I. i:\TENSl()N DKS ÉQUATIONS Dlî JACOBI-IIA.MILTON
Sommaire : Notions j;rncral("s. — Cas de riiiir'u:r;ili' ilr Dii i( hlri. — Gt'néralisalioii.
()l. Notions générales. — Soil '^i </, A, a, 3) le iiiiiilmiiin «le V\nU •Pille
/ A-^,J\y)dT,
y étant une fonction de x continue, à dérivées première cl seconde continues, égale à a pour ^ = « et à [i pour x ^= b. On sait que ce minimum, s'il existe, est obtenu pour une solution de Ic'quation diderentielle du second ordre d'Euler
dy dx ùy
et que le minimum obtenu, considéré comme fonction de h et |j, vérifie une équation aux dérivées partielles du premier ordre, dite (''qiiatlon de Jacobi-Haniillon^ qui résulte de l'élimination de }'•' entre les formules
On obtient une équation analogue relative à la limite inférieure d'intégration, en remplaçant h et S par a et a. et ■:, j^ar — 'o. Si l'on remplace l'intégrale ( i i par l'intégrale double
Cl qu'on en cherclic le minimum parmi loutes les fonctions z{.x,y). continues ainsi que leurs dérivées des deux premiers ordres, prenant des valeurs données u{s) sur le contour C de l'aire S, l'équation (2) est remplacée par une équation aux dérivées partielles. Le minimum devient une fonctionnelle dépendant de C et u{s), et l'équation de .Tacolii-Hamilton est remplacée par une équation aux dérivées fonctionnelles partielles, du type étudié n" 60.
Nous allons d'abord étudier un exemple particulier. Nous traiterons ensuite le cas j;énéral (').
6^. Cas de l'intégrale de Dirichlet. — On appelle ainsi rint(''i;rale
Appelons ii(s) el i/,(5)les valeurs sur le contour de z et de sa dérivée normale, et on la variation de u lorsque, le contour C qui entoure l'aire S se déformant et z variant, le point dont dépend cette fonction se déplace normalement au contour. On a donc
(5) ùn-—oiz = oz-+-tiiù/i.
Si ù7i est compté positivement vers l'intérieur, la variation de I a la valeur
Par intéi;ralion par parties, l'intégrale double s'écrit — / iii oz ds — ■> / j \z oz (Lr dy.
Remplaçant alors dans l'intégrale simple oz par sa valeur tirée de
(') Dans mon Mémoire déjà cité {Rend. Cive. Mat. Palcrmo, 1914), j^' traité le cas plus général où la fonction / contient des dérivées d'ordres quelconques de \;\ fonction ;:. L'extension au cas des intégrales multiples est également facile. Pour Texlension à ce cas des principales formules du Cliapitre précédent, voir Fischer. American Journal of Mathematics, vol. XXXIX, 1917.
Voir aussi, sur l'extension des équations de Jacobi-Haiiiillun, les Mémoires de MM. Volterra el Frécliet.
CHAI'. \ . — I. 'extension di:s équations im .IACOIJI-IIAMII.TON. 2{>
l;i roiimilc ( .') I. il \ iciil
ol — x I iii r,// i/s ~ / [uf — /('■ ) 0/1 ds — •». / / Aj 0- c//; dy. • (; *- (; ./ <- s
Si Ton prend pour :; la fonction liarinoni(|uc el régulière égale à /t. Mil- le conlonr. Tintc-grale cloiible dispaïaîl; l'inlégrale I se réduil alors à une fouclionnelle <I> de C cl. «(v), égale, comme on sait, au iniuiniiim de 1 lorsque C et il (s) sont donn(''S, el il vient
(f)) o'l> = — ■>. I ni lu ds -f- / {i(\ — IL-) r,n ds.
Les dérivées toneliounelles de <I> sont donc
Elles ne sont pas c\|)rimées en fonction seulement des arguments de la fonctionnelle <I>, ])uisc[ue ?/, figure dans ces formules. Y.n éliminant // , . on a !"(''([ualion aux dérivées fonctionnelles partielles
du tvpe élu du- au n" GO.
63. lui difTérentiant cette équation, tenant compte de ce qu;^
du ^ , 7^7
?/ = — r et 0 (is =^ — /.■ on as, on trouve as
«,,-,,, ,d ou , ,., ^
■2 ds
de soite (pie, avec les notations du n" 60,
, dou
1, ( Cl?/ ) = ■> l(. ;— ,
ds
T.,(o;?)=: — iku'-oir.
La condition d'intégrabilité s'obtient alors en formant l'expression
- tJ>,', i-r {u' on ) -\- A<i>^, 0/* — ihu- on — (I>;, u on' = (<!>;, «"-i- 2/1 'I»;, 1 on.
et écrivant c|u'elle est identique à son adjointe. Elle est identiquement vérifiée; l'équation (8) est complètement intégrable.
Formons, de même, les équations des caractéristiques, en teuanl compte de leur forme générale indiquée n" 60. Il vient
5<^^, = i-j-( II' on) -h k 'I>;^ on .
Ces trois équations définissent les variations de 11, <ï>, <I>,^. La dérivée <ï>^^ est à chaque instant donnée par l'équation (8).
6Âf. Il est facile de donner du fait que l'équation (8) est complètement intégrable une démonstration ne nécessitant aucun calcul, et montrant mieux la raison de cette circonstance. Nous pouvons aisément former une intégrale complète de cette équation; cela suflit, nous le savons, pour prouver qu'elle est complètement intégrable.
Remplaçons à cet effet, dans la définition de l'intégrale I, l'aire S par la région limitée entre deux contours C et F. Tous les calculs faits s'appliquent, et la formule ((3) donne toujours la variation de 4>, à condition détendre les intégrales simjîles à Tensemlile des contours C et r. Mais si le contour Y reste fixe, et si les valeurs de z sur ce contour ne varient pas, les intégrales simples relatives à Y disparaissent, la formule (6) s'applique en ne considérant que le contour C. La fonctionnelle 4> ainsi formée est une intégrale de l'équation (8).
Par addition d'une constante arbitraire, on obtient une autre intégrale.
Je dis qu'on obtient ainsi une intégrale complète. Les intégrales que nous venons de définir dépendent d'ailleurs de deux fonctions arbitraires et d'un paramètre, c'est-à-dire d'une fonction arbitraire de plus qu'il n'est nécessaire. Il n'en est pas moins nécessaire de montrer qu'elles contiennent tous les éléments d'intégrales.
Or un élément d'intégrale peut être défini par la donnée de déterminations C, w, «,, <I* de C. H. u^, <I>, les dérivées $'„ et <I>^^ étant données par les formules (-). Ces quantités sont bien arbitraires, puisqu'on peut choisir une fonction harmonique z(x, y) telle qu'on ait sur C, z = 11, -^ = ?/, (du moins si les données sont analytiques). Prenant alors pour Y un contour situé dans la région où cette fonc-
CIIAP. V. — l'extension des ÉOI'ATIONS DE JACOBI-HAMIKTON. a'ij
lion csl n'-^iilirrc, et pouv valeurs clonnérs siii- V celles de celte lonction. ajoiitanl à l'intéfj;rale <I> df-linic ci-clessiis une constaiilc eonvenaljle, on oblienl hien une inléf;rale de l'écjuation (8) conlcnaiii l'élément donné, e'esl-à-dirc |)renanl la \alenr<I> poiii- lecont(uir(! el pour II = n, tandis ([ue ses dérivées i'onctionnelles |)rennent les
valeurs — 2iif cl//, — '/ . f/équation ((S) esl donc bien complètfnienl int(''<;rable.
60. Passant maintenant aux earaeléristiques, nous pouvf)ns les définir de la manière suivante :
On choisit une fonction harmonique z(x, r), un contour V en chaque point duquel elle soil régulière, une constante <I>o. Soit S Taire limitée par V et un autre contour variable C, choisi de manière (|ue la fonction r soil régulière dans celle aire; soient u{s) et u,(s) les valeurs sur C de c el de sa dérivée normale. L'élément C, «(ç),
définit, lorsque C varie, une caractéristique.
Ce résultat se vérifie d'ailleurs aisément à laide des formules ( i) 1. On a en efTet
cil = u, o/t = <l>„ 0//,
ô<I> = — / (, « f -f- u'^ )o/tds = — I ( - <ï>„^ -+- u'- \ o/i ds,
o<I>î, = — ■> 5»! = — 2^-^ on -+- 1 1l' on' .
Les deux premières formules ne sont autres que les deux premières formules (9); en tenant compte de ce que z est harmonique, c'està-dire que
-;—- = — ». -t- A- w. en ( 1 ), (in-
(') Appelons -^ et -j-^ les dérivées première el seconde relatives à un dépla-
1 T^ 1 1 • • . •• . • 1 d: dz
cernent sur la tangente. Pour les dérivées premières, on a évidemment —-=-— = 1/ .
cil as
Mais la variation de u , lors(itron se déplace sur la courbe, provient à la fois du
la dernière se réduïL à la dernière formule (9). Comme de plus ^[^ vérifie bien l'équation (8), toutes lés équations des caractéristiques sont vérifiées.
L'hypothèse que z{x, y) est harmonique n'est intervenue que pour vérifier que o<I>,'j, et par suite o<I>,'^, ont les valeurs voulues. Si par suite on supprime cette hypothèse, on obtient une multiplicité vérifiant les deux premières équations des caractéristiques, mais non les autres. On sait que pour une telle multiplicité le prolilème de Cauchy n'est pas indéterminé, mais impossible (du moins en ce qui concerne les solutions régulières).
(30. Généralisation. — On traite de même le cas plus général de l'intégrale
n et a désignant -7^ et — • Sa variation a la valeur
= — / fonds— i ( '-f- cos a -1- '-- cos 3 ) oz ds-
fJJI
df d ,)/ d <)f\ .
-— f f- ) oz d:r d)\
dx ()p dy (iq I
cosa et cos ,3 désignant les cosinus directeurs de la normale intérieure. Si le contour C et les valeurs u de z sont donnés, si de plus z vérifie l'équation
■ . ()z dx dp dy ôq
la variation de I est nulle. Plaçons-nous dans le cas où la fonction /* est essentiellement positive; l'équation (i i) est alors une équation du type elliptique et sa solution est l)ien déterminée si Ton (^onnail sa
déplacement du point et de la rolation de la tangente, de sorte que
„ , rf'z , 1 dz u as = ——- ds H- A- —r- as, dt- dn
d-z , , et par suite, si z est harnionuiue, u = — :; -hku^'Jii.
cii.vp. V. — l'extension niîs équations DK JACOIU-IIAMILTON. 7.3;)
Nalciir u(s) sur le contour. Ccllo soliiLion fsl d ailleurs, j)arnil tout(;s les lonetions égales à it(s) sur C, celle (jni rend riiilégrale l iniainia; ce inlniinum l est alors une fonctionnelle <I> de C et «, dont la variation est
o'I» = — / /■ 0// t/^ — / { -r- 'OS oc-J^ '-—- cos 'à ] ',z ds, Jk: ' Je \ (^P "'7 /
ou, en tcuaul (-omptc de la toriinde (5),
(12) o<I> = — / ( -f- cosa H — — ces i ) 0/1 ds
Ou a doue
fM
-^ rosa M — ■— cos S ) ?/i - - /
0// ds.
\ <1'„ -t- -r- COS a -h -f- cos 3 = o,
D'ailleurs, sur C,yse réduit à une fonction de 5, ?/, a' et /<,. Par ces équations, le contour C et ii{s) étant donnés, <I>^'^ et <I>|j apparaissent comme donnés en chaque point en fonction de m,. L'élimination de M( donne une équation aux dérivées fonctionnelles, vérifiée par la fonctionnelle <I>.
67. Par une extension analogue à celle du n° Ci, remplaçons l'aire S par l'aire comprise entre C et un contour fixe F, ne considérons que les fonctions [z) solutions de l'équation (1 i) et prenant des yaleui's données sur F, et ajoutons à <I> une constante arbitraire 4%. Je dis qu'on obtient ainsi une intégrale complète, contenant un élément d'intégrale quelconque, défini par C, ?/, <I> et ?<,, les dérivées fonctionnelles ^[^ et <!>,', étant données par les formules (i3).
On peut en effet choisir z solution de l'équation (11), égal à u sur C, sa dérivée normale étant égale à «,. Il suffit alors de choisir un contour F sur lequel la fonction z soit régulière, et de prendre comme valeurs données sur F celles de la fonction z. L'intéei-ale définie par F et les valeurs données sur F est une fonctionnelle dont lès dérivées $^^ et ^l>\^ ont bien, pour le contour C et la détermination choisie de u{s)^ les valeurs voulues; comme on peut lui ajouter une constante quelconque, on peut s'arranger pour qu'elle ait elle-même la valeur voulue et contienne en conséquence l'élément donné.
24o DEUXIÈME PARTIE. — DÉRIVÉES FONCTIONNELLES DU PREMIER ORDRE.
68. Le procédé de définition des caractéristiques du n" 65 se généralise aussi aisément.
Choisissons une solution z de l'équation (ii), régulière dans Taire S comprise entre le contour C et un contour fixe F. Prenant pour u(s) les valeurs de z sur C, l'élément défini par C, u{s).
4' = <I'o-+- f f f*^- y-, -, P^ q)'^^f dy, dp âq ' '
(léllnit, lorsque C varie, une caractéristique.
11 appartient en eft'et à une surface intégrale, celle de Tintégrale complète obtenue en prenant le contour!' considéré et comme valeurs données sur le contour celles de z{x,y). Il suffit alors de vérifier la première équation des caractéristiques.
Pour former d'abord la fonctionnelle H(o<ï>^^), différentions la deuxième équation (i3) en considérant C et (i(s) comme fixes. Il vient
D'ailleurs, d'après la première équation (i3), le coefficient de o//| est nul ( ' ). Il vient donc
La première équation des caractéristiques
0» = — JCl 0/1 I = ?/) 0//
est alors immédiatement vérifiée. La succession d'éléments considérés délinlt donc une caractéristique. Comme on peut s'arranger pour
(' ) On a eu cllel
p = «, cosa — i( cos ,3, rj = ii^ cos |i + u cosa;
d'où
-r- = -=^ cos a + -f- cos
CHAI*. V. — l.'lATIÎNSION DKS lÔQUATIONS l)F. JACOIll IIA^flI.TO^■. 2(1
qu'elle eoiiliniiic (iii ili'-mciil d iiil(i;i;ilc (iiielcdiKnie. iumin ii\()ii-s sûrement ohleiiii la déliiilliou <;énériil(; des caracléi'isliqiies.
Si l'on suj)|)iimail la eondilion que z(x, y) soit une solution de l'équation (ii). on n'aurait donc pas une caractéristique. La preniièrc équation des caracU'ristiques étant toujours vérifiée (puisque cette condition n'es! pas intervenue dans la vérilication), on a dans ce cas une niultiplieilé n'appartenani à aucune surlace intégrale regulièi'C.
