise les équations (E), et, de plus, les conditions du n° 35, qui seraient presque suffisantes à elles seules. Aussi j'insiste sur le <iiiiiitère essentiel de la méthode, qui esl de ne pas tenir compte de l'iiypo- Ihése (|ue la fonction de Green est harmonique dans toute la legion intérieure au contour. Celte hypothèse est nécessaire dans la définition hahiluelle. Au contraire, nous arrivons îi caractériser la fonction de Green par un ensemble de propriétés ne f;iis;inl inliiAénir ((ue ses \;ilrurs dans le voisinaj,'e du conttiur.
bailleurs, pratii|uemeiil, il ne peut y avoir intérêt ((u"à appliquer celte méthode à la recherche de (j/'. Cesl par la formule de Green qu'on aura ensuite aussi siniple-
ment ijui' possujie '-—- ^ puis s;\^.
dn .
Cette dernière formule a rinconvénient de faire intervenir de nouveau les valeurs de W^^ et W]l pour des points qui ne sont pas sur le contour (valeurs bien définies si l'on prcMid la direction du rayon comme étant la direction normale). Mais elle est préférable pour la suite.
Désignant par r la distance de A au centre O du cercle et a l'angle des rajons OA et OM, Wf^ est de la forme •ii{r, a), la fonction •j{/\ a) se réduisant à '}(a) pour /• = i ; les formules précédentes donnent
Oi '!/(6) = 'i>( 6) ( ô//,j-i- o«6 I lini / il;( /•, x) <l/i /•, 6 — oDondoc.
Par un calcul facile, on trouve pour les équations (F) qu'il s'agit de former
/ 9 fi 4'(9)cos- -1- •f'(0)sinl II- C'y, SI r .a. 6 — a, /,r\ ; Il m / o( r, a) 'I/T/-, e — a isin-sin dy. ^= o,
lim / 6(r, a) •!/(/•. 0 — a)c?a = o. « 38. Pour donner une idée de la méthode par laquelle on peut résoudre ces équations, commençons par faire abstraction du fait que '}(9) devienne infini pour ^ = o. Le passage à la limite indiqué s'effectue alors sans difficulté et la deuxième équation s'écrit
Ç 6(a)4/(e — a)rfa = o.
Cherchant à représenter 'ii( 9) par une série
( i6) ^{%) = — -^ ax cos6 ■+-. . .-\- Un. cos/«6 -h. . . ,
<tn trouve sans peine
ar, = . . .= o.
La fonction '}(9), dans les conditions considérées, est donc identiquement nulle.
39. En réalité, nous avons à rechercher des solutions non régulières des équations (i5). Mais ces fonctions sont la limite de fonc-
CHAI'. III. — TRANSFonMATIONS ET APPLICATIONS DE l'ÉQUATIOX. >o5
lions 'j/(0) r(''j;iiliùres cl (Icvcloiipahlc^ eu ^rnr <\c lOuv'ier pour /' << i : pour /• = I , ces (l(''\ cloppcnieuls lendcul \ers un (Irveloppenicni (liverj;;enl, (jue iumis |»()u\ons considérer comme représenlanl 'i>(0), et à l'aide du([uçl nous pomons elTccUier les cideuls à peu d(! chose près comme s'il élail <'on\ (ri;('iil .
La seule |)récauli(»n à prendre provienl d(! ce (pi'un tel dé\elop])Cmenl peut représenter zéro sans être identiquement nul. Tenant compte (\c ce (pu; les l'onetions considérées, ayant la ménie sin<^iilarlté (|ue la fonction de Green et ses dérivées, n'ont pas d'aiilre polnl singulier (jue le point /• = i , 9 = 0, et de ce (pie dans le \oisiiiat;r de ce point, leur produit par pJ reste (ini (p dési<;nant la dislanec au point siui;ulicr et y un noml)i<' entier posilil eouxcnahle), il est lacile de (h'-teiininer tous les d(''\ cloppemeuls
ainsi susceptibles de représenter zéro.
Posant
et remarcpiani (pie Dje'"'^ a une racine d'ordrey pour ^1 ^ o, on a
le passage à la limite s'effectuant sans difficulté, et '}o(ï5 '^ > «'lanl nul. Donc a,i est un polynôme en /i, de degré y — i au plus, et il \ienl
ii/o( 0) = — -h 2, ('-'o cos/( 9 -f- l'ci II sin/i6 -\- c^n- cos/^ Û -i-. . .),
le dernier terme étant un terme en nJ~\ Si y = 3 et que Tonne considère que des fonctions paires, on a nécessairement
(i-) (]<o( 6) = — +^ ( Cp-i- c-2/>- ) cos/t9.
Revenons maintenant aux équations (i5). Ces équation^ sont la
■2o6 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
limite (l"(''<[Uiilinns faciles à ('■ciire en considéranl deux [M)iuls A cl B intérieurs cl inli«)<liii>^iiiil des ionctions
ilir, ej = M",; et •bi(r,ù) = n-l
les deux points A et B ('-tanl tous deux, pdiir simplifier, suppo.s(''s à la même distance r du centie. Ces fonctions •l{r, H) et -i, (r, 8) étunl dé\elo{)pabIes en séries de Fourier, on peut calculer les dévelop|)cments des premiers membres, puis passer à la limite. Gela re\ient au même que de remplacer -]>( 9) dans les é(juations (i5) par un dé\eloppement divergent de la forme (i6) et faire le calcul comme sil était convergent, avec cette difTérence que les équations complètes, écrites pour des points A et B intérieurs, introduisent peut-être des termes qui s'annulent à la limite sans (pie leurs dcveloppemenls s'annulent. Mais toutes les Ionctions introduites, fpii sont des déri- \ées d'ordre 6 au plus de la fonction de Green. iiOiil pas d autre point singulier que le point 6 := o, et leur produit par p^ restiï liai. Les développements de ces termes sont donc de la forme (17). En définitive, on doit calculer les développements des premiers membres des équations (i5) comme si le développement (16) était convergcnl, et identifier les développements obtenus non à zi'-ro, mais à des développements de la forme (17).
Le calcul n'est pas difiicile. Ou lrou\e |)(>ur •i;(9) un dévcloj)pcment de la tonne
( 18) c('cos6 -I- i cos>. 6 4-. . .+ /? cos/^ 0 ■+-. . .).
D'autre part, nous cherchons les fonctions '}(9 ) avant même partie infinie que
sin- —
Il est facile d'obtenir le dé\eloppcment de cette fonction au point de \ ue qui nous intéresse. On a, en efï'et, pour un point B intérieur,
^A'b ^-('i — r t'osft ) ^ I
alla I — •;>./• ces b -f- /•* ] — /■ e'i
= 2 ( — h /• ces 6 -t- r"- COS2O -h. . .
CHAI'. III. — rilAiNSKORMATIONS ET AI'IM.ICATIONS DE J- Kol A TIOX. 9.07
."R »l«''Mi;niiiil Mlle |),iilic iiillc ( ' I, cl d- g'!,
;— = — ■.>. ( (OS ') -4- 2 /■ COS 9.0 -+-...-(- // /•"-' CCS /?')-(-...),
«lOù, pour le (l(''\(Ii)|)|»cm('nl (li\('ri;('nl (|iii représente ()'2,, — 2(cosO -i- '.>. COS '2 6 -4-. . .-r- /< cosn 0 -I-. . .).
J^e dt'V('Io|t|)i'mrnl ( iS i. dcNiiiil r\\c la soiiiine (Je Cf^ cl d un dcveloppenienl coiivcr<;ciil, on a f = — 2, et ce développement e.st parfaitement déterminé.
Les équations (E) ou (F"), joinle^ aux propiiélt's connues de la fonction de Green dans le voisinage du contour, déterminent donc parfaitement ()"^', cl |)ar suile la fonction de (ireen, dans le cas du i'crcle, et par suite, très pr(d)al»leinent, dans le cas cl un contour «pielconque.
40. Extension au cas de lespace. — Les résultats précédents, relatifs aux écjualions aux dérivées fonctionnelles en général, à celle <le la fonction de Green en particulier, s'étendent ais<''ineiit au cas de l'espace. Il en est de même de la réduction de cette équation à celle de M. Hadamard, du rôle joué par les \aleurs sur le contour <le la fonction (|'2, et de la mise en équations du problème de la recherche des solutions homogènes. De même, pour savoir si ce prol)lème est déterminé, il suffit de le résoudre dans un cas particulier.
11 semble naturel de considérer le cas particulier de la sphère. Mais on obtient des résultats plus simples dans le cas du cylindre de lévolution. Ils présentent en outre l'intérêt de conduire à la détermination de la fonction de Green dans un cas où elle n'est pas élémentaire.
Prenant Taxe du cylindre pour axe des z, et le point a dans le plan z^ o, Ç^ devient une fonction 'J>(0, z) qui joue le même rôle que la fonction 'i'(B) dans le cas du cercle. Il s'agit de savoir si elle est déterminée par les équations intégrales qui généralisent les équations (F).
(') On remarque que ce développement est de la forme (17), avec c.,= o, ce qui élait à prévoir, puisque la fonction considérée s'annule sur le contour et que son produit par 0 reste fini.
La oénéralisation naUirelle de la iiK-tliodc suivie dans le cas dti cercle consiste à représenter la fond ion 6, considérée comme fonction de Q, par nne série de Fonrier. et considérée comme fonction de ^, ])ar une intégrale de Fonrier, c'est-à-dire à poser
, z) = I costz F(6, t )dt.
F(0, e^ = Lf,(f)-^^f,,(t)coin(}.
les séries considérées pouvant dadlcurs, comme dans le cas du cercle, être di\ergentf's.
La transformation des écjuatlons intégrales du problème conduit à des écpiations de Riccati vérifiées par les fonctions fn{i) cl à des conditions initiales définissant parfaitement ces fonctions. La fonction de Green en résulte (^').
-iL La transformation faite sur 'i^(0, z) équivaut à une transformation analogue faite sur la fonction de Green. Si /', et t'o sont les distances des points A et B à Taxe du cylindre, on peut poser
(19) fft = S'iru r.2. 0, :.) =J cos/- -;( r,, /-j. 0, t) dt.
et Ion a évidemment
La fonction y, ainsi introduite par la Iraiisformation des écjuatioas par l'emploi d'une intégrale de Fourier, est une fonction de t, et des points A' et B', projections de A et B sur le plan z = o. M. Bouligand a remarcjué cjue celte fonction n'est autre que Ifi fonction de Green relative au cercle, section du cylindre, et à l'c-quation
fie symbole 1 désignant -— -+- -— ; dans l'espace, appliqué à i>j^, il
,. . „ d-^ <r- ai
desii-nera naturellement — - -\ -i — --
rJx- dy- <'^-
( ' ) Voir Paul Lévy, Sur la fonction de Green ordinaire et la fonction de Green cVordre deux relatives au cylindre de re\'ohition {Rendiconti del Circolo mateniatico di Palernio, t. XXXIV, 1912).
CII.VP. III. — TUANSIOIIMATIONS ICI APPLICATIONS DIC h' ÉQUATION. V.Oi)
H('in;ii(|ii(Hi.. (Il cHcl, (|ii<\ //(.r, JK) l) Nt'i'inanl celle (''([iiitlioM, eu
|»(e.;|lll
n> =^ I cos/jfA/i — t'-n)dt=o.
De même, si // >"iiiiiuile sur le eerele el a la sinmila ii !('• xuiiliii- |)(iiii' la louelidii <le ( iieeii dans le |iliiii. v sanmile sur le eyliiidre et a la .siiij;iilarilé voulue jtour la tonelidu <le Greeu dans Fespaee. On voil donc hieu ((ue, eu prenani pour u la fonction de Grec-n " rclali\(' au cercle el à r('(|ualion (20), on trouve pour e la fonction ^jj.
Celle remai(|iie s'eiend d ailleurs au cas d uncjlintlre (|uelcon([ue. La delcrminalion de la fonction ^j, pour un cylindre se ramène par la formule (i()^ à la (h'terminalion de la fonction de Green relative à sa section droile ci à l^'cpialion (20). On ne doit pas sélonner dès lors que celte liansfonnation, cpii ramène le cas du cylindre de révolution au cas simple dn cercle, nous ait permis de déterminer la fonction de Green. Ce r(''suUal aurait pu être ohleiiii sans le secours de l'analyse lonclionnelle.
i^. Nous pouvons maiiilenanl apprécier les résultats t>l)leniis par la reelierclie des solutions homoiïènes.
En théorie, nous sommes en possession d une mélliode toute nouvelle pour la détermination de la fonction de Green.
En pratitpie. celle méthode nous conduit à des équations inléi;rales que nous ne savons résoudre que dans des cas particuliers, t|ui sont précisément des cas où la fonction de Green est élémentaire, ou d\i moins p(Mit être obtenue sans le concours de l'analyse fonelionnelle.
(jomme ap[)lication de l'analyse fonctionnelle, le résultat est [ilulôL né<;alif. J'ai cru toutefois devoir l'indiquer, car il est possible qu'il suggère des apj)licalions plus fécondes (').
(') Cr Cliitpilrc a (Hl- rc(li;;('- a\<inl la puliliiat i.in des AoUs dr .M. Julia dans les Comptes rendus de V Académie des Sciences (1921, i»"" semestre). Ces Notes indiquent de nouvelles conséquences des équations aux dérivées fonctionnelles de -M. Hadamard; je nie contente de les signaler, ne pouvant, sans retarder la puldilation de cet Ouvrage, leur accorder la place qu'elles mériteraient.
