II. - UN PROBLÈME DE CALCUL DES VARIATIONS
9. Énoncé du problème. — Au lieu de la section par un plan diamétral de la sphère de rayon R dans l'espace à n dimensions, considérons maintenant une variété C quelconque à n — :>, dimensions, divisant la sphère en deux parties ayant même surface, et considérons la portion A de la surface formée de points silués à une distance de la variété C au plus égale à RQ (la distance de deux points de la sphère étant comptée sur le grand cercle passant par ces points). Nous montrei'ons que la surface de la région A^ pour des valeurs données de «, R et 0, est minima lorsque la variété C se réduit à la section de la splière par un plan contenant le centre. Il en résultera que ce qui a été dit sur la concentration près de l'équateur est vrai a fortiori pour la concentration près de la variété C. La région de la sphère extérieure à t^ représente une fraction de la surface totale à laquelle on peut assigner une limite supérieure, fonction de G et n seulement, et tendant vers zéro lorsque n devient infini, G restant fixe.
Le problème de calcul de variations d'où résultent ces conséquences est une généralisation du problème classique consistant à déterminer la surface d'aire minima limitant un volume donné. Nous allons commencer par quelques cas simples.
C) V^oir SU!' ce sujet li. Borel, Introduction géométrique à quelques théories physiques.
10. Un problème de géométrie plane. — Considérons une courbe plane fernié(> sans point douille C. Appelons / sa lont^ueur, S l'aire intérieure à C, et 2 Taire de la région lieu des points intérieurs à G et dont la distance à cette courbe ne dépasse pas une longueur donnée a. Cherchons pour quelle courbe S est mininnim si rt et S sont donnés (S étant supérieur à tzci-).
Observons d'abord que la courbe C qui réalise le minimum ne |)eut avoir nulle part son rayon de courbure inférieur à a ('). Si en elï'et le rayon de courbure est quelque part inférieur à a, la région S' comprenant les points de S n'appartenant pas à S est limitée, non par la courbe G' parallèle à C à la distance a, mais par une portion seulement de celte courbe, dont certains arcs sont intérieurs à S. A ces arcs correspondent des arcs de C situés à une distance de -' supérieure à a. Appelons alors S, l'aire de la région comprenant S' et les j)oints situés à une distance de 2' au plus égale ha. Celte région est limitée par des arcs de C et des arcs de cercles de rayon a ayant pour centre les points doubles de C, tels que l'arc MN, de centre A. de la figure ci-dessous (Ji^S'. 2). En remplaçant S par S,, on diminue
Fis. 2.
les aires S et ï sans changer leur diflerence, qui est l'aire de S'. Piemplaçanl alors la figure par une figure semblable et plus grande, on peut remplacer S) par une aire égale à S, en remplaçant ]S' par une aire 'plus grande et par suite S^S — S' par une aire* plus petite.
C) Nous supposons lexislence du rayon de courbure. On sait que les ditliculUs augmentent beaucoup, dès le cas du plan, si l'on veut une démonstration tout à fait générale, et l'extension au cas de la sphère de l'espace E„ de celte démonstration nécessiterait des développements beaucoup plus étendus que ceux qui suivent.
CIIAP. 1. — LA Sf'HEKR DVNS L KSPAlIC A /( DIMIiXSlONS. 7.-1
Lu c<)iirlj(i coiisidcrcf ne ri'iiliM- pas 1(.' iniiiiiiiiiin . C('ll(3 fjni n'-alisc le ininiiiuini de i] a dune son ijinoii de couihiiic loiijfiiirs au moins égal à a.
Pour celle C(jiii'be, 1 aire 1" |»(;mI alois (■tic considérée coinuH' halajée par un segment de longueur a normal à C. Lorsfpie Icxlicniil('' de segmenl décril un arc cls de C, ce segineni dcicril une aire
( I 3 ) a ils /« ds,
/ élanl la courbure, coniplée [)osilivenienl vers linlérieur. Observant <|ue / t/.y est l'angle de contingence de la courbe (1. dont rinii'grale est 2 7:, on trouve en intc'-grant
(!.',) i; = rt/ — -«2.
}i^ est donc niininuini en m('nie temps que /. ("csl-à-dire lorsque (] est une circonférence.
11. Un problème de géométrie sphérique. — On j)eul se poser un problème analogue au précédent sur la surface d'une sphère de rajon i dans l'espace à trois dimensions. Parmi les courbes C tracées sur cette sphère et entourant une aire a\aut une valeur donnée S. <pielle est celle qui rend minima l'aire S de la région A lieu des points de l'aire S dont la distance à C ( (M:>niptéc sur la sphère) ne dépasse pas une longueur donnée a.
Le principe du raisonnement précédent s'applique sans modilicalion. L'expression de l'aire élémentaire (i3) doit seulement être remplacée par
(ij) ^5 si 11 a — (i — cos a) A- ds,
/■ désignant la courbure géodésique de la courbe C, dont linléurale sur la courbe C a la v;deur
(d'après une formule que l'on démontre aisément en remplaçant la courbe C par un polygone sphérique de côtés très petits, en décomposant ce polygone en triangle et eu applif[uant à chaque triangle le théorème de V excès sphérique).
En intégrant l'expression (i5), il vient alors, pour l'aire de la
région A,
(^16) I. = ls'\na — (i — cos«)(27r — S),
ce qui moiilre que, S et a étant donnés, i] est minimum en même temps que /, c'esl-à-dire lorsque C est une circonférence.
Si en particulier S := 2-, c'est-à-dire si C est une courbe divisant la sphère en deux aires égales, le minimum de X! est réalisé si C est un grand cercle. Ce cercle réalise le minimum des aires comprises entre C et les courbes parallèles tracées à une distance a d'w/i côté ou de Vautre de C, et par suite le minimum de la somme de ces deux aires, c'est-à-dire de l'aire balajée par des cercles de rayon spliérique a dont les centres décrivent la courbe C.
12. Généralisation. - Les résultats précédents s'étendent à l'espace k 11 — i dimensions et à la sphère de l'espace à n dimensions. Mais leur démonstration, par une méthode analogue à la précédente, présente une diffîcidté provenant de ce que les formules (i 4 ) doivent être remplacées par des formules de degrés plus élevés en a dont les coefficients ne s'expriment pas en fonction de / et S seulement.
11 \aut mieux raisonner comme suit :
Soit, sur la surface de la sphère de rayon R dans l'espace à Il dimensions, une variété C à n — 2 dimensions, de mesure J, limitant une aire sphérique S. Si S est donné, on sait que L atteint son minimum / lorsque C se réduit à une section plane C et dans ce cas seulement.
Soient Sia le lieu des points de l'aire S limitée par une variété non plane G et situés à une distance sphérique de C ne dépassant pas une valeur donnée a = 6Pi, et c'tl'„ l'aire analogue définie en partant de C. Appelons l\i et S^, les aires de âia et A'„, et ha et L^, les mesures des variétés parallèles à C et C limitant ces aires. On a évidemment
et par suite, pour a positif très petit,
.]e dis que celte inégalité reste vérifiée pour toutes les valeurs de a.
du -^«'
dK
da
CIIAI'. I. L\ SI'IIKIIE DANS L KSI>ACK A /i DIMENSIONS. 7.- S
jusqu'à ce que ï„ s'annule. Pour cela, nous allons voir que l'jivpothèse qu'elle cesse d'èlre véri(lé(! j)our a = b conduit à une conlradictlon.
Le premier membre de (17), d'ahord supérieur au second, lui devenanl é£;al, on aurait
db = db ' c'esl-à-dire
Or ces variéh'b liniiicui des aires égales entre elles, de valeur
S -Si- S -s;.
Nous savons que dans ces conditions leur mesure ne peut atteindre son minimum que si elles sonl planes, ce qui est le cas [)Our L'/, et non pour L^. L'inégalité (18) n'est donc pas possible, et par suite l'inégalité (17) est vériliée pour toutes les valeurs de a ou. ce qui revient au même, de 0.
On en déduit, connue au n** 11, que de toutes les variétés C qui divisent la sphère en deux aires égales, celle qui rend minima l'aire ï de la région i(l balayée par une calotte sphérique de demi-angle au sommet 8, dont le centre décrit C, est une section plane passant par le centre.
Si l'angle H reste fini, le nombre de di-mensions n devenanl infini, le minimum en question de S, et par suite la valeur de ^ pour une variété quelconque divisant la sphère en deux aires égales, représente (d'après le n° 6) une fraction de la surface totale de la sphère qui tend vers l'unité. En d'autres termes, la portion de l'aire sphérique n'appartenant pas à la région <^ représente une fraction infin-iment petite de l'aire totale.
