CHAPITRE VI

TYPES DIVERS D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES FONCTIONNELLES PARTIELLES ET DE SYSTÈMES D'ÉQUATIONS.

SoAiM.viuE : Noti'jiis gôm-ralos. — Equations liiiraiies. — Systèmes (Vx-quations linéaires. — Équations non linéaires. — Systèmes d'équations non linéaires. — Equations contenant un paramètre. — Généralisation.

69. Notions générales. — Les équations aux dérivées fonclionnelles étudiées Chapitre 1 généralisaient les équations aux différentielles totales. L'objet du présent Chapitre est d'étudier les équations généralisant les équations aux dérivées partielles, ou les systèmes de p équations vérifiées par une fonction de n variables. En faisant croître n indéfiniment, mais laissant p iini, on obtient les systèmes d'équations que nous allons étudier.

Nous commencerons par le cas linéaire pour étudier ensuite le cas général. Les considérations que nous exposerons généralisent la théorie classique des systèmes d'équations aux dérivées partielles, telle qu'elle est exposée dans le Traité de M. Goursat (Chap. II, VI et MI).

Nous étendrons ensuite les résultats obtenus à des systèmes de forme plus générale, comprenant à la fois les précédents et les équations du Chapitre IV.

70. Équations linéaires. — Considérons une fonctionnelle L" de la fonction x{t). L'équation linéaire que nous nous proposons d'étudier d'abord est du type

(I) f Y\[.ri-.)\t]\[J[,,,dt = o.

Considérons, dans l'espace fonctionnel qui représente la fonction ir(/), une courbe (lieu des points dépendant d'un paramètre a), telle que pour un déplacement le long de cette courbe,

riIAI' VI. — TU'ES DIVFJIS DICyUATIONS ALX Dlhu ViÎKS FO.NCTIONXF.t.tF.S. ? '[i

OU ail

(•2) OJ^(,,= r\[x>-.)\l]\(r/..

L lit' |)nn'ill(' coiirhc esl ce ([iic ikmi^ a|i|)rll('i(iu> iiur (■(( nirlciisli(/iii' tli' 1 ('(jualK)ii ( I ).

]\emar(|iions d'ahord que la délciiuiualKUi de la caractéristique conlcuaiit un poiul donné est un problème d'analyse ordinaire, l-a fonction .£{t) dépendant du paramètre À, on a à déterminer une fonction de deux variables t et a, vérifiant l'équation (2) qui est du tjpe intégro-dilTérentiel, et se ix'duisant pour \ = o à. une fonction connue.

îSi Ton C(Misidérc 1111 dt-placcment le long d'inij cara(l!:ri>li([M(% ou a

oL' = ill f F| [xi -)\t]l {J[^(t) dt.

L'équation (i) expriuie que cette quantité est nulle. Son intégrale générale est conskituée par l'ensemble des fonctionnelles constanics le long des caractéristiques.

Supposons en particulier que F se réduise à une fonction y (f) de t seulement (M, que l'on peut supposer normale, c'est-à-dire telle que

f fHj)d(.

La droite contenant le point x(t) contient aussi le [)oint \{t)=xij^-f{t) f f{z)x{z)d-,

projection orthogonale du point x[t) sur le plan passant par l'origine et perpendiculaire aux caractéristiques, évidemment indépendant du point choisi sur la droite. On peut alors exprimer la solution générale de l'équation étudiée; c'est une fonctionnelle arl)itr.iiie

deX(0.