LES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES
Sommaire : D<Tinitioii des ctiuations aux déiivées fonctionnelles |)arlielle«. — La condition d inlt'grabiiitë. — Définitions péomctiiques. — Le problème de Caucliy. — (Calcul des cléments du second ordre. — Et|uations des caractéristiques. — Propriétés des caractéristiques. — Solution du problème de Cauchy. — Intégrabililé des équations des caractéristiques. — La notion (renvelo])pe. — La notion d'intégrale complète. — Les équations linéaires. — Cas des fonctionnelles di^pendimi dun cnntour plan C et d'um- fonction u(s).
i3. Définition des équations aux dérivées fonctionnelles partielles.
— Ces équations sont, j)ar rappoii à celles que nous vencuis d'étudier, ce que sont les équation^ aux déri\ées partielles par rapport aux équations ordinaires.
Pour exposer la théorie de ces éf[ualioiis, nous nous contenterons de considérer le cas d'une fonctionnelle U dépendant de deux fonclions .r(f ) et y(^), définies dans lintervalle (o, i). Sa variation est <le la forme
(1) oL = f [V^,, 0 :r (/')-+- U;.;, 5jK(0] dt.
Si les dérivées fonctiDunclles U'^ et \^\ étaient donnée> toutes les deux par des équations de la foruie
Ux(T)= *i I [a-(t), y{t) I U. -] |. U;,,. = *,1 [xin, y^t.\ U. tJ \,
la formule (i") deviendrait une ('quation analogue à celles cpie nous venons () étudier. Elle s"j ramènerait en considérant une fonction X(^) égale à .^(2^) entre o et -et -ky^it — i) entre - et i; sa
donnée équivaudrait à la donnée des deux fonctions x{t) et )'(/), et Ton aurait une déri\ée fonctionnellf uni(pie, U'x, donnée en fonction
cil VI». IV. — KQUATIONS Al X DKHIVKKS FONCTIONNELLES l' VRTIKLI.ES. '^11 de X(/ ), / cl l . |i;ir une In nu nie de l;i l'oi'mo ( ' )
lx,.,= 'l>\[\(f}\V,z]\.
On a, an ('oiilrairr. un Ivpc iioiiNcaii ( - i, >i une seule des (jérivées ((Hicllonnollcs esl donnée, ea lonclmu de laulre, eL nal iirellenifnt (ou jours de ûc{t)j y{t), /, l , ('csl-à-dire si l'on a
Lue lelle e(|iiiilioii est dile l'qiKilion aux dcru'ées J oiictioniieLles partielles vérilii'-e par la fonctionnelle U (•').
Elle apparaît comme la généralisa lion, |»ai' le proc('(li'- du passage du fini à l'inlini, d'un SA'stènic de la lornic
, l)u [ ()lL i)u
>(''ri(ic ()aj- une fonction u de xn \ailables iCj, x». .... ./„, v,,
^2} • • '^Yn- '*^i« théorie est tout à iail analogue à celle d un tel ^jstème (').
44. La manière la ])lus simple de poser le problème de Cauchy pour une telle équation consiste à se donner U en fonction de x{t\ pour une détermination particulière jKo(') fie y{t\ Si, à partir de
(') Toutefois, si l'on pr('cis(.' la l'orme île la fjiHliounclle F, inlroiluilc de celte manière, on remarque qu'il faut considérer comme naturel qu'elle dépende spécialement, non seulement de x(t), mais aussi île .r ( t ±: - 1. Ainsi, liicii que nous
soyons conduits à une équation rentrant dans le type général déjà étudié, on voit ■que ce nouveau point de vue peut conduire à considérer comme intéressants des cas <jui auraient peu de chances de se présenter dans un problème ii'intruiluisant dès le début qu'une seule fonction inconnue.
(^) Il peut d'ailleurs se rattacher au tjpe étudié n» 6. Voir note i du n° G.
(') On pourrait donner des noms différents aux arguments des fonctions x et ^. La théorie est aussi générale en leur donnant le même nom et se prête mieux aux applications les plus fréquentes dans lesquelles la signification du problème posé conduit à considérer x et j>' comme fonction d'une même variable; en général, Uy(-) dépendra spécialement des valeurs de U^, x *i\. y pour t = -z.
(') Voir Pan[ Lévy, Sur l'intégration des équations aux dérivées fonctionnelles partielles (Hvndiconti del Cirrolo niatematico di Paler/no, t. XXXVII, i<)i4)- On trouvera dans ce Mémoire, exposées suceessivement, les tliéories du syslème (o) cl de l'équation (2), de manière à mettre cette analogie en é\ idcnce.
Ili DEUXIEME PARTIE. — DERIVEES FO^■CTIO^^■EI.LES DU PREMIER ORDRE.
cette détermination initiale, )'(^) \arie en fonelion d un |)aramèlre )., la formule (2) donne immédiatement la dérivée de L par rapport à A, et permet le calcul des dérivées successive>. On jieut donc arriver à définir L' pour une valeur quelconque de A.
La démonstration rigoureuse de ce résultat résultera de ce que les équations du type (2) se ramènent à des équations aux dérivées fonctionnelles ordinaires pour lesquelles nous savons, dans certains cas, établir l'existence des solutions. Il y aurait tout de même intérêt à généraliser les théorèmes de Cauchj-Kowalevsky sur les équations aux dérivées partielles. En tout cas, ce travail est indispensable pour une étude complète des équations d'ordres supérieurs; il na pas encore été fait.
4o. La condition d'intégrabilité. — Après avoir démontré, ou provisoirement admis, 1 existence d'une solution lorsque j'(^) varie suivant une loi déterminée, il v a lieu de chercher ^i le résultat, pour une fonction donnée Y( i), est indépendant des déterminations de y{t) intermédiaires entre ^o(^) et\'(<). La condition, pour qu'il en soit ainsi, est la condition d'intégrabilité. D'après la Note qui termine le Chapitre I (le raisonnement fait à cet endroit s'appliquant sans difficulté au cas actuel), cette condition se forme en écrivant que, les déterminations de y{t) étant supposées dépendre d'une manière quelconque de deux paramètres A et y., on a toujours
Nous avons vu, au n" 78 de la j)remière Partie, que cela revient à dire que
( o\:'^=^{ox)~ F(oj),
\ oU^-= ^(o:z- ) H- G( oj'),
E et G étant des fonctionnelles linéaires identiques à leurs adjointes respectives, et F et rf étant les adjointes lune de l'autre.
Pour yl^t^ ^yij{ t)^ \j se réduit à une fonctionnelle donnée de a7(i), U'j, et E(oa;) sont des données, et la condition que E(oj^) soit identique à son adjointe est sûrement vérifiée. Pour calculer les fonctionnelles F, ^ et G, il faut tenir compte de l'équation (2). Formons d'après cette équation la variation de U, . t restant constant et
CHAI'. IV. — KQL'ATIONS Al \ DKIU VlÎES FONCTIONNEI-LF-é PARTIELLES. 9,1 "î
la viiiiulioii <lc I élaiil
/ ( Vj; ox -+- {j'y oy) dl ;
on lf(Mi\c nue irlalioii de la loimc
(G) oU;. = H( oLJ^ ) -H \.{fjx) -h Li(o7),
H, L el L, d<'si<;nanl des fonclionncllcs liiK-aircs, donl nous désignorons les adjointes par 3C, J^et J^j . Rcmj)laçons oL',. et oU' par Iciiis valeurs (5) el é<j,alons séparément les ternies en Sa? et oj^ des dciiv jiirnd)i<'S. 11 Nifiil
^'(or) = H[E{Ôx)]H- L(o:p),
^"'* { G(oy) = H[F(or)] + L,(S^)
La ])reiuièr(' de ees équations donne S{ox). On a ahns j)Mur ICv-
pression adjoinic
F(5^) = E[aC(oj')J-i-J:(oj),
et en portant dans la seconde équation (j )
Gi. oj) = H I E[je(ôj')] ; + H[.»^roj.)] + l,< ôy).
Pour que la condition (4) soit sûrement vérifiée, il reste à écrire <{iie G(Ôk) est identique à son adjointe. Comme le premier terme est identique à son adjointe, il reste à écrire que lexjjression
(8) H[4:(oj^)]-L,(oj)
est identique à son adjointe L[5€(o^)] + -Qi (oj-V Telle est la condition d'intégrabilité de l'équation (a).
On remarque que la fonctionnelle E(oir), liée aux dérivées fonctionnelles secondes, qui s'introduit dans les calculs, disparaît du résultat et que la condition d'intégrabilité est une équation aux dérivées fonctionnelles du premier ordre. Cette circonstance généralise une circonstance l)ien connue dans la tliéorie des systèmes de la
forme
<)u [ au
êx V '^*
au [ i)u
Il peut arriver que la condition d'intégrabilité soit identiquement
2l4 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
vérifiée. L'équation (2) est complètement intégrahle. Le problème de Caiichj lel qu'il a élé posé au n'^ 44 admet une solution bien déterminée pour chaque fonction Y(^), indépendante des valeurs de j'(i) intermédiaires enti'ej^o(0 ^^ ^(^) 4"-^^ interviennent dans ce calcul. La solution générale de l'équation (2) dépend alors d'une fonctionnelle ar])itraire de x{t).
Si la condition d'intégrabilité ne contient pas U et U^^, et constitue une relation entre ^, x{t)^ yiO^ ^^ ^^ peut évidemment exister aucune solution de l'équation (2).
En général, sans être identiquement vérifiée, la condition d'intégrabilité contient U et U'^.. Elle constitue alors une équation aux dérivées fonctionnelles que doit vérifier, pour chaque détermination de v(f), U considéré comme fonctionnelle de x{t) (ou exceptionnellement une équation ordinaire déterminant U). La détermination initiale de U pour j^'(f) =j'o(^) t'oit être alors choisie parmi les fonctionnelles vérifiant cette condition. Mais cela ne suffit pas. Il faut cpie, quand y{t) varie, la variation de U étant donnée par l'équation (2), cette condition reste vérifiée. On obtient ainsi des conditions d'intégrabilité de rangs 2, 3, ..., qui peuvent donner lieu aux différents cas déjà indiqués au n" 6.
46. Définitions géométriques. — Nous considérerons un ensemble de déterminations de x(t), y(t), et U comme constituant un /j)Oi«; dun espace fonctionnel^ plus étendu que celui considéré dans la première Partie, dont un point représentait seulement une fonction .a;(£). En employant le langage des nombres transfinis, on peut dire que l'espace fonctionnel considéré dans la première Partie étant à oj dimensions, nous considérons ici l'espace à 2to-l-i dimensions. Nous appellerons respectivement ces espaces E^^ et ^^tù+i-
Nous appellerons variété un ensemble continu de points; pour définir la continuité, nous dirons que deux points sont infiniment voisins si les valeurs correspondantes de U sont infiniment peu diflerentes, et si les déterminations correspondantes de 3c(t) elyÇt) sont infiniment \oisines, la définition du voisinage 'étant une de celles définies dans l'espace fonctionnel ordinaire; en principe nous supposerons qu'il s'agit de voisinage en moyenne.
Nous appellerons courbes et surfaces des variétés to ou 2 w fuis étendues; nous allons d'ailleurs préciser cette définition.
<:iIAI'. IV. — KylATlONS Al X DKUIVKKS FONCTIONNELLLS l'AU TIICI.I.KS. ai>
L ik; surface i>l Ir lien «les [toiiiK poiic lesquels Li est nue Unwlionncllc doiinrc ( coiilimic) de x{l) v\ y{t). Une surface esl im plan M telle roiiclioillU'Ilc est (le l;( loiiiic
Uo+U,l[rr(/)|| + U,|fj(M||,
( „ ('lanl une (oii^laiilc cl l , cl l ^ des loiiclKtiiiicllcs linéaires.
Deux siM-laees, ronlenaiil un |>(»iul T(/), y{t)i Li, sonl tangentes (Ml ce poiiil si Cï\ ce point les delcfinlnalions de ol relalives aux deux surfaces soûl les mêmes. Si les \arialions des foaclionnelles IJ eitnsid(''i'(''es siml de la forme
;u= f (Ui.5:r-U;.8^)./^
cela rev icnl à dire (|ue, pour les (h'ierminalions considérées de x(t), y{f), les \aleuis de l '^. cl l ^ sonl les mêmes pour les fonclionnelle.> rcpresenlaiit les deux surfaces.
L'n plan esl bien d(''(ini par la donnée de L/^, L^ <■! d un de ses points, l n élément de contact, conslilué par rcnsend)lc d'un plan cl (Tiin de ses poinls, esl dédni j)ar les délerminal ions àv x{ i), y(^t), r, U^, t''. L ensemble (fiin poinl d'une surface <•! dv\ [)lan langent en ("e point esl un élémenl de eontael appartenant à cette surface. Deux surfaces ayant nn élémenl de contact commun sont tangentes <n ce point.
Vno. surface, représenlanl une fonctionnelle L solution de l'i'-quation (■>.), est dile surface intégrale de cette équation. Tous ses ('•lémcnls de contacL, ^érifianl cette équation, sont dits éléments d'intégrales.
\'ne courbe cs{ un lien de points dépendant d'une fonction arbitraire, que nous supposerons être y{t). V désignant nne fonctionnelle dey(^), cl i'(/) nne fonetion'de / dont la forme dépende d'un«' manière quelconque dejK(/), nous appcllcrtuis coin bc C celle définie par les formnles
(9) Xit) = v{t), \} = \\\y{t)\\. ■
ÎNons désignerons la variation de «'(<), qnand y{t) \arie, par K( 0)-), et supposerons qne celle de V est de la forme
\'', 0/ dt.
2l() DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
On en dt-duit sans j)eine la définition des langenlcs à la eouibc En un point de la courbe, le plan défini par L^, et L^. est tangenl à la courbe si 1 on a
(lo) oU = / (U'j.ox -\- VyOj ) dt
pour un déplacement infinitésimal quelconque sur la courbe, c eslà-dire si l'on a, quel que soit ùy,
dt
(X désignant l'expression adjointe de K ), cesl-à-dire enfin si
(II) .^ 'v= ^(U^j -I- Lî',-.
Dune manière généi'ale, nous dirons qu'un [)lan contenant un point donné d'une variété et défini par L/^ et L '^ est tangent en ce pointa une variété, si Téquation (lo) est Nérifiée au |)oint considéré pour tout déplacement infinitésimal situé sur cette variété.
Nous dirons que des éléments de contact ont une enveloppe si leurs points décrivant une variété, le plan correspondant à chaque j)oint touche cette variété en ce point. Nous appellerons multiplicité l'ensenible de ces éléments. Nous considérerons spéciab-mcnt deux sortes de multiplicités :
i'' Celles constituées par des points dune courI>e et des plans tangents à cette courbe;
2" Celles constituées par une surface et les ])lans tangents à celle surface.
-iT. Le problème de Cauchy. — Le problème de Cauchy j-elatif à l'équation (2), que nous siqjposerons complètement inlégrable, consiste à trouver une surface intégrale S conlenanl une courbe donnée. Nous ne l'avons considéré au n° 44 que dans un <as particulier. Considérons le cas général de la courbe i\ donnée sous la forme (9), et nous allons chercher à déterminer D en calculant ses dérivées fonctionnelles successives en chaque jioint de la courbe C.
Les dérivées fonctionnelles premières seront donm-es ])ar les équa-
CIIAP. IV. — ÉQl ATIONS AUX DKRIVKHS FONCTIONNKI.I.KS PARTI KM.ES. '2 1 7
lions C.i) cl (io), (■«■Ile (IciMK'ic cxinimiinl ([iir li' |il;m l;iiii;ciil (l('liiii |)iir t ',. el V'\. loue lit' hi conihc ( ]. On en (Ici In il
Celle (''(|n;tlii>n (h'Icrniinc l ',. en cliii(|nc poinl de la eiiiiil)e (!. el I niii' (|iieleiiii(|iie des «'•(iiialions (>. )()n((^) donne ensnile l . l-enseinhje des phiiis liinycnts à Sic long de la eonil)e(- elanl eunnii. niMis connaissons une iitit ItipUcité langenlc à S le long de (,.
11 pent arriver ([lU' la deiivf'-c L^ ne soil pas déterniin»'-*' par Teipialiou (l'i). Dans le cas où la fonctionnelle 4> est lim aiic en l ,. c esjà-dii-e dans le cas on li^pial ion (''liidi(''e (2) est linéaire en L^ et C, . il pent même arriver qne lécpiation (12) soil une nientilc. Nous re\ ienilrons pins loin snr ce cas. Alais dans le cas géncial des «Mpiations non lun-aires, c est seiilenieni en calculant les ('h'-inents difTcrenliels dn second ordre (pie nous ponnoiis nhleiiir des solutions dépendant d Une fonclion ailniraire.
48. Calcul des éléments du second ordre. — Soil donc, en gardant les notations dn 11" 4o, à calculer les expressions K(oj?). 5{ox). ¥{(ty), 0{oy). Pour un déplacement le long de la conrhe C. o\ 'j. el ùV\ ont des valeurs connues, qne nous désignerons par |oL ç] et [âL', ]. On a alors, par les formules (5),
[SU^] = E[K(oy)]+F(oj^),
[oU;] = -î[K(oj)l-^G(ôr).
D'antre part, les formules {-) donnent, en remplaçant clwupie terme par l'expression adjointe
i F(Ô7) = E[3e(57)l+ yjoy), ^"^ / G(oj)=J[JC(ojK)] + -C,(:57).
Remplaçant F et G par ces expressions, il vient
"^^ ' [o\:'y] = ^['^ioy)-r-dZ{Zy)]-~^,(Zy).
Supposons déterminée une fonction rjy telle que
1l8 DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORORE.
les expressions E el ^ sont données par
i E(ox) = [ùV':^]- <.(or),
et F et G par les formules (i5). La détermination complète des éléments dvi second ordre dépend donc de la résolution de l'équation (i5), qui est en général une équation intégrale. On veiTait sans peine que le calcul des éléments de tous les ordres successifs dépend de la même équation.
On peut d'ailleurs présenter le résultat un peu autrement. Remplaçant dans la première équation (i4) chaque terme par son adjointe, il vient
(,7) &t[E(5a')]-i-H[E(oj:)] = j olî.; j - L(ot),
J SU^ I désignant la fonctionnelle adjointe de [oU^[. La fonctionnelle E(8:r) est ainsi donnée par une équation intégrale linéaire, adjointe de l'équation (i5); ^(ô.r), F(oj-) el G{oy) sont ensuite donnés par les formules (5) et (i3).
L'expression E{ox) étant la ^ariali()n de O,', considéré comme fonction de ox, le premier membre de l'équation précédente n'est autre que la variation du second membre de l'équation ( 12), lorsque la fonction inconnue varie. Son déterminant est le déterminant fonctionnel de Téqualion (12). C'est donc du déterminant fonctionnel de cette équation (12) que dépend la possibilité de déterminer la surface intégrale contenant la courbe C. S'il n'est pas nul. le problème est possible et déterminé. S'il est nul, il j a impossibilité ou indétermination, et en cas d'indétermination, le calcul des éléments différentiels de chaque ordre introduit le même nombre de paramètres arbitraires.
■49. Équations des caractéristiques. — Lorsqu'il y a indétermination dans le calcul des éléments du second ordre, on dit que la multiplicité, constituée par la courbe C et les plans tangents obtenus le long de cette courbe, est caractéristique. Si l'indétermination est telle que l'expression E(oj?) soit en chacjue point une fonction arbitraire de C, nous dirons que c'est une caractéristique de première espèce. Nous ne considérerons que celle-là et sujiprimerons. pour simplifier le langage, les mots de première espèce.
CIIAP. IV. — KQUATIONS AUX DKRIVKKS FONXTIONNELLES PAUTIEI-LES. v. 19
La |ir('iiilric roiiniilc ( 1 4 ) | ou l'(''(|iial ion (17)] H'' (l<"\iiiit |)as con-
Iciilr E(ox), 011 a
K( r,y ) -\- "iZioy) — o.
I,cs Idnmili's ( \ \) se n'dii isciil alocs à
Or Iv(ôj-), [oU^j, [^^,1 '■•'|>>«"''''iil''i>l 'es variations de x{t). \ \.. l \ lnr,s([u'on se déplace sur la comhc C, le déplacemenl étanl (Iclini par la donnée de o)'. La vanalion de U ayant la valcui'
on ohlieiil. pai' une liansformation éxidcnle de colle expression. ICuscrnblc des cqualions
/ ox =— .^(oj-;),
] ou = f\li\-U(l]'^)]5ydt, (19) \ -/o
qui sont vérifiées lorsqu'on passe d'un élément de contact d'une caractéristique à un élément infiniment voisin. Ce sont les équations aux dérivées fonctionnelles des caractéristiques.
Pour l'élude qui va suivre, il est essentiel d'avoir présent à l'esprit le rôle dislincl de ces quatre équations. La première exprime que la fonctionnelle E(ox) disj)araît de l'équation d'où dépend la recherche des éléments du second ordre; il y a donc impossibilité ou indétermination pour le problème de Cauchy. La seconde est une conséfpu:nce de la première et de la formule (i8) vraie pour toute multiplicité. Les deux dernières exprinuMit qu'il y a indétermination et non impossibilité ; elles résullenl donc de la première, si l'on sait que la multiplicité considérée est une surface intégrale, et que la fonctionnelle l admet une variation seconde en Ions les points de cette mulliplicilé.
Nous admettrons d'abord que les équations (19) sont complètement intégrables. Nous reviendrons ensuite sur ce point.
oO. Propriétés des caractéristiques. — Théorème I. — La donnée d'un élément d' intégrale {non ûn^nVier) dé le j'inine parfaitement une caractéristique.
Il faut. l)i('ii entendu, que rélément donné soit un élément d'intégrale.
En partant de eet élément, les variations de x{t)^ L', L^., Ij^. sont ])arfaitement définies parles équations (19). Ces équations sont des équations aux dérivées fonctionnelles, analogues à eelles étudiées au Chapitre 1. qui s'en distinguent seulement parce qu'on a quatic quantités, dont trois dépendent d'un paramètre, qui varient simultanément en fonction de x{l). Cela ne change rien d'essentiel à la théorie, et au fait que la succession de leurs valeurs est bien déterminée si l'on se donne leur valeur initiale. Seulement, si l'on tait varier ic(<) suivant une loi déterminée, elles se réduisent à des équations intégro-différenlielles et non à des équations différentielles.
Ces équations étant d'ailleurs complètement intégrables, comme nous l'avons provisoirement admis, un élément de la caractéristique considéré est parfaitement défini par la donnée de j'(^) et ne dépend pas du chemin suivi pour aller de la détermination initiale à celle considérée.
D'ailleurs, l'élément initial étant un élément d'intégrale, il en est de même de tous les autres. Pour le montrer, il suffit de montrer que la relation
(20) ÔU;.= II(ÔU:,)-4-L(5j;) + L,(oj'),
que Ton obtient en différentiant l'équation (2) et remplaçant oL par sa valeur (18), résulte des équations (19). En effet, remplaçant ox, oL^. ôL'^. par leurs valeurs (19), on obtient la condition
1^0 -C.(^J') =-- H[-C(oj^)] - L[5e(5r )] + Ui^oy),
qui exprime que l'expression H [ t^(oj' )] + L, (oj^) est identique à son adjointe; c'est la condition d'intégrabililé de l'équation (2), que nous avons supposée vérifiée.
Bien entendu, le théorème de Cauchj relatif aux équations aux dérivées fonctionnelles (19) peut être en défaut pour certains éléments, que nous appellerons éléments singuliers d'intégrales. Pour ces éléments il peut donc exister plusieurs caractéristiques les contenant.
CIIVI». IV. — KQIATIONS AI \ IIKIU\ KKS lONC IIONNKLI.ES T'AHTIEI-LKS. 2V.I
Tiu'.oitioMi; II. -- Toute surface inlrgrale est un lien ih- cninrléristiques.
Il L'.^L ('■vidciiiiiifiil |)(l■^-^illl(■ (le >e H^'phucr sur mit' siirhico inlc- };rale S, à pjirllr ilc n iiiiixnlc ([ucl [muiU (loniK-, (l(; iiiaiiirr»- (juc la première équation (19) soit vériliée. En adineltant loujouis que eetle équalion soil eomplèlement inlégrahie, elle déliniL une courbe C sur la surface S, et d'après les remarques finales du n" 49, toutes les équations (19) sont vérifiées pour la nuilliplicité constituée par la courbe C et les plans tangents à S tout le buig de celle courbe. Celle luulliplicilé est donc une caractéristique. c. o. r. d.
CoROhLAiRE. — Toute surfcice intégrale ayant un clément 1 n(jn singulier) commun aiec une caractéristique la contient tout entière.
En efl'et, rélément est situé sui- une caractéristique située tout entière sur la surface intégrale (tliéorènie II). D'après le théorème I cette caractéristique, ayant un élément non singulier commun avec la caractéristique donnée, est confondue avec elle.
51. Solution du problème de Cauchy. — En utilisant la connaissance des caractéristiques, on peut résoudre le problème de Caucliv autrement que par les calculs successifs des éléments différentiels de tous les ordres.
La courbe G étant donnée, on commence par déterminer en chaque point les déterminations de L^ et L''^. comme il a été indiqué au n° 47. On obtient ainsi un certain nombre de multiplicités, composées délèments d'intégrales et contenant la courbe C. Soit 011 une de ces multiplicités. Il s'agit de déterminer les surfaces intégrales contenant C.
Soit S une telle surface. Elle contient toutes les caractéristiques définies par les éléments de 011. Ces caractéristiques, dépendant d'une fonction arbitraire, sont en général toutes distinctes et ont pour lieu la surface S. Cette propriété définit la surface S. qui est alors la seule surface intégrale contenant 011.
Mais il peut arriver que les caractéristiques définies parles élément.» de 011 ne soient pas toutes distinctes. Supposons en effet que sur une surface intégrale S on choisisse des caractéristiques C dépen-
<lant de p paramètres, et sur chacune de ces caractéristiques des éléments vérifiant p conditions. On n'a qu'à prendre pour multiplicité dVu les éléments ainsi choisis; une telle multiplicité est une caractéristique au sens généralisé, considéré d'abord n" 49. L'ensemble des caractéristiques S définies par les éléments de .'^ll ne sera jins plus général que si l'on ne se donnait qu'un élément sur chaque caractéristique 3, c'est-à-dire si l'on se donnait des éléments dépendant de p paramètres. Il existe d'autres surfaces intégrales contenant cette multiplicité, et le calcul de leurs éléments caractéristiques de chaque ordre introduira une fonction nouvelle, non complètement arbitraire, mais assujettie seulement îx p conditions.
Il peut arriver que/» = o; la multiplicité '^W est alors une caractéristique de première espèce, et le calcul des éléments de chaque ordre introduit une fonction arbitraire.
52. Le cas général est évidemment celui où la surface S est bien définie comme lieu des caractéristiques correspondant aux éléments de OW. Il n'y a donc qu'une surface intégrale contenant OU. 11 reste à montrer qu'elle existe.
Ln procédé consiste à montrer a priori l'existence de cette surface. C'est l'extension du tliéorème de Cauchv-Ko\valevski, reposant sur le calcul successif des éléments des divers ordres.
Nous allons employer un autre procédé, qui consiste à montrer que la surface S, lieu des multiplicités caractéristiques 9 définie^ par les éléments de DU, est une surface intégrale. Nous savons que ces multiplicités ne comprennent que des éléments d'intégrales. Mais il reste à montrer qu'elles ont une enveloppe, c'est-à-dire, chaqiu' élément étant constitué par un point M et un plan P, que la surface S lieu des points M touche en chacun de ces points le plan V correspondant. Pour le montrer, il suflil de montrer que pour tout déplacement sur la surface S on a
( 22 j SU = / ( U^ oar -+- Li; 2/ ) dt,
les valeurs de U^ et L^. étant celles qui correspondent au plan P.
11 nous suffit de considérer sur la surface S des points dépendant de deux paramètres A et [j., tels que pour \ constant on ait des points d'une même caractéristique, et pour jj. =: o des points de la courbe C.
riiAi». IV. — i:qlatio\s aux dkiuvkks fonction .\ eli.es PAKTIELI-ES. i2'i
VàhuI (loniK'c iiik; siiccchsion (|iii'l(()n(jiic de puinls sni la surface S, on 1)1(11 «'11(' (;.sl sur mie iiièinc eaiaclcrislicjiie G el la loniiiile (a^».) est exacte, ou bien on jieiit s'arranger poiii- roLleiiir en faisant varier ). et laissant <x (((nslant. On a donc à démontrer que
on bien, cette relation étant évidemment véilfiée pour |j. = o,
()A<)lx J^ \ <)AdlX ■ <)Ki)\l ()K i)\X ')}. Oix 1
D'autre part, les équations (m)) étant vérifiées pour les détermi-
dix ■ * ' ' o^x
d.r dVy 1 ^ ^tr
nations -— , . , . , — -^ de ox, . . . , oL,,, on a
La formule à démontrer s'écrit donc
,/ \i)l dix ' r)l dix j J^ \àix dl à'X dl j
, ^ dv d\}'^ d\}'y , , ^- - 1 -
ou, en remplaçant — . — -^j — ^ par leurs valeurs tirées des equa- ^ " d'x d\x d\x ^ *
lions (19),
ou encore
Or l'expression sous le signe d'intégration est nulle, tous les éléments considérés étant des éléments d'intégrales, et par suite la rela-
lion (20) élanl vérifiée pour un déplacement quelconque. Le théorème est donc démontré ( ').
On voit donc que l'intégration complète de l'équation aux déri\ ées fonctionnelles partielles (2), et en particulier la résolution du prolilème de Cauchj relatif à cette équation, se ramènent aux problèmes analogues relatifs au système d'équations aux dérivées fonctionnelles ordinaires (19). Ce résultat (ainsi d'ailleurs que les principales circonstances de la démonstration) généralise le résultat fondamental de la tliéorie des équations aux dérivées partielles du premier ordre.
o3. Intégrabilité des équations des caractéristiques. — Dénion- Irons maintenant, ce que nous avons admis jusqu ici, que les équations (19) sont complètement intégrables. On peut le vérifier par le calcul (-). ]\ous allons en donner une démonstration qui montre mieux la raison de cette circonstance.
Montrons d'abord que les conditions d'inlégrabililé de ces équations sont nécessairement \C'ri^i(ces pour les élénienl s (V intégrales.
Considérons à cet effet un élément d'intégrale il'. En partant de cet élément, et faisant varier y{i) d'une manière quelconque, on obtient par les équations ( 19 ) une succession d'éléments d'intégrales dont l'ensemble constitue ce qu'on peut encore appeler une caractéristique. Si la condition d'intégrabilité n'était pas vérifiée pour ces éléments, on pourrait s'arranger pour revenir à la détermination initiale J'o(^) de y(t) en retrouvant un élément différent, et même des éléments différents C dépendant d'au moins un paramètre.
Or les raisonnements des n"* 51 et 52 s'appliquent avec cet aspect de la notion de caractéristique. Toute surface intégrale contenant l'élément vL" contient tous ceux de la caractéristi(|ue considc-rée et en particulier tous les éléments C' . D'autre part, on peut choisir une
(') On remarque (jue ce procédé d'inlégralion montre l'existence d'une inlégraliquelle que soit la multiplicité Oit. Nous savons d'autre part que la méthode, qui consiste à chercher en chaque point de Oit les variations successives de U, peut conduire à une impossibilité. Il n'y a pas contradiction. La surface intégrale existe, mais le calcul de 5-U par exemple est impoi^sible en certains points qui sont siiii^tiliers sur la surface intégrale.
On sait qu'une circonstance analogue peut se présenter dans la théorie des équations aux dérivées partielles mises en évidence, et conduit à trouver une surface intégrale admettant la courbe donnée C comme arête de rebroussement.
( = ) Voir Paul Lkvy, n° "20 du Mémoire déjà cité {Cire. Païenne, 1914)-
r.nxr. iv. — équations aux DiinivÉES l'ONCxioNNEr.LRS PARTI Ki.Mcs. -ni
courbe (] t'L une mullipllclté .Te la conlnuant, fornu-c (l'c'h'monts d'in- Irgralcs pour lcs(juclles j^(^) =yQ(t), comprenant l'c-li-nient >!' et non les éléincnts vl'; le raisonnement du n° 52 nous montre (pi'on peut, si l'écpialion ( 2 i est com[)lèl('mcnt inlégrable, trouver une surface intégrale coupant la variété plane y(^) = yo(ij suivant la courbe C <'t tangente le long de cette courbe à la multiplicité ,011, contenant par suite l'élément *L" et non les éb-mcnts C' . Cette conclusion étant en contradiction avec la pri-cédente, le ré-sultat énoncé est d('-montré. I )onc :
L'é(jualion (2) élatiL coniplèleniciU intcgrable^ les conditions dintégrabilité des équations des caractéristiques sont vérifiées pour tous les éléments d' intégrales.
iiï. Considérons maintenant un éb-ment v." (pii ne vérifie pas l'équation ( 2). Pour cet ('lémenl, la différence U,. — ^\* a une valeur déterminée y K). C'est donc un élément d'intégrale pour l'équation
Or l'addition à la fonctionnelle <1> du terme constant /(/)(') ne change pas sa variation, et par suite ne change pas la condition d'intégrabilité ni les équations des caractéristiques. Cette équation est donc complètement intcgrable. l'^ii lui appliquant le résultat précédent, on voit que les conditions d'intégrabilité des équations ( 19 ) sont vérifiées pour l'élément é", qui n'est pas un élément d'intégrale. Ces équations sont donc complètement in tég râbles.
11 j a d'ailleurs une différence essentielle entre ce résultat et le pn-cédent. Il repose sur une circonstance de calcul, et ne se retrouve pas pour des équations aux dérivées fonctionnelles partielles d'un Ijpe un peu différent du précédent, par exemple pour une équation non résolue du type
I'|[-r,7, Ul-, U;iU, ^]|=o,
ou pour celle qui sera étudiée n° GO. Au contraire, le fait que les conditions d'intégrabilité des équations des caractéristiques soient vérifiées pour tous les éléments d'intégrales, résulte d'un raisonne-
(') Constant loi-squ'on fait varier x, y, V'j- cl U. La lellre t esl plutôt un indice qu'une variable.
1lÇ) DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
ment qui s'applique à toutes les équations aux dérivées fonctionnelles partielles, du premier ordre et complètement intégrables.
oo. La notion d'enveloppe. — Considérons une surface S, dépendant d'un paramétre A, définie par Féquation
L'intersection de cetlc surface et d'une surface infiniment ^oisine conduit à l'équation
Les équations (24) et ('aS) définissent sur la surface S une variété S dont le lieu, quand ). varie, est une surface S, qui est par définition Yemeloppe de S. .Te dis cjue S et Z sont tangentes en tous les points de 8.
Le plan tangent à S, en un point de C, est défini par une relation linéaire entre ùx, oy, oU, obtenue en dilTérentiant l'équation t 2 f ).
On peut l'écrire
Y'^i^x) + F;.(oj.) + Fc oU = 0.
L'éc|uation de I étant obtenue en considérant A. non comme une constante, mais comme une fonctionnelle définie implicitement par réc|uation (26 ), le plan tangent à I a donc pour équation
Y'j.('^jx) h- F', (o;-) 4- Fc oL" -^ F) oÀ = o,
o). étant une fonctionnelle linéaire de ox^ oy et oL dont la valeur s'obtient en difterentiant l'équation (2.5). Mais son coefficient F) est précisément nul, d'après cette écjuation, et il n'y a pas besoin de la calculer; le plan tangent à S ainsi obtenu coïncide avec le plan tangent en S. c. o. F. n.
Le raisonnement est identique à celui f[u"on fait dans l'espace ordinaire. On peut d'ailleurs remarquer qu une section de la figure par une variété linéaire à;? dimensions donne une surface, dépendant de ), et tangente à son enveloppe. La propriété de contact, vérifiée dans une section cjuelconque, doit létre dans l'espace.
Le résultat obtenu se généralise dans le cas de familles de surfaces avant un degré de généralité cj[uelconque. Soit par exemple une famille de surfaces S
CHAI». IV. — lÎQlATEONS AUX DKItlS ICHS FOXCTIONNF.r.l.rS P.Ull I KM.KS. 2a;
dépendant d'une fonction arbitraire 'f* vj. En cherchant les poinls coniniiins à une de ces surfaces, et ù toutes les surfaces infiniment voisines obtenues en faisant varier '^{s) d'une manière quelcoïKjue, on est conduit à annuler la déri\ce lonctionnelle FL Cette é(juali(m conlenani un paramùlre arbitraire d('fii\it sur chafjue surface S des |)oiuls ne dépendant plus (jue d'une fonction arljilraire, constituant une cdurhe. Le lieu de cette courbe, quand »( î) varie, est la surface enveloppe ( ' ).
' 56. La notion d'intégrale complète. — \(jus appellerons inlcgiale complrlc de récpialiou [i) une laniille d intégrales contenant dans son ensemble tous les éléments d intégrales. Les éléments d'intégrales dépendant de trois fonctions ai^bitraires et un paramètre, et chaque intégrale contenant des éléments dépendant de deux fonctions arbitiaires, les surfaces d'une intégrale complète dépendent d'une fonction 's^is) et d un paramètre A.
Soit 1! une surface intégrale quelconque. Tout élément c de celte surface appartient à une surface S de lintégrale complète, et S est l'enveloppe de ces surfaces. Inversement, une surface envelopjic de surfaces S de l'intégrale complète ne contient que des éléments d'intégrales; c'est une surface intégrale. La connaissance d'une intégrale complète résout donc complètement le problème de l'Intégration de l'équation (2).
Les familles de surfaces S peuvent être d'une généralité plus ou moins grande. On trouve ainsi comme surfaces intégrales les surfaces S elles-mêmes, puis des enveloppes de surfaces S dépendant d'un nombre fini quelconque de paramètres, puis des enveloppes de surfaces S vérifiant un nombre fini de conditions, enfin l'enveloppe de toutes les surfaces. Cette dernière enveloppe joue un rôle spécial; elle est dite intégrale singulière. Les éléments communs à chaque surface S et à cette enveloppe dépendent d'une fonction assujettie à une relation.
Si l'on considère une autre intégrale, ses éléments communs avec chaque surface S dépendent d'au moins une fonction arbitraire. Ils contiennent tous les éléments singuliers S, de puisque, si S dépend
(') I.a Ihéorie des enveloppes s'applique bien entendu à un espace foncliouncl ayant une généialilé absolument quelconque.
228 DEUXlÈiME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
d'une manière absolument quelconque d'un paramètre A, l'équation — = o qui définit l'enveloppe est vérifiée pour les éléments singuliers. Il en résulte que si l'on remplace l'intégrale complète considérée initialement par une autre, on ne change ni l'intégrale singulière, ni les multiplicités communes à cette intégrale et à chaqne surface de l'intégrale complète.
57. On peut aisément, en partant de l'intégrale complète, retrouver les propriétés des caractéristiques. Cherchons à cet effet les intégrales contenant un élément donné C, constitué par un point M et un plan P.
Cet élément C correspond à une surface déterminée Sq de l'intégrale complète. Une intégrale i] contenant C doit être l'enveloppe d'une famille de surfaces S comprenant Sq. Si l'élément C est singulier, une telle surface 2 comprend nécessairement Sq- Mais s'il n'est pas singulier, la conditit>n que cette famille ne comprenne, comme surfaces S voisines de Sq, que celles qui contiennent M (au second ordre près), impose une condition aux variations O'-^^s) et oÀ de la fonction et du paramètre dont dépendent ces surfaces. On n'a le choix qu'entre les surfaces S, voisines de Sq et dépendant d'une fonction arbitraire, et qui par suite contiennent (au second oi'dre près) tous les éléments d'une courbe C située sur Sq. L'enveloppe contient cette courbe, et y touche la surface So- La multiplicité constituée par celte courbe et les plans tangents à So le long de cette courbe est alors une caractéristique. Toutes les surfaces intégrales contenant l'élément non singulier «^' contiennent tous ceux de cette caractéristique.
On a d'ailleurs un résultai analogue pour un élément C de l'intégrale singulière. Un tel élément, situé sur une surface Sq de l'intégrale complète, appartient à toutes les caractéristiques de cette surface. Une intégrale quelconque contenant C et qui n'est pas l'intégrale singulière contient une de ces caractéristiques; de toute façon, elle contient tous les éléments singuliers de Sq. On a donc un résultat analogue à celui obtenu dans le cas général. Le fait de connaître un élément d'une intégrale entraîne la connaissance d'une infinité d'autres éléments; seulement, dans le cas particulier considéré, ils dépendent d'un paramètre de moins.
Il existe une autre sorte d'éléments singuliers qui mettent ce
rilAI'. IV. — ÉQUATIONS Al \ l»l';iU VKKS l'O.NCTlONNKM.ES PAIITIEI-MCS. ■?.}.()
rt'sullal en dt-faiil. 11 peut arriver cjiic detix surfaces clisliucles de rintégrale eoniplèU! conlienneiiL un même élément, el qu'on en déduise deux caraclérislic|ues dislincle» contenant cet élément. Les surfaces intéj^rales qui le contiennent, contiennent alcjrs l'une ou l'autre de ces caraclérislicjucs, et deux surfaces ne contenant pas la uiénic caractéristique n'ont |)as d auti-e éh-mcnl commun que celui <l()niit''.
Les éléments de celte nature sont évidemment sini;uliers pour les équations (19). Ils s'introduisent comme solution étrangère dans la recherche, en partant de l'équation (a), des éléments de l'intégrale sinmiliére, el se distinguent de ceux-ci parce qu'ils n'ont pas d'enveloppe.
î^)8. La connaissance d'une iult'grale comjjlète permet de résf)udre le problôme de Cauchj sans passer par l'intermédiaire des caractéristiques. On n'a qu'à chercher les surfaces de l'intégrale complète tangentes à la courbe donnée C et prendre leur enveloppe.
Cette solution est d'ailleurs exactement équivalente à l'autre. En chaque point M de C, la recherche de l'élément d'intégrale contenant la tangente à C, ou de la surface de l'intégrale complète tangente à C, sont deux problèmes équivalents el comporlanl le même nombre de solutions. INIais si l'on connaît l'intégrale complète, la caractéristique correspondant à cet élément est obtenue sans intégration comme multiplicili' commune à la surface choisie dans l'intégrale complète et son enveloppe.
La connaissance d'une intégrale complète, permettant de résoudre le problème de Cauchj, nous permet d'affirmer que l'équation étudiée est complètement intégrable. Si une équation du type (2) n'est pas complètement intégrable, il y a donc des éléments de contact, vérifiant celte équation, et n'appartenant à aucune surface intégrale.
o9. Les équations linéaires. — Considérons le cas où l'équation (2) est linéaire en C ^. et V\, c'est-à-dire de la forme
(•■^6) U;, = H(U;)-f-<I.l[r,jlU, 01,
H étant une fonctionnelle linéaire de U^., dépendant en outre des fonctions x el y et des variables t et U.
23o DEt'XlÈ-ME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
Dans ce cas. rindctcrmination dans le problème de Caucliy peut apparaître dès le calcul des dérivées fonctionnelles premières. L'écpialion (12 ) sécrit alors
X(Ui) + n(u:,) = «i.-v;,
et la tonclion L',. reste indéterminée si
K ( oy t — — 3C ( oj'),
c'est-à-dire si la courbe C vérifie les équations aux dérivées fonctionnelles
Lne telle courbe est une caractéristique de léquation (26). Par des raisonnements analogues à ceux faits dans le cas général, on montre que la surface intégrale la plus générale peut être définie comme lieu de caractéristiques dépendant d'une fonction arbitraire (l'ensemble des caractéristiques dépendant d une fonction et d un paramètre).
La théorie générale s'applique d'ailleurs ici. Lne courbe caractéristique et la succession des plans tanoents à une surface intégrale le long de cette courbe constituent une multiplicité caractéristique jouissant exactement des propriétés indiquées dans la théorie générale. Mais il n'y a pas besoin de faire intervenir les plans tangents ])Our mettre en évidence la forme de la solution générale.
Comme dans le cas analogue de la théorie des équations aux dérivées partielles, il est facile de développer les circonstances qui se présentent lorsque le second membre de l'équation (26) se réduit à IL L^), celte fonction ne dépendant pas de U. Dans ce cas, comme dans le cas plus général où H(U!j.) étant toujours indépendant de L', le terme $ est quelconque, il est possible d'obtenir explicitement l'expression de la solution générale à l'aide d'une fonctionnelle arbitraire.
60. Cas des fonctionnelles dépendant d'un contour plan C et d'une fonction u{s). — Nous désignerons par C un contour plan, par s la
CHAI'. IV. — lior.VTIONS Vl \ DKUIVKKS fonctionnelles r.VUïIELLES. V.3 1
longiitnir darc, |>;ii- in s) une fonclion donnée en chaque point de C, par •!> une l'onclionncllc de (1 el de u{s). INous définirons la déformalidii de C par la dounc'-e du dé|>laeenient normal on; nous désignerons par Zu(s) la Nariatioii dr a lorsque le point dont dépend ct'Ue fonclion se de|)laee nonnalenicnt à Ç, |)ar <!>,, et <I>',^ les dérivées lonelionnelles de <1». Soil à cludier l'équalion
D'après le n" 78 de la [)reniiére Partie, la eondition pour que
TT — T- -= -; — rr- S oblieul (i\\ eeiivanl que 'Ja ()[x ilu. <)K 1
, , ( ^K = E ( oji) -i- F ( o/i ) -^ l< 'I'« '^" ,
( o'I>'„ = 3 f oi< ) -H G ( o« ) -t- *,', u ou .
E el G désignant des lonelionnelles linéaires identiques ehaeune à son adjointe, S- l'adjointe de F, k la courbure de C, comptée positivement dans le nu'me sens que o/î, a' et on' les dérivées de u et on j)ar rapport à s,
La variation de <I>^,, lorsque le point du contour C dont dépend celte d(''rivée se déplace normalement au contour, et que
o<ï> = / (<!>;, ou -I- ^'n on) ds, Je.
s'oblienl en difïerentiant l'équation (28) et remplaçant 0^ par sa valeur. Elle est de la forme
(3o) ô'l''„ = II(o<]j'„ j + L(o/f j 4- Li(o/0.
La eondition dintégrabililé se trouve alors par des calculs analogues à ceux du n" 45. En remplaçant o<I>',^ et o<l>^^ par leurs expressions (29) et séparant les termes en ou et ceux en o/i, on trouve
cf(^o?;i = II|lî(o«)]-t-L(o«.), G ( ô/O + ^^'n «' ô// ' = H f F I ô/< ) -+- k 'I>Îj 6// j -r- L j ( ô/( ),
d'où 1 on lire
F(o// 1 = E[jC(ort)J 4-/^(0//)
et
G (0/0 — H j E[5C(ô/?)] ; = H [ !^(S/0 ^- k^¥„ on] -\- \.^{on)—A\, u on.
La condition d'inlégrabilité de Féquation (28) s'obtient en écrivant
que le second membre de cette expression est une fonctionnelle linéaire de on identique à son adjointe.
La théorie du problème de Cauchj et des caractéristiques est aussi tout à fait analogue à celle développée à propos de l'éqiiation (2). les seules différences dans les calculs provenant des derniers termes des formules ( 29), qui nont pas leurs analogues dans les formules (5). On trouve, pour les équations des caract(''risliques,
5 «(5) = — JC(ô/0,
>M. = ^{'^n)^k<Kon,
di^Ki(') ^
o'P',1 = 41i ( o/i ) -H A- 4>'„ 3^( on \ -h 2 "î^',, u' on -\ -~ on.
Si l'équation (28) est complètement intégrable, les conditions <l intégrabihlé de ces équations sont toujours vérifiées pour les éléments d'intégrales, mais ne le sont pas pour desélémenls quelconques [voir remarque finale du n" oi).
CIIAPlTllIi V.
