LA NOTION DE CONTINUITE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL
Sommaire. — Notations. — L'espace fonctionnel. — Définition normale de la continuité et du voisinage. — Autres définitions. — Voisinages de divers ordres. — Ciiamps fonctionnels. — Continuité uniforme. — Fonctionnelle^ dépendant d'un para-métre.
8. Notations. — Lorsqu'une quantité U est une fonctionnelle dea:(/), dépendant des valeurs prises par cette fonction pour a^t^h. M. Volterra représente cette dépendance par le symbole
Pour simplifier l'écriture, toutes les fois que cela pourra se faire sans ambiguïté, nous supprimerons l'indication des limites a et b. ou même nous écrirons simplement U | [.r] | ou même U, sans rappeler par les notations que cette quantité est une fonctionnelle de x{l).
Si une quantité dépend de la forme de plusieurs fonctions, soit par exemple deux fonctions x et j', et de la valeur de certains paramètres, soit par exemple deux paramétres \ et u, la notation U I \x^ y^ )., [jl] I ne marquerait pas suffisamment la distinction entre les fonctions et les paramètres. Nous adopterons dans ce cas l'une des notations
Lb,ix![^, v]|; U|[-^,j|>-, !^J|.
La notation de M. Volterra
supprime également toute ambiguïté.
Si dans ces expressions on remplace x par une fonction de f et de
12 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CAl-CUL FONCTIONNEL.
paramètres a, (B, la fonctionnelle U devient une fonction de a, [B, X, u. Nous distinguerons le rôle de la variable L de celui des paramètres a et |3 en écrivant
U|[:r(<|a, P)IX, .u]| ou U),al [:ra,p(0] I-
Les fonctions ^(0 6ljr(0 ^'^ ^^^ variables À et li. qui interviennent dans la définition de U seront appelées arguments de celte fonctionnelle.
9. L'espace fonctionnel. — On sait les services que rend dans l'étude des fonctions de n variables le langage géométrique qui consiste à les considérer comme fonctions (T un point de Vespace à n dimensions. Un langage analogue est de même employé avec avantage pour les fonctions d'une infinité dénombrable de variables, qu'il nous arrivera d'avoir à considérer dans la suite, et pour les fonctionnelles qui sont l'objet principal de notre étude.
Pour fixer les idées, nous considérerons les fonctionnelles U dépendant des valeurs prises, pour o5/^i, par une fonction x{t) définie d'une manière uniforme dans cet intervalle. Nous considérerons une telle fonction comme représentée par un point d'un espace idéal que nous appellerons Vespace fonctionne/. La fonctionnelle U sera une fonction d'un point de cet espace.
Mais un mot nouveau, s'il peut faciliter la généralisation de certains raisonnements, ne suffit pas pour résoudre une difficulté. L'espace fonctionnel difi'ère essentiellement de l'espace à n dimensions, comme nous allons bientôt le constater.
10. Définition normale de la continuité et du voisinage ('). — La notion qui est à la base de toute méthode infinitésimale est celle de continuité. Dans l'espace à n dimensions, une fonction est dite continue en un point A si, étant donné un nombre s positif, les valeurs prises par cette fonction en A et un autre point B diffèrent de moins de e, pourvu que B soit suffisamment voisin de A, c'est-àdire pourvu que la distance de ces points soit inférieure à un nombre
(*) M. Fréchet emploie le mot voisinage dans un sens un peu différent de celui que nous allons lui donner. Nous sommes d'accord pour l'emploi de ce mot avec Af. Hadamard (Leçons sur le Calcul des variations, p. 48).
