LA NOTION DE VALEUR .MOYENNE DANS L'ESPACE FONCTIONNEL

Sommaire : Remarques générales. — La noiimi de valeur moyeune. — Énoncé d'un théorème général. — Exemples de valeurs moyennes à l'intérieur d'une spl»ère. — Démonstration du théorème général dans le cas d'une fonctionnelle uniformément continue à l'intérieur dune sphère. — Les formules de Gâteaux pour la sphère. — Postulat de Texistence de la moyenne. — Remarques. — Application aux fonctionnelles du second degré. — La notion de courbure moyenne. — Surfaces minima. — Exemples de valeurs moyennes dan< des volumes autres que la sphèie.

13. Remarques générales. — i^cs notions diiilégrale el de valeur moyenne n'avant a priori aucun sens dans l'espace fonctionnel, nous devons, pour leur en attribuer un, appliqtier le procédé du passage du fini à rinfini dont nous avons fait déjà un fréquent usage dans la première partie de notre étude.

Une fonction déterminée x[t)^ définie entre o et i, peut être approchée en moAcnne autant qu'on veut par ce que nous appellerons, avec R. Gâteaux, nne fonction simple cV ordre n. c'est-à-dire une fonction avant une valeur constante dans cliacun des intervalles

pourvu que Ion prenne n assez grand. Nous appellerons x,, j'2. .... Xu les valeurs respectivement prises par une fonction simple d'ordre /i dans CCS n intervalles. Une telle fonction est représentée par le point de coordonnées x,^ Xo. ■ . ., Xn dans l'espace E,j à n dimensions.

Soit maintenant un volume V de l'espace fonctionnel; pour fixer les idées, nous prendrons le volume intérieur à la sphère

(i) / x^()cll-^lV-.

CHAI'. II. — VAI.KIIR MOYENNE DANS l'ESPACE FONCTIONNEL. >7J

Les foiiclions simples d'oidre n appartenant à ce domaine consli- Inenl dans l'espace E„ un xolnmc; \„ (pie nous appellerons la II"""' section lin Noliiiiic \. Diins rcxcinple clioi-i. \„ c^L le vuliinn- <lc la s|)lirn'

(?) .r\-\- xl-\- .. .-^ xl = nW.

Si Ton veut, mesurer le volume V, sa mesure doil èlie dcliui.' comme la limite de celle de \ „ pour n infini. Dans l'exemple clioisi, en vertu des résultais du n" 4, celte limite esl nulle ou infinie suivant la valeur de 11.

Celte eireonslanee esl très j;énérale. La mesure cVun i^olunie de respace fonctionnel sera presque toujours nulle ou infinie.

ConsidtTons, pour préciser cel énoncé, deux volumes homolintiques par rapport à l'oriyine dans le rapport /. >■ i , c'est-à-dire tels qu'on passe d'une fonction quelconque x{t) du premier volume à une fonction quelconque \.{t) du second par la transformation

X(0 = kxit).

Leurs /i"''"*^' sections sont des volumes homotliéiifpies dans l'espace E„ ; le rapport (lIiomoLliétie élanl k. le rapj)orl des volumes est A" et devient infini avec n. Il en résulte que, parmi tous les volumes de l'espace fonctionnel homolhétiques d'un volume donncj par rapport à rori«;ine, il en existe au plus un dont lu mesure ne soit ni nulle, ni infinie. Encore ce volume peut-il ne [)as exister, comme nous 1 avons vu j>ar l'exemple de la sphère.

1 i. La notion de valeur moyenne. — D'après ce (pii précède, l'extension des notions de volume ou d'intégrale de volume dans l'espace fonctionnel présente une difficulté fondamentale. JNons reviendrons plus loin sur ces notions. Il est souvent avantageux de leur substituer la notion de valeur moyenne, qui conserve un sens bien défini .

Considérons une fonctionnelle définie et continue dans le volume \ . Elle sera évidemment définie et continue dans \ „ et v admettra un«' valeur moyenne -jl,,. Pour /i infini, cette valeur peut tendre vers une limite, qui sera alors par définition la valeur moyenne de la fonctionnelle considérée dans V.

Considérons, par exemple, une fonctionnelle de la forme '^(/N

r désignant la distance à l'origine définie par la formule

et 'J( /•) une fonction continue, et clierchons sa valeur moyenne à l'intérieur de la sphère (i).

Dans \„, on a évidemment

/ <f{r)t"^-^ dr

if/'

la couronne sphérique dans laquelle la distance au centre varie de /• à /• + cl/' ayant un volume proportionnel à ;"~' dr. Pour n infini, la couronne extérieure l'emporte sur les autres, qui deviennent négligeables vis-à-vis d'elle, et l'on a comme limite de ;x« la valeur '-p(R). Ainsi la moyenne de la fonclioiinelle cp(/) n'apparaît pas comme une véritable moyenne entre difiV-renles valeurs avant chacune un poids appréciable. Une seule valeur l'emporte sur toutes les autres, et, quelque petit que soit s, le volume dans lequel 'f (/') diffère de cette valeur de plus de t a une mesure nulle par rapport à celle du reste du volume ^ . 11 n'y a pas lieu, dans le calcul de la moyenne, de tenir compte des valeurs de 'f (/) dans ce volume, de même que dans le calcul d'une intégrale (simple ou double), au sens de M. Lebesgue, il n'y a pas lieu de tenir compte des valeurs de la fonction intégrée pour les points d'un ensemljle de mesure (linéaire ou superficielle) nulle.

15. Énoncé d'un théorème général. — Lne généralisation évidente de ce qui précède nous montre que, ])our calculer la valeur moyenne d'une fonctionnelle continue à l'intérieur de la sphère (i), il suffit de connaître sa valeur à la surface de cette sphère. Mais on peut obtenir un résultat bien plus général.

Soit à chercher la moyenne d'une fonctionnelle continue L dans un volume \ . Dans la n'™^ section de ce volume, U est continue ; les points de ce volume Y^ pour lesquels V est compris entre a et a + da forment un volume dont une seule dimension est infiniment petite, de sorte qu'il est naturel de désigner sa mesure

CHAP. M. — VAI.KUn MOYENNE DANS I, ESPACE FONCTIONM:!.. >--

P'^y Jî'i \a)da. Il airl\era, en };(''ii(''riil, (|ue, })<)iir /t iiiliiii,!*' rapport /,"{ ( rtn •'■tanl une valeur nailirtilir-re de a) lende vers uw

lonclion drlenniiiée s^'{if)- Si celle l'oiiclit)!! adiiicl un maMmnni alleinl pniir une seule valeur ù de «, le volume dans lequel l est <()ni])ris entre b — s ct6-|-£ l'emporte infiniment sur le reste du volume ^ , quelque petit que soit t. La fonctionnelle L est donc presque égale à 6, sauf dans une fraction négligeable du volume, dont il n'y a pas lieu de tenir compte pour le calcul de la moyenne.

On voit donc que, moyennant certaines conditions sans doute très peu restrictives, une fonctionnelle continue dans un volume ^ya presque partout presque la même râleur^ les raleuis clifférenlcs de celle ainsi considérée pouvant cire n<''^ligées pour le calcul de la moyenne.

Nous démontrerons ce théorème d'une manière précise dans des cas étendus. Il nous arrivera, au lieu de « presque partout presque la même valeur », de dire « presque partout la même valeur ». 11 est l>ien entendu que l'égalité rigoureuse n'est réalisée que sur une surface qu'on ne peut considérer comme constituant presque tout le volume; c'est le voisinage immédiat de cette surface (jui constitue j)resque tout le volume.

10. Exemples de valeurs moyennes à l'intérieur d'une sphère. — Soit à chercher la moyenne, à l'intérieur de la sphère (i), d'une fonctionnelle de la forme C3(L'), U désignant une fonctionnelle linéaire.

Supposons d'abord cette fonctionnelle continue. Elle sera, d'après la formule de M. Fréchet (première Partie, n" 13 ). de la forme

1= f fit)x(t)

dt.

Si xit') est une fonction simple d'ordre /i, U se réduit à la forme

avec

[ At)dt (i = i, 2, ..., «):

L csl donc la distance p à un plan passant par rorlgine du point représentatif de x{t) dans lespace E„, multipliée par le facteur

y/af -+- ctô -4-. . .-H a2 = — =, /.„ tendiinl vers li' nombre /.' défini par

/-= f r-yt)>it.

La moyenne 'j.„ est donc la moyenne de 'j { -^ ) à l'intérieur de la

sphère (2) de rayon Pi \/«, ou, ce qui revient au même, l.a moyenne de '^(pkn) à l'intérieur de la sphère de rayon R. Le facteur /,,j étant (ini. eA p étant inférieur en Aaleur absolue à n'importe quel nombre donné î, sauf dans une fraction de cette sphère négligeable si n est assez grand, on peut dire que L = p/i„ est nul presque partout, et la valeur moyenne de 'f(L) est «(o). Le théorème du numéro précédent s'applique.

Supposons, au contraire, que U ne soit pas une fonctionnelle continue. Prenons, par exemple, une fonctionnelle de la forme ^7(7), tétant une valeur particulière de t entre o et i . Si û!(t) est une fonction simple d'ordre n, U est alors la dislance à un plan de l'espace JL„, de sorte que le facteur infiniment petit -^ qui mlerye-

nait précédemment est remplacé par i . D'après le n'* 6, la probabilité pour que L soit compris entre Rç( et R^o? le point représentatif de x[t) étant intérieur à la sphère de rayon Pi\//i, tend pour /? infini vers

de sorte que la valeur moyenne u.,; de 'o(L ) dans celte sphère tend, pour n infini, vers

La moyenne de c2( L ) est ici une véritable moyenne, dans le calcul de laquelle il y a lieu de tenir compte de toutes les valeurs de la fonction ci, affectées chacune d'un poids convenable. Le théorème du n" lo ne s'applique plus. On peut dès lors prévoir que, pour la

CHAI'. II. — VALbCU .MOVENNR DANS l'eSPACE FONCTIONNEl.. 279

<l(''inni)sLi;iliim (!(,' ce I li(''(H('"nit'. I li \ pol lioc r[iic la Iimk iiomicllc coiisidcrée .soÏL coiilinuc doit idiicr un iùl<; csscnlicl.

17. Démonstration du théorème général dans le cas d'une fonctionnelle uniformément continue à l'intérieur d'une sphère. — Soit L une foiKiioiiiiclle uairorniéiiunil coullniie à l'inU-rieur ilc la spiiùic (i ). (^)ii('l(ju(' |)L'lil que soit e positif, on peut alors trouver un iioiuhre y, Ici que, deux points de Tespace ("oMetioiuKl intérieurs à cetle ,sj)lièrc a\anl une distance inléricure à y,, les valeur» eorrespcuidanles de l dillèrent certainement de moins de r.

Dans l'espace E,,, U se réduit à une (onclion ii„ c(iulinue sur la sphère (2). Considérons les poiiit> de la surface de cette s[)hère vérifiant rincgallté

Ils conslilucnt une [>orlion de la surface dont la mesure, nulli- ()our a suffisamment petit, croît et atteint ou dépasse la moitié de la surface totale quand a atteint ou dépasse une valeur bien déterminée a„. La variété l = a„ (ou si U=a„ sur une fiaction finie de la surface totale, une variété convenable formée de j)oints pour les- ([uels L = a„) divise la surface de la sphère en dcu\ parties égales.

Considérons les points de la surface de la sphère [^2.) distants de

moins de y, i/— des points de cette variété. Ils forment une région S„ ([ui, d'après le n" 112, représente une fraction de la surface totale qui Icnd vers l'unité pour n infini. Considérons ensuite les points intérieurs à la sphère, situés sur des rayons aboutissant sur S„, et à une

distance de la surface inférieure à '''il/ — • Us forment un volume \„ (pii représente une fraction du volume total de la sphère qui tend \ ers l'unité pour n infini.

Or un point M de ce volume est évidemment distant de moins de r^yn d'un point A de la variété U = a„. Les points correspondants de l'espace fonctionnel sont alors distants de moins de y,, et les valeurs correspondantes de L diffèrent de moins de î. U est donc compris entre y.„ — t et a«-f- ;, sauf dans un \olume qui, pour// .suffisamment grand, ne représente qu'une fraction infiniment petite du \olume de la sphère. Comme d'ailleurs L est fini dans ce volume, la moyenne >^a de U dans la sphère (2) diffère de a„ dune quantitc <jui tend vers zéro pour n infini.

aSo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

Admettant que[JL„ tende \ers une limite pi, cest-à-dire que la valeur moyenne de U dans la sphère (i) existe, a,j tend nécessairement vers la même limite, et nous voyons que a doit être considéré comme la moyenne de L parce que U diffère très peu de u., sauf dans une région dont le volume est négligeable à la limite. Nous sommes dans un cas d'application du théorème général du n"* lo.

Donc, dans le cas d'une fonctionnelle uniformément continue à l'intérieur d^ une sphère de V espace fonctionnel, ou bien la valeur moyenne n'existe pas (circonstance dont le raisonnement très simple qui précède ne suffit pas à exclure la possibilité), ou bien la fonctionnelle est presque partout égale à sa valeur moyenne.

L'énoncé reste évidemment \rai, et même la démonstration se simplifie un peu si, au lieu du volume d'une sphère, on considère sa surface. Cela revient d'ailleurs au même, puisque tout le volume est concentré sur sa surface.

18. Les formules de Gâteaux pour la sphère. — Il reste, pour compléter le résultat précédent, à démontrer l'existence de la valeur moyenne, à l'intérieur de la sphère (i), d'une fonctionnelle continue, et à en former l'expression. Nous allons, avec R. Gâteaux (' ), former cette expression dans le cas d'une fonctionnelle de la forme

(4) U=/ dti I c/t2... I dt,,'^[cr(ti),x{t2),...,x(tp),fi,t.2,..:,t,,].

Cherchons d'abord la moyenne de la fonctionnelle

<5) o[xi ti), x( tôt, . . ., x{tj,)],

f I , fo, . . ., tp étant des valeui-s particulières de t entre o et i . Sip = i , cette valeur moyenne sera, d'après la formule (3),

= / c( Rï)e "^ d?.

Si /> > I , le raisonnement qui nous a conduit à cette formule s'applique sans difficulté, si ;,, f^, ..., tp sont distincts. Les quantités x(ti). x( 12), ..., ^(jp) ayant dans ce cas des lois de probabi-

(') Bulletin de la Société niatliëinatique de France, 1919.

ciup. II. — VAi.i^rii moyknm: dans i, esi'aci; fonctionni-l. v.Si

lil<''.s In<,l(''j)cn(lanlc>, mi IniiiNc pour iiiovciuic ilc \.\ loïKiioiiiicllc (5)

tr — » *- — «

X / ç(K;„ lU,, ■■■■ R^/,ie-^' ";" ''' d\,dU...d\,,.

Supposons maintenant cpie f,, fo? •••• '/» varient. En intégrant l'expression (5), et supposant que la forme de la fonction o varie avec f,, ^25 •••) t^p-i on obtient la fonctionnelle (O- Dans le champ d'intégration, les points pour lesquels deux au moins des l sont égaux peuvent être négligés. Pour les autres, la fonction '^ avant pour moyenne la valeur ( ()), on en déduit sans difficulté la moyenne de l'expression (4), qui est

(7) —4: Ç 'f'^-- f di„ f" dU

Telles sont les formules de Gâteaux.

Une formule analogue à la précédente s'applique évidemment si, au lieu d'intégrer la fonction o dans toute la région de l'espace E^ décrite par le point /,, /o, ..., /y,, ce qui donne la fonctionnelle (4), on intégre sur certaines variétés de ce volume. Si aucune portion finie de ces variétés n'est constituée de points pour lesquels deux au moins des t sont égaux, une formule analogue à la formule (^) s'écrit san^ difficulté. Si au contraire on a par exemple dans le champ d'intégration tp-= tp^i^ les autres t étant distincts entre eux et distincts de tp^ on posera

cp[.rùi ), ^<^2), ■ • • ■'r* (,,-! I. ^(f/))] = -llxiti), x{t.i\, .... x{tp-i)],

et la formule (71 s'applicpn" sans difficulté à la fonction -J;.

On passe de là sans difficulté aux fonctionnelles représentables par des séries uniformément convergentes de fonctionnelles des types considérés, et l'on obtient ainsi la moyenne, sinon de toutes les fonctionnelles continues à l'intérieur de la sphère (i), du moins d'une catégorie très générale et com|>rcnant sans doute toutes les fonctionnelles intéressantes au point de \\\e pratique.

252 TROISIKME PARTIE. — MOiENNE DANS LE LO.M Vl.NE FONCTIONNEL.

19. Existence de la moyenne. — Si la propriété de la moyenne établie n" 17 est relativement aisée à démontrer, si cette moyenne existe, l'existence même de cette moyenne soulève des difficultés plus sérieuses. Il n'est pas évident, si une fonctionnelle est continue dan> un volume, que sa moyenne dans la /i'*""*" section de ce volume ait une limite pour n infini. On peut donc se proposer d'établir une justification de la notion de moyenne, en faisant simplement des hypothèses relatives à la continuité de la fonctionnelle étudiée.

Deux voies sont possibles. D' une part on peut établir une justification directe, basée sur des raisonnements analogues à ceux par lesquels on démontre l'existence des intégrales définies. D'autre part on })eut, en partant des mêmes hypothèses, obtenir une représentation de la fonctionnelle étudiée par des séries uniformément convergentes de termes dont les movennes se calculent par les formule^ du numéro précédent.

Nous reviendrons sur ces questions dans le dernier Cha|>itre. Pour le moment, contentons-nous d'admettre les propositions suivantes, dans le cas de la sp Itère :

1° Convergence de m«, movenne d'une fonctionnelle U dans la ^jième section dc la sphère, vers une limite wi, moyennant une condition de continuité convenable imposée à U ;

2" Lniformité de la convergence de nin ver-» /??, pour une famille d^ fonctionnelles vérifiant également celte condition de continuité.

Les mêmes que^^tions se posent évidemment pour une surface quelconque. Mais, pour la principale application que nous avons en vue (problème de Dirlchlet relatif à une surface quelconque ), il suffit d'admettre les propositions précédentes dans le cas de la sphère.

20. Remarques. — Les formules du n° 18 nous monti'ent que la valeur moyenne des fonctionnelles considérées est la même que si. dans l'espace E,j, au lieu de prendre la valeur moyenne dans la sphère (2), nous avions pris la valeur movenne dans tout l'esj)ace, en affectant chaque élément de volume infiniment jietit d\ du poids

iCi = R;,, .... j^,j=R;,^ étant les coordonnées d un point intérieur