CHAI'. II. — VALEUR MOYENNE DANS L ESPACE FONCTIONNEL

à cet élémcnl, aulicnicnl dil on admeltant que la {)robabllit('' pour que X, soii coin pris cuire ./• cl x -\- dx est

(8 lus » — =e -" — -,

les lois de |)i()lial)iiiié de .r,, .2%, . . ., Xa étant indépendantes.

Il est facile, en partant de cette dclinition. de retrouver le rôle joué |>ar la s|)lière (2) et, à la limite, par la sphère (i). En effet, d'après cette loi de probabilité, chacune des quantités X\^ x^. . . .. Xp a pour valeur cpiadialique ino\cune Pi; il en est donc (h? même de

T'r. -\- . . .-{- xr,

et de plus, d'après la loi des grands nombres, la probabilité pour que cette quantité ne soit pas com[)rise entre R — î et R -{- s, t étant un nombre [)Ositit' quelconque, tend vers zéro loisque /^ devienl infini. En dautres termes, les portions de l'espace dont il y a lieu de tenir compte pour le calcul de la moyenne se concentrent prè> de la surface d'une sphère de rayon Ry//?. fpii devient à la limite la sphère (1) de l'espace fonctionnel. La moyenne, au sens que nous yenons d'indiquer, d'une fonctionnelle uniformément continue dans le voisinage de cette sphère et finie dans tout l'espace, ne dépend donc que de ses valeurs sur la surface de la sphère.

D'autre jiart, le poids à attribuer à chaque élément de volume pour le calcul de la moyenne étant, d'après la formule (8), fonction de sa distance au centre, les poids attribués aux régions de l'espace intérieures à deux cônes ayant le centre pour sommet sont dans le même rapport que les surfaces des régions de la sphère ( i) comprises dans ces deux cônes.

La moyenne, calculée en tenant compte des poids définis par la formule (8), n'est donc autre pour n infini que la moyenne dé la fonctionnelle sur la surface de la sphère (i), ce qui donne une nouvelle démonstration des formules de Gâteaux (pour la surface de la s[)hère, et par suite aussi pour le volume ).

■21. Le raisonnement précédent met en évidence un phénomène de concentration sur la surface de la sphère (2) analogue à celui que nous avons déjà observé en étudiant le volume de la sphère. Il n'est

pas sans intérêt de comparer les lois qui régissent ces deux pliénomènes.

D'après la formule (8), la probabilité pour que la distance au centre d'un point de l'espace £„ soit comprise entre Rp et R( p + c/c ) est

nYs.,1 étant la surface de la sphère de rayon i . Si nous posons

et jirenons 0 comme variable au lieu de p, la probabilité précédente

devient

nK„ ^^ / a \«-> -5(v« + a)'- , n ( I H ~ I e - aa.

En tenant compte de la valeur asjmptotique de K„ (n° -4). on trouve que cette probabilité est équivalente, pour n infini, à

-— e-*' dy..

La probabilité, avec la loi de probabilité considérée, pour que la distance Rp à l'origine d'un point de l'espace E„ soit comprise

entre R y/zj ( i H ^ ) et Vw^ n l i -j — -~\ > tend donc vers

quantité aussi voisine de i qu'on le veut si a, est assez grand négativement et cL-2 assez grand positivement.

Si nous considérions toutes les parties de l'espace E„ comme ayant des poids proportionnels à leur volume, mais ne considérions que les points intérieurs à la sphère de rayon T^\/n^ il faudrait, pour avoir une probabilité finie, chercher la probabilité pour que la distance au

centre soit comprise entre R y//i ( i ~)^^ R \ /? ( i ^ ) ? a, et y.-.

riIAI». M. - VAI.ia'H MOYENNE DANS I> ESI'ACE KONCTIONNEL.

cLaul |)osilils, et celle |)in|jiiljililé serait (ii^o)

g-* (Jy — g -a, r-^u

!2^. Application aux fonctionnelles entières du second degré. — l.a Miovenue dans iin<' ^[)lièrc d'une rouelionnellc lini^'aire éLanL évidemnienl, par raison de svniélrie, éj^ale à sa n aleur an renlrc, nous n'avons qu'à nt)us occuper des ron(;tionnelles homo<^ènes.

Considérons d'abord la fonctionnelle n<irniale

= / f{t)x-^(t)dt-^ f f 'f((, li).r(()x(ti)dt(/(i

Les formules de (lateaux nous donnent, comme valeur moyenne de l'intégrale double dans la S[)hère (i) '.

- I f f{L (i)d( dti

l*oiir l'intégrale siuiple, on a de mèuie

{t)dt.

On trouve Monc. comme moyenne de la toncliounelle ([))■, la valeur

t)dt= —AU.

Plaçons-nous maintenant dans le cas d'une fonctionnelle générale [voir n" 66) de la première Partie) contenant des termes de la foruie

/ ff(cL)x[ti{y.)]x[h{^)]dy.,

t, et /o étant différents, sauf peut-être pour des valeurs particulière; de a. Pour un tel terme, on trouve comme valeur moyenne

de sorte que la formule (10) est générale pour les fonctionnelle; entières du second degré, continues dans la sphère (i).

Onendéduitimmédialement que. pour toute fonclioiinelle admettant en un point O des variations première et seconde au sens de M. Frécliel^ la valeur moyenne de U — Uq dans une splirre de

centre O et de rayon infiniment petit /•, est équivalente à— AUo.

Uo et AUq désignant les valeurs de U et AU en O. Cette propriété peut servir de nouvelle définition au symbole AL (').

Ces résultats seront généralisés plus loin, lorsque nous exposerons la théorie des fonctionnelles harmoniques. Remarquons que la métliode du passage du fini à l'infini les rend intuitifs. Nous savons en effet qu'une fonctionnelle continue du second degré est la limite d'une fonction

«(^l, .i'2, . . .; X,i) — y ^ Xi ^'J^i^Ji

dont la valeur moyenne à l'intérieur de la sphère

est

!23. Considérons le cas où la foncliouuelle U est de la forme

t)x''-{t)dt.

Nous savons que la valeur moyenne de k", ^ur la sphère /" ^ R est

f fin de,

et qu'elle est presque partout égale à cette valeur moyenne.

Inversement, /{t) étant supposé positif, cherchons la valeur m o venue de

«- et- .L

di

(') Ainsi AU peut avoir un sens sans que l'on soil assuré ))Our cela de l'existence de la dérivée L".,.

CIIAP. II. — VALEUR MOYENNR DANS l'ksI'ACF, FONCTIONNEF,. 9.Sy

sur Yellipsoïdc l' ^^ d^ . En jMisiml

on est ramciK" à l;i moyenne iriiiic lonetiouiielh; du second dej;ré sur une sphère. JI csl naturel de penser cpie ce changemenl linéaire ne change pas hi valeur moyenne (cela n'est pas d'ailleurs évident, car x{t) et y"{t) ne soni pas en même temps des fonctions simples d'ordre ti |. On trouve alors comme valeur moyenne

cpii n'est pas inverse de la précédente.

Cela peut paraître surprenant si l'on énonce les résultats obtenus en

disant que la fonctionnelle — sur la sphère ;' = R et par suite dans

tout l'espace est presque partout égale à sa valeur moyenne (12), et

que la quantité inverse T-r> sur l'ellipsoïde L = «- et par suite dans

lout l'espace, est presque partout égale à sa valeur moyenne (i3).

La contradiction apparente disparaît si l'on observe que « presque partout » n'a pas le même sens dans les deux cas. Dans l'ellipsoïde, ileux portions de surface vues du centre sous un même angle solide ne sont pas égales, mais la plus rapprochée du centre est négligeable vis-à-vis de l'autre. Il peut ainsi arriver que, pour une fonctionnelle

telle que— ayant une valeur constante sur toute droite passant par

l'origine, la valeur movenne ne soit pas la même aux deux points de vue, puisque les angles solides n'ont pas le même poids dans les deux cas ; les poids étant même infiniment différents, on s'explique qu'au

premier point de vue — ait presque partout la valeur (11), et qu'au

second ce rapport ait presque partout une valeur différente.

Un exemple plus simple d'une circonstance analogue est le suivant : On sait que presque toute la surface d'une sphère est concentrée sur son équateur. Par suite, vue d\iii point A, une surface quelconque paraîtra presque tout entière concentrée à son intersection avec un plan passant par A; le reste de la surface sera vu sous un angle solide nul. Vue d'un autre point A' situé à une distance d du plan P, la même surface paraîtra de même concentrée à son intersection avec

a88 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

n'importe quel plan P' passant par A'. En prenant le plan 1*' parallèle à P, on voil que deux régions de la surface n'ayant aucun point commun peuvent, selon le point de vue où l'on se place, paraître constituer toute la surface. La distance d'un point de la surface au plan P aura poLir valeur moyenne zéro si l'on donne pour poids aux différents éléments de surface l'angle solide sous lequel on les voit du point A, et d si l'on remplace A par A'.

23. La notion de courbure moyenne. — Soit une surface S, délinie par l'équatit)!! U = o, L étant une fonctionnelle continue et admettant une variation

oU = / U'c ox di,

définie dans le champ des fonctions ox de carrés sommables. En un point A de la surface, le plan tangent P est bien défini par l'équation SL =: o. l^our définir. la courbure d'une section normale, considérons la section de S par le plan (à deux dimensions ) défini par la normale AIN à la surface et une tangente AT; sur cette section prenons un point M infiniment voisin de A et abaissons la perpendiculaire MH sur le plan P; elle sera parallèle à AN, par suite dans le plan sécant, et H sera sur AT. Désignons par o la distance HM et par /■ la distance AM. La courbure de la section considérée sera la

limite de —

La courbure moyenne dune surface en P sera la laoyenne de cette courbure dans les diflérentes directions du plan tangent.

La définition de la moyenne ne soulève ici aucune difficulté, car il s'agit de moyenne sur une sphère.

Soient en effet - une sphère de centre A et ^' sa section par P. La quantité dont nous devons prendre la moyenne est définie sur ï'; nous pouvons compléter arbitrairement sa définition sur S, en nous imposant seulement de respecter la continuité. La moyenne sur II est bien définie, et comme presque toute la sphère ]S est concentrée sur la section 1", elle ne dépend que des valeurs sur IS'. D'autre part, en représentant chaque circonférence section de S par un plan normal ATN par le point où elle coupe AT, à deux régions de ^ décrites par cette circonférence que l'on considère comme égales pour le calcul de la moyenne correspondront deux régions de S'

CHAI'. II. — VALEUR MOYENNE DANS l'eSI'ACE FONCTIONNEL. '289

(Ic'crilcs par ce point qu'il est naturel de considérer comme égales. La moyenne sur ï, (pii ne dépend (pie des valeurs sur i', [)eul donc être consid(''r6e comme étant la moyenne sur 2:'. C'est dans ce sens (pie nous entendons le mot moyenne dans la définition de la courhure moyenne.

Dans ces (conditions, le résultai du n" 17 est ap|)lical)le, (;t nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Si la courbure en X de la section normale langenle à AT est une fonction uniformément continue du point oii AT coupe la sp/ière S, e/le a la même râleur ilans presque toutes les directions; cette valeur est la courbure nwyenne.

2i. Il est facile d'exprimer analytiquement la courhure moyenne. La fonctionnelle L qui définit la surface peut, dans le voisinage du point A, être représentée par une série de Tavlor

U = U,-^i LU -^... -4- -i.U„ -)-..., 2 " n ! ,

et il est essentiel d'en supposer les deux premiers termes bien définis, pour que le plan tangent et la courbure de chaque section normale

soient bien définis. La distance au plan tancent est ' ; or U, est

. . , , Uo ■ ■ . ^ c - • •

équivalent a : , pour un point situe sur la surtace et très voisin

de A. Par suite, la quantité — ;^> dont nous devons prendre la valeur

moyenne, est écruivalente dans les mêmes conditions à , -v

La valeur movenne de — est égale à la valeur de AU au point A.

Par suite, avec une convention convenable pour le signe, la C(uirbure moyenne s'écrit

(i3) Iv =

V/A,U, v^AiU

les valeurs des paramètres différentiels AL et A, L étant relatives au point A.

En un point quelconque de l'espace fonctionnel, la même expression représente la courbure moyenne de la surface de niveau LT=const. qui passe par ce point.

i.iivY. 19

25. Surface minima. — Nous appellerons surface minima une surface dont la courbure moyenne esl nulle en chaque poinl.

En chaque point A, la courbure normale est donc nulle dans presque toutes les directions. On peut dire en termes moins précis que, datis le voisinage dan points la surface est presque un plan. Cela signifie que, si l'on considère la section de la surface par une petite sphère II de centre A, la distance des points de cette section au plan tangent est presque partout inférieure à C/-, C étant une constante positive quelconque.

Ce résultat n'est naturellement pas exact pour une surface qui ne serait pas minima. Mais il est curieux de remarquer que, pour une surface minima, il reste exact si l'on remplace le plan tangent P par n'importe quel autre plan P' passant par A. De même que la sphère ï est presque tout entière concentrée sur n'importe lequel de ses plans diamétraux, on peut dire que sa section par P qui, d'après ce que nous venons de voir, est presque confondue avec sa section par la surface minima, est d'autre part située presque tout entière dans le voisinage immédiat du plan P'.

D'après la formule (i3), cela revient au même de dire que la fonctionnelle U est harmonique (c'est-à-dire que AU = o) ou que les surfaces U = const. sont minima. Ce résultat est d'une grande importance pour la théorie des fonctionnelles harmoniques que nous exposerons plus loin.

26. Exemples de valeurs moyennes dans des volumes autres que la sphère. — Nous verrons au Chapitre IV des extensions, à des volumes autres que la sphère, du théorème général du n" lo. Nous allons au contraire indiquer ici des cas dans lesquels la notion de moyenne se présente avec son aspect habituel, des valeurs différentes intervenant effectivement dans le calcul de la moyenne.

Considérons un cylindre., défini par une équation de la forme

\ étant défini par la formule

X r f^{t)dt= f f{t)x{t)dt=V\[x(t)]\.

La fonction x{l) — "^-f^t) représentant la projection de x{L) sur le

CHAP. II. — VALKUR MOYENNE DANS U ESPACE FONCTIONNEL. Agi

plan I* = consL, réquiilion (i4) représente bien un cylindre. Supposons-le tel que le volume délini par les inégalités

F < o, fl] ' V < a-i

soit lini. (le volume est évidemment divisé en volumes égaux par des plans parallèles aux bases et équidislants. Par suite, la moyenne dans ee volume d'une fonetionnidle de la forme o(P) n'est autre que la moyenne de la l'onction 'f{(i) dans Tinlervalle (r/,, a^)- C'est bien une véritable moyenne, tenant compte des valeurs dilïérentes de cette fonction.

27. Considérons maintenant le cas du volume de réioUition^ défini jKir l'équation

(1.5) F(P, /-Xo

avec

= / .€"-{/) dt, I f-(t)dt — \,

et supposons-le fini. Soit à y chercher la moyenne d'une fonctionnelle de la forme cp(P)-

Si on le divise en tranches infiniment minces par les plans P=const., la tranche du plus grand /r/j'o/i l'emportera infiniment sur les autres. Si donc le rayon

p = //-î — pî

atteint son maximum pour une seule valeur a de «, la moyenne cherchée sera 'f (a).

Supposons maintenant le maximum c' de p atteint pour les valeurs a, et a^ de a. La moyenne cherchée ne dépendra évidemment que de '-^(ai) et cpla^V Quels poids devons-nous donner respectivement à ces deux valeurs?

Appelons-/], et tjo les épaisseurs des tranches voisines respectivement des plans P =: a) et 1^ = a-i et pour lesquelles

Les points pour lesquels cette inégalité est vérifiée comptant seuls

dans le calcul de la moyenne, il est bien évident que si le rapport de T^^ à r,.2 a une limite quand z tend vers zéro, il faut donner à es (a, ) et «(«o) des poids dont le rapport soit cette limite. Ainsi, si la méridienne de la surface de révolution, définie par l'équation (i5), a aux points considérés des rayons de courbure égaux respectivement à R,

et Ro, r, I et Tjo sont à la limite dans le même rapport que y/Rj et \/R2, et la moyenne cherchée est

cp(a, ) v/Ri -h cj>(a,) y/R,

Si Ro est nul et Rj fini, ou bien si R, est infini et Ro fini, il n'y a pas à tenir compte de la valeur de œ(ao) et la moyenne est C2(a, ).

Considérons encore le cas où le maximum p' est atteint pour une infinité dénombrable de valeurs a,, ao, . . ., a/, . . ., de a, tendant en croissant vers une limite a', et le volume de révolution étant limité par le plan P = a'. Supposons que les rayons de courbure R,, Ro, . . ., R/, . . ., correspondant aux valeurs considérées de a, soient tous finis. Les différentes valeurs de o(a/) ont des poids proportionnels à y/Rj. Le poids total est fini ou infini suivant que la série

v/rT+ v/hT + ...+ v/h^+...

est convergente ou non. Dans le premier cas, la moyenne cherchée est évidemment

cp(ai) v^Ri-^- çC^a) V/R2-H. . .-t- o(ctf) \/H,--i-. . .

Dans le second cas, elle est égale à o(a').

On voit que, suivant les cas, la moyenne cherchée dépend d'une seule des valeurs de la fonction ce, d'un nombre fini de ces valeurs, ou d'une infinité dénombrable, ou de toutes les valeurs de cette fonction. Mais dans auéun cas il n'y a ambiguïté sur le sens à donner à la moyenne.

CllAl'ITUK III.

DE L'EMPT.OI DUNK INKINITÉ DENOMBRABLK DE COOHDOXNÉES DANS L'ESPACE FONCTIONNEL.

Sommaire : Notions généialcs. — La iidlion de suite également dense. — Le cas do3 séries trigonomélriqnes. — Exemple de cas dû l'ordre des termes inllu(> sur la densité. — Exemple de suite non également dense. — Remarques sur l'ordre des termes dans les suites de fonctions orthogonales. — La notion de suite normalement dense. — Le paramétre diderenliel du second ordre. — La notion de moyenne dans l'espace^ il. — Le cas de la sphère.

28. Notions générales. — L'espace Q, d'après une notation répandue, est le lieu des points, représentant une suite de nombres «,, «2.. . ., «„,. . ., telle que i] a^ converge; de plus, [a) désignont le point corres|)ondant à cette suite, la distance r entre deux points [a) et (6) est définie par la fornmie

(I) 7-^=Zibn-any.

D'après cela, et d'après les résultats du Chapitre VII de la première Partie, l'espace Q n'est autre chose que l'espace fonctionnel rapporté à ce que nous avons appelé un système de coordonnées ortJwgonales, défini par la donnée d'une suite complète de fonctions orthogonales

et normales /, (^), fi {t), . . . , /„ (t) Une fonction u définie et

continue dans l'espace il est alors la même chose qu'une fonctionnelle U|[:r]| continue dans le champ des fonctions de carrés sommables. Mais les deux points de vue peuvent conduire à des définitions différentes de la moyenne ou du paramètre différentiel A m ou AU. L'objet de ce Chapitre est de définir ces notions dans l'espace 0, et de rechercher à quelles conditions ces définitions reviennent au même que celles du Chapitre précédent relatives à l'espace fonctionnel.

Nous avons déjà vu au Chapitre A II de la première Partie les relations entre les dérivées premières - — et la dérivée fonctionnelle U' ; ^ da„ -^ '

les dérivées -t — sont les coefficients du développement de L ' en série

de fonctions/; les deux notations correspondent au tnème vecteur de l'espace. Nous en avons déduit l'égalité des deux expressions du paramètre différentiel du premier ordre A,U, qui représentent, dans l'un ou l'autre système de notations, le carré de la longueur de ce vecteur.

29. La notion de suite également dense. — Nous avons rappelé au Chapitre VII de la première Partie le rôle que joue, dan^ la théorie des changements de coordonnées dans l'espace E,^, l'équivalence des systèmes

(S„) ' <?/,.iC/,.i-f- c/,,2C/,,2-f-. • •+ c/,.„e/;-,„ = o

et

( cf., — c|^,-t-.. .-Hf2 ,. = 1,

( S'„) < ClJ Cij -4- Ci,i C.2,y-f-. . .-f- Cn,i Cnj = O

[ (j, y = i, 2, .... n; tVy),

déduits l'un de l'autre par inter\ ersion des lignes et des colonnes dans le tableau des /i^ coefficients Chj- Nous avons vu aussi que, n devenant infini, les deux systèmes (S) et (S') que l'on obtenait à la limite n'étaient pas nécessairement équivalents; mais le premier entraîne le second si l'on sait que les équations

«/i = c/,,iai -+- c/,.2a2-l-- • • (/i = i-2. ...)

sont résolubles par rapport aux a; et inversement le second entraîne le premier si l'on sait que les équations

sont résolubles par rapport aux a. En d'autres termes, si les c/, / sont les coefficients d'un changement de coordonnées dans l'espacetî, l'un des deux systèmes considérés ne peut pas être vrai sans l'autre.

Rappelons aussi que, si le système (S) est vérifié ainsi que les l'elations delà première ligne du système (S'), celles de la seconde ligne en résultent nécessairement.

Au lieu d'un changement de coordonnées de cette nature, considérons celui qui consiste à passer des coordonnées «« à lafonction x{i).

CIIAP. III. — INKINITK DIONo.MimAlll.K DK COORDONNKES. Hj')

aulrcnicut dit du |)(iiiii de viio de Irspacc ii à celui de l'espace fonctionnel. Ce cliaiii^cment de cixu'domiées est défini par les fonclionsy'„(/) qui remplacent les coeflicienls c/,, /; la variable f joue 1(; rôle du second indice;; c'est un indice (|ui varie d'une manière continue. Le système

f fHndt = \,

qui exprime que les fonctions de la suite (i) sont orthogonales et normales, est analogue à un des systèmes considérés ci-dessus, à cela près qu'il y ligure des moyennes au lieu de sommes. Par interversion des deux indices, c'est-à-dire ici de l'indice et de la variable d'intégration, on est conduit à considérer le système

i liin F„ ( / ) =1,

lim F„(^T) = o (t^z).

Lorsque F„ i^t) convergera en moyenne vers i dans l'intervalle (o, j ) et que F,, (^,-7) convergera en moyenne vers zéro dans le carré o<Ci<C'5 o^T^ijen d'autres ternies, lorsqu'on aura

lim f [Yn{t)-iYdt^\, lim / / ¥l{t,x)dt dz = o,

nous dirons que la suite (1) est également dense dans l intervalle (o, iV S'il en est ainsi, on peut affirmer, g {t) et h^t^i) désignant des fonctions de carrés sommables, que

lim / g{t)¥n^t)dt = f fi(t)dt, lim / I h{t,z)¥n{t,z)dt di^o.

agô TROISIÈJIE PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

Cette condition jouera un grand rôle dans la suite. Avant d'aborder les questions qui forment lobjet principal de ce Chapitre, nous présenterons quelques remarques à son sujet.

30. Remarquons d'aljord que cette notion dépend essentiellement, en général, de l'ordre des fonctions y„ (t). Une suite également dense peut cesser de l'être si l'on change l'ordre des termes. Cette notion se distingue essentiellement par là de celles que nous avons introduites jusqu'ici dans l'étude des suites de fonctions orthogonales. Nous ne devons donc pas nous attendre, même dans le cas des suites complètes, à ce que le système (4) soit une conséquence nécessaire du système (2) qui exprime que les fonctions de la suite sont orthogonales et normales.

Du moins en est-il ainsi delà condition relative à F„ (/). Celle relative à F„ (t. t) est toujours vérifiée pour les suites, complètes ou non, de fonctions orthogonales et normales. Pour le montrer, nous allons montrer que la valeur moyenne de F„ (^, t) dans le rectangle A , défini

par les inégalités

ti<t<t.2, -i<t<-i,

tend vers zéro pour u infini, quels que soient ti. to. "1,^2; on pourrait d'ailleurs remplacer les intervalles (i,,^,) et ('ti'-j) par n'importe quels ensembles de mesures non nulles.

Désignons par x (t) la fonction égale à ~^=^=. dans l'inter-

valle (^(, t->) et nulle dans le reste de l'intervalle (o, i), et par ç (t) la fonction égale à — = dans l'intervalle (ti, To) et nulle dans le reste

v/t2— Tl

de l'intervalle (0,1). Posons

««= / fn{t)X{t)dt= —=. / f„(t}dt,

Les fonctions x (t) et z{f ) étant normales, on a

( «1 a, H- . . . + a„ :<„ 1- îi (' a j — . . . -r- a;-j » 1 a f -i- ...-+- a,-^ ) 1 1 .

(On peut même remarquer que si les intervalles (/,, /o") et (t, , To ) n'ont aucune partie commune et si de plus la suite (1) est complète.

CHAI'. III. — IM'IMTK DÉNOMBRAULF. DE COORI)0NM;h:S. 297

les i'onclions x { /.) cl l ( t) soul orlhogonales, cl la srrio ïr/„a,, a une somme nulle.

La moM'imo de V„( t, i) dans le reclan"le A est alors

n{tj— /| ]{-..■

Son nuinéliilt'ur avant son module au j)Ius égal à i, elle tend bien vers zéro, ee qui établit le résultat énoncé.

11 est curieux de remarquer que si la suite (i) est également dense, de sorle que F„ (/, x) converge en moyenne vers i sur la droite ^ = t, cela ne rempèche pas de converger en moyenne vers zéro dans n'importe quel carré ayant un segment de cette droite pour diagonale, et par suite, si pciit que soit h positif, dans la région | ^ — x | <^ A. La même circonstance peut se produire pour d'autres droites, comme nous le verrons j)ar un exemple ( n" 32).

31. Le cas des séries trigonométriques. - — Prenons pour suite (i) la suite

(6) I, \/-2 Ci^^iT.t, \fl%'\\\ÎT.(, .... \/2C0S2p-t, )/i s\n 7. p TZ t , ....

Si /i = 2p + I , on a

F„(/) = ■ — [i -f- 2 cos^a-/ -t- 2 sin"-2- ^-f- ... -t- 2 cos-2/17t^ 4- 2 sin^amri]

de sorte que la suite considérée est également dense.

Considérons maintenant la suite ne contenant que des sinus

{7) \/'is'in-t, \/'2S\n9.-t, ..., /2sinmi<, ....

On a ]>our cette suite

V,i{i) = — ( i\n- r. t -\- s\n- 2 - ( -h- . . . -^ ^\n- rm t )

i n ( 2 /i -^ I ) - / 1 ■isin-t ]

•ce qui montre que la suite (-) est aussi également dense. La même conclusion s'applique au cas des séries de cosinus.

IqS troisième partie. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

Jl j a toutefois une différence entre le cas des suites (6) et (-). La suite (7) fait apparaître des points exceptionnels. Nous appellerons ainsi les points de l'intervalle (o, 1) tels que F^(/) ne tende pas uniformément vers I dans leur voisinage. Dans le cas de la suite (6), ¥,1 {t ) tend uniformément vers i dans tout rintervalle, et il n'y a pas de points exceptionnels. Dans le cas de la suite (7), au contraire, les extrémités de l'intervalle sont des points exceptionnels.

312. Examinons maintenant ce qui se passe lorsqu'on chauge Tordre des termes de la suite (()). On peut s'arranger pour rendre exceptionnelle n'importe quelle valeur t^ de l'intervalle (o, i). Les fonctions /';) (^( ) sont en effet comprises entre o et 2, variant effectivement une infinité de fois entre ces limites quand n prend toutes les valeurs entières; en changeant l'ordre des termes, on peut donc s'arranger pour (|ue la moyenne F„ (/,) de ces quantités tende vers Jelle limite que l'on veut entre o et 2, ou bien même n'ait pas de limite. On peut donc rendre exceptionnelle la valeur ^i.

On peut de même rendre simultanément exceptionnels un nombre (ini de points donnés de l'intervalle (o, i), et même une infinité dénombrable de points donnés, pouvant constituer un ensemble partout dense. Mais on ne peut pas constituer d'intervalle exceptionnel, en ce sens que la moyenne de Fn{t), dans n'importe quel intervalle fini (^,,^2)5 tend vers i, c'est-à-dire encore que F,i(?) converge en moyenne vers i dans tout l'intervalle (o, i).

Pour le montrer, observons que les fonctions 2 cos- pr.t et 2 sm-p~t ont pour valeur moyenne, dans l'intervalle considéré,

Hp ayant son module inférieur à i. Cette valeur moyenne tend vers i pour yc> infini Par suite, les fonctions y„ (/) étant les fonctions (6), rangées dans un ordre quelconque, la valeur moyenne de/;, (/) dans l'intervalle considéré tend vers 1, et il en est évidemment de même de celle de F,j(/).

La suite (6) jouit donc de cette propriété d'être également dense et de le rester si Ton change l'ordre de ses termes d'une manière quelconque.

En ce qui concerne la condition relative à F„(^, t), on peut de

CHAI», m. — INI'INIÏÉ DliNOMBUABLE Dli COORDO.NNKIÎS. >.g(}

inènic faire a[)|);uaîlr(' des lignes exeepllonnelles autres que la druilc; / = T, sur les([iielles F,;(/, t) tende vers une limite non nulle. Ainsi, |ionr T = 1 — l, <'l pour {"ordre indicjué lormule (() ), on a

I H- 2 cns^ir.t — '2 si n'^ 2- f +...-+- ?. ros->. // -f — 2 sin- v. «-/

expressionqui tend vers zéro, sauf pour f = o, -, ou i. Mais on [)eut changer l'ordre des termes de manière à favoriser soit les termes positifs, soit les termes négatifs, et l'on peut s'arranger pour que V„ {t, i — t) converge en moyenne vers telle valeur que l'on voudra de l'intervalle ( — i , +1), limites comprises. La droite t = i — t sera alors exceptionnelle; mais, d'après le n" 30, il n'y aura pas d'aire exceptionnelle.

33. Exemple de cas où l'ordre des termes influe sur la densité. — Divisons l'intervalle (f), 1) en p intervalles égaux, et désignons par

o-^,, (/) la fonction égale à y//> dans l'interNalle ( ^ ~ ) ' ^^ nulle

dans le reste de l'intervalle (o, 1). Les fonctions

sont orthogonales et normales. Elles définissent dans l'espace fonctionnel une variété linéaire représentant les fonctions simples d'ordre/?, au sens de Gâteaux {voi/n° 13). La fonction la plus approchée d'une fonction de carré sommable x{t), qui est représentée par la projection sur cette variété linéaire du vecteur qui représente x{t), est évidemment la fonction égale, dans chacun des intervalles

( j - ) j à la moyenne de X{f) dans cet intervalle.

\ P pj " ^ ^

Remplaçons /> par 2 p. Nous obtenons une suite analogue

'9) ^2p,l(,^), giP,p{t), ..., gip^ipi t).

En remplaçant ces fonctions par des combinaisons linéaires convenables, on aura un autre ensemble de fonctions dont les combinaisons linéaires représentent toutes les fonctions simples d'ordre 2p. Prenons en particulier les fonctions (8), et les fonctions

égales à -\-\/p et — s/p respectivement dans les deux moitiés de 1 in-

3oo TROISIEME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

tervalle ( ^ > - ) ' et nulles dans le reste de rintervalle (o, i). Elles

sont bien normales et orthogonales deux à deux. On voit donc qu on

peut passer de l'ensemble des fonctions simples d'ordre p à l'ensemble

■des fonctions simples d'ordre 2/? par l'introduction des p fonctions

(10), qui sont normales, orthogonales entre elles et aux précédentes.

Donnons ainsi à /) les valeurs i^, 2^', 4^': • • • ^ 2-^, ... ; nous obtenons une suite illimitée de fonctions orthogonales et normales. Cette suite est, de plus, complète, puisque des combinaisons linéaires des n premières fonctions permettent de représenter n'importe quelle fonction simple d'ordre n = 2^^, et par suite, si h est assez grand, d'approcher autant qu'on veut, en moyenne, de n'importe quelle fonction de carré sommable.

Prenons cette suite pour suite des fn(t)- Nous appellerons fonctions fn{t) relatives à un intervalle celles qui sont partout nulles en dehors de cet intervalle. On peut s'arranger pour ranger ces fonctions dans un ordre qui favorise les fonctions relatives à l'intervalle ( o, -\ 1 par exemple pour que sur les n premières fonctions il y en

ait environ - n relatives à cet intervalle. Comme pour ces fonctions la

moyenne àe fUi) entre o et - est 2, celle de F„(^) est - x 2 =1 -, et ^n{t) ne peut converger en moyenne vers i .

D'une manière générale, on peut s'arranger de manière à obtenir comme densité n'importe quelle fonction \J--{t) positive, sommalile, et de valeur moyenne i dans l'intervalle (o, i). Il suffît que, sur les n premières fonctions, la proportion de celles relatives à l'intervalle (/,, t.,) tende pour n infini vers

f [^-{t)dt,

et cela quels que soient /, et ^o entre o et i . C'est une condition (jue l'on peut évidemment toujours réaliser en rangeant les/,, (f) dans un ordre convenable.

3i Exemple de suite non également dense. — Prenons la suite (6) pour suite des fonctions/,, (/) ; prenons comme nouvelle variable

T = / \yï{t)dt.

t:iiu'. III. — iNFiMTK niiNoMiiuAiii.i; un cookdonnéks. 3oi

'J-it) vcrilianl les iiu-nies (-ondilions qu'au numéro prc-cédeut, cl ajaiiL de plus son module limité supérieurement et inférieurement, et posons

Xi ()= [li t )^{t),

On a évidemment

f on{-.)oui-)d-z= f fu(t)/K(t)dt.

/ ?A(T)^(-)f/- ^ f J',At)X{t)dt.

Il résulte de ees formules rpie les fonctions '■^„{') sont orthogonales el normales dans Tintervalle (o, i), que les coefficients du développement de X {l) en série de fonctions /rt(^) sont aussi ceux du développement de ;(-:) en séries de fonctions 'f /((":), et que ces dernières fonctions forment une suite complète. D'autre part,

l[çI(.,^...-^cp^.)] = L^[/KO^... + /il(0]

converge en moyenne, non vers i, mais vers — — , et cela quel que soit Tordre des termes de la suite.

Les fonctions '-p(':) forment donc une suite qui n'est pas également dense, et qui ne peut le devenir par aucun changement dans l'ordre des termes.

33. Remarques sur l'ordre des termes dans les suites de fonctions orthogonales. — Etant donnée une suite (i), complète et non également dense, la question se pose de reconnaître si elle peut être rendue également dense par un changement convenable de Tordre des termes (' ).

Il semble que Tordre convenable, s'il existe, puisse être défini de la manière suivante : les n — i premières fonctions de la suite étant choisies, on choisira, parmi celles qui restent, celle qui occupera le rang n. par la condition de

(') Il résulte de la suite que le problème analogue relatif à la notion de suite normalement dense (n''40) est plus étroitement lié aux questions de calcul fonclionnel que nous étudions, et a plus tle chance aussi d'avoir une solution unique, si l'on considère c )mme identiques deux ordres qui donnent nécessairement la même valeur

limite à toute expression de la forme — ! — — —^, le? A„ étant finis.

3o2 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

rendre minima rintégrale

(II) f [Fn{t)-,ydt.

Toutefois, cela n"(>t pas évident ; il n'est pas sur en effet. que ce minimum soit le même que Ton obtiendrait en remettant en question à chaque opération les choix antérieurement faits. On est sur que ce dernier minimum tend vers zéro s'il est possible de trouver un ordre tel que l'intégrale (i i) tende vers zéro. Mais on n'en est pas sûr pour le minimum considéré d'abord; la seconde règle au contraire, remettant en question une infinité de fois le choix de la fonction devant occuper un rang déterminé, iisque de ne pas aboutir à une définition précise.

Dailleurs la première règle même peut donner lieu à ambiguïté si plusieurs fonctions conduisent à la même valeur de l'intégrale (ii). Tel est le cas si Ton veut appliquer cette méthode à la suite (6;. La première fonction est nécessairement [, mais pour le second rang on peut hésiter entre toutes les autres.

36. Sans pousser plus loin Tétude de la question posée, remarquons que ce n'est pas aussi simple qi/'on pouriait le pen-ci de trouver une loi bien définie permettant de ranger dans un ordre bien déterminé les termes d'une suite complète de fonctions orthogonales et noiinales, de manière que si deux suites données diffèrent par l'ordre des termes et non par leur nature, on soit sûr de reconnaître leur identité en les rangeant dans l'ordre ainsi défini. Une telle loi doit être telle que :

i" Etant données deux fonctions différentes, on saclie toujours délerminer leur ordre relatif;

T.° Etant donnée une fonction de la suite, celles qui la précèdent dans l'ordre à définir soient en nombre fini.

Ainsi, on peut chercher à ranger les fonctionsy„( / ) dans l'ordre dds | y.„ | décroissants. a„ désignant la projection de /"„(<) sur une direction de l'espace fonctionnel, soit

'•"= f fn(t)o{t)dl.

Plusieurs a,j peuvent être égaux en valeur absolue; dans ce cas, parmi les fonctions correspondantes, on rangera d'abord celles pour lesquelles a„ est positif, et s'il y en a plusieurs on fera intervenir la projection sur une autre direction. On arrivera ainsi toujours à savoir l'ordre relatif de deux fonctions fnit). De plus, £a,^ étant fini, toute fonction pour laquelle a,; ne sera pas nul aura un rang fini. Mais il peut arriver qu'il y ait certains a„ nuls, tandis qu'une infinité d'autres ne seraient pas nuls. Les fonctîonsy„(n correspondant aux a„ nuls devraient être précédées d'une infinité d'autres. Il n'est pas possible aloid'arriver par le moyen proposé au résultai de ranger, suivant une loi bien déterminée, les termes d'une suite quelconque. Nous allons indiquer un procédé qui semble lié à la question de rendre une suite également dense.

CIIAP. III. — IMIMTÉ DÉNOMBRABLK UK COORDONNÉKS. 3o3

37. Itc^ij^iiuiis par $„yt) hi funci imi |)rimilivf <it'y«(0 avant sa valeur iin>y<MMir nulle dans rinl<'r\allc (o. i ). (•■(•si-à-dire que la conslanle d'intégralinn e«l déici iniiiée de niaiiirre à rendre iiiiniiii;i linléiîmle

l„= f ^},U)dt.

l/ordic .|ue nous edusidérons es| eeiui des l„ décroissants. I„ ne pouvant pas être nul, pour montrer (pu- eliaipie fonction /„(/) aura un rang fini, il suffit de montrer que l„ tend ver* zéro. Nmi- iikmiI nion- même que la -érie X !„ est eonvergeiile :

Hoprésentonsy,,! f ) pai' la >érie de -inu-

où

r/^(0 = V^'- sin/>-/.