V.n posant

on .\

(li) l.^Ij — ...+ F„

Lorsque n augmente. s„p tend en croissant vers i. de sorte que ZI„ tend

\ers -• Pour une valeur finie de n. comme

^n .\^ ^ n .1~^ • • ■ "t- S ,ip - . . . = n,

le maximum de la somme i 12 i ^obtient en rendant le» /; premières de cesommes égales à 1 et les autres à zéro. Ces conditions sont réalisées si Ton prend la suite des o«( 0 p<'nr suite desy„(< ), ou d'une manière générale si l'on prend pmir les n preniières fonction- y,,! t) des comidnaisons des n premières fonctions o„( t ). Le maximum de Ij -i- I2 -f- . . . -^ l„ est donc

3o4 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

il est atteint pour toutes les valeurs de n si Ton prend la suite des C6„(^) comme suite des/,i(^). Les I„ étant rangés par ordre de grandeur décroissante, ou du moins non croissante, le maximum de I„ est

nr.- \ 4 n -

il peut être atteint en prenant pour les n premières fonctions y„(i!j des combinaisons des n premières fonctions çp„( t ) telles que Ii = I2 = • • • = I/i- Naturellement, pour une suite déterminée de fonctions f,i(J), cette circonstance ne se présente que pour une seule valeur de n.

38. D'après ce qui précède, une fonction deda suite ( i) ne peut être précédée,, dans Tordre défini par la condition que les l,i soient décroissants, ou du moins non croissants, que par un nombre fini de fonctions. Mais il jjcut arriver qu'il y ait à un certain moment indétermination pour Tordre entre un nombre fini de fonctions donnant la même valeur à I„, et naturellement cette circonstance peut se reproduire une infinité de fois.

La règle la plus naturelle à adopter, pour rester dans le même ordre d'idées, est de considérer les intégrales analogues à I„, obtenues en remplaçant § n^ t) par ses intégrales successives, la constante d'intégration étant définie cliaque fois par la même règle que pour -t„( t). Ces intégrales ont la valeur

Si les intégrales \„ relatives à deux fonctions sont égales, on comparera les valeurs de I„ 2, piii^j '^ ii y a lieu, celles de 1„.3, et ainsi de suite. ()u arrivera ainsi à définir Tordre relatif des deux fonctions, sauf dans les cas où les coefficients correspondants de leurs développements en séries de fonctions ^/;(^) sont égaux au signe près. Dans ce cas, on [lourra les classer d'après les signes des premiers coefficients différents.

39. Cet ordre paraît lié à la question des suites également denses parce qu'il ne fait apparaître pour la classification aucune fonction de t arbitrairement choisie. Dans les intégrales considérées, on accorde des poids égaux à des intervalles égaux.

Toutefois, la condition d'égale densité [)résenleun caractère d'invariance que ne présente pas Tordre que nous venons de définir. Dans la définition de légale densité, deux intervalles égaux jouent le même rôle, en ce sens que leur ordre n'intervient pas. On peut diviser l'intervalle (o, i)en intervalles quelconques et changer leur ordre; cette opération définit un changement de variables qui transformé une suite complète, également dense, de fonctions orthogonales et normales^ en une suite de même nature. Aucun de ses caractères n'est altéré. Or par cette opération Tordre que nous venons de définir est altéré.

Il n'est d'ailleurs pas possible de définir un ordre qui ne soit pas altéré dans

riiAi'. III. — m'FiMTi'; nKNOMnuAiii.i': dr roonooNNiîES. 3o5

CCS conditions. Vn riït-t, à ce point de vue, les fonctions

Ofti t) = ^'1 %\n pr. t,

qni ont ini'nic fonction s<inini;it(iiii\ a|)[iaraisscnl comme identicjncs, cl cela est lié an fait qne lenr ordre est intliiïéicnl ponr la formation d'nne snile également dense, four les ranger snivanl un ordre déterminé, il faut faire intervenir des considérations de nature différente.

D'après ces remarques, il n'y a pas lieu de s'attendre à ce que l'ordre défini n*" 37 et 39 résolve la question posée au n° 35. Il est facile de le vérifier par des exemples. Il suffit de généraliser Tcxemple du n" 33 (fonctions simples d'ordre a'*) en remplaçant des intervalles égaux par des intervalles variant en progression géométri(|U('.

40. La notion de suite normalement dense. — - La notion de suite également dense suffit pour les résultats que nous nous proposons d'obtenir, dans le cas des fonctionnelles normales. Dans le cas des fonctionnelles générales, il faut introduire une notion un peu plus restrictive.

Considérons une répartition de masses à l'intérieur du carré o-<i<^r, o<;t<^i, symétrique par rapport à la diagonale / = t, ne comportant aucune masse finie située sur cette diagonale, et telle que la fonctionnelle du second degré

(i3) C fx{t)x(z)d'i^

correspondant à cette répartition soit finie, et par suite continue, dans le champ des fonctions de carrés sommables.

Nous dirons que la suite (i) est normalement dense si :

i" La fonction F«(<) converge en moyenne vers i dans l'intervalle (o, i) ;

2° L'intégrale

F«(^ T)rf*

tend vers zéro quand n augmente indéfiniment, cjuelleque soit la fonctionnelle additive à variation bornée <!>, liée à une répartition de masses de la nature considérée.

La condition que la fonctionnelle (i3) soit continue dans le champ des fonctions de carrés sommables, exclut la possibilité que des masses finies soient situées dans un ensemble dont la projection sur

3o6 TROISIÈME PARTIE — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

l'un des axes ait une mesure nulle. Un ensemble susceptible de contenir des masses doit donc avoir une mesure linéaire positive; en d'autres termes, contenir au moins une ligne, et la condition 2" cidessus revient à dire que F,, [t, -) converge en moyenne vers zéro sur toute ligne autre que la droite i = t ou une parallèle aux axes. Si une suite également dense n'est pas normalement dense, c'est donc qu'il existe des lignes, autres que la droite ;=:t ou des parallèles aux axes, sur lesquelles F„(^, -:) ne converge pas en moyenne vers zéro. Nous appellerons ces lignes lignes exceptionnelles de la suite considérée. Lorsqu'une suite est normalement dense, nous dirons que l'ordre de ses termes est normal; nous dirons dans le même cas que les axes de coordonnées correspondants sont rangés dans un ordre normal. Cet ordre normal n'est d'ailleurs pas complètement déterminé. Si par exemple on considère une suite partielle de fonctions /n{t) d'indices

/i,, /?o, .... np^ ..., tels que la densité moyenne — des termes de cette

suite dans la suite de toutes les fonctions f ,}{{-) tende vers zéro, ces fonctions sont sans influence sur la valeur limite de F;j(;, t) [du moins si les fonctions /«(f) sont finies] ; il est alors indifférent, soit de changer l'ordre des termes de cette suite partielle, soit de déplacer ses termes par rapport aux autres, mais de manière que leur densité moyenne continue à tendre vers zéro. Au contraire, si l'on effectue un changement qui fasse varier la valeur limite de la densité d'une suite partielle de fonctions /„(?), il est impossible que l'ordre reste normal [voir n" 43). L'ordre normal est donc déterminé, à certaines substitutions près, qui forment un groupe, indépendant du choix des fonctions /„(/).

41. Le paramètre différentiel du second ordre. — Dans l'espace Q, ce paramètre est défini par la formule

,. i f(y^u à- Il â' Il \ii z^ 1 1 m — 1 -i . . . -}- .

C'est la moyenne, et non la somme des dérivées -—; qu'il y a lieu de

considérer, cette somme étant en général infinie. Si nous considérons par exemple une fonctionnelle du second degré de la forme

CIIAf. III. — INFIMTK DliXOMBHABLK DE COORDONNÉES. ioy

elle sera définie el continue si les c„ sonl liinilés supérieurement. Le piuamètrc (liHV-rciil ici du premier ordre

est alors bien délini ; mais la somme des dérivées secondes ac^ est en général infinie, tandis que leur moyenne, qu'elle ait une limite ou soit indéterminée, reste finie.

Supposons maintenant que a représente, dans le système de coordonnées orthogonales délini par la suite (i), une fonctionnelle L I [j7(/)] |, avant une variation seconde de la forme normale

-' U = r Ua.a(oa:)2 dt-h r f L!',.,-. <'X Zx^ dt dt^ , et demandons-nous si lu, calculé comme il vient d'être dit, est

= f V,.dt,

égal à

AU

paramètre diflférentiel calculé au point de vue du Chapitre II.

Par définition de la variation seconde, -:— ^ n'est autre chose que la variation o-U, calculée pour ox =zf„(^t). On en déduit

I / à- Il â- ii.\

II \Oa'l ■ • ■ ■ ôafi )

La fonction U^. est nécessairement une fonction mesuraljle bornée, et U',.,, uiT^6 fonction de carré sommable (U, et par suite o-U, étant supposés définis dans le champ des fonctions ox de carrés sommables). Si alors la suite (i) est également dense, l'expression précédente tend vers AU. Donc lu existe et l'on a

(i5) A« = AU.

42. Considérons maintenant le cas où o-U n'est assujetti à aucune autre condition que d'être définie dans le champ des fonctions de

3o8 TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

carrés sommables. En distinguant, dans la répartition de masses liées à o-U, celles qui peuvent être situées sur la droite i = t, il vient

(i6) o2U= r \j",:{oxy-dt~ffox{t)ox{-.)d^,

$ étant une fonctionnelle additive à variation bornée de l'espèce considérée n° 40. Il vient, comme au numéro précédent,

Si la suite des fonctions fn{t) est normalement dense, il suffit de faire augmenter n indéfiniment pour retrouver la formule (la), qui s'applique ainsi dans ce cas à toute fonctionnelle continue admettant une variation seconde.

Ainsi, en supposant de toute façon la suite (i) également dense, il suffît pour qu'on puisse appliquer la formule (i5), soit qu'elle soit de plus normalement dense, soit que la variation seconde o-U ait la forme normale (i4)- Si aucune de ces conditions n'est remplie, cestà-dire si d'une part il existe des lignes exceptionnelles pour la suite (i), si d'autre ipart il en existe pour la répartition de masses liées à la variation o- U, le raisonnemeut précédent peut être en défaut. Mais il faut évidemment, pour que la formule (i6) cesse d'être exacte, qu'une même ligne soit exceptionnelle aux deux points de vue, en ce sens qu'elle contienne des masses finies et que ^n{t^ '^) ne converge pas en moyenne vers zéro sur cette ligne. Il n'y aurait aucune difficulté à passer de la formule (i~) à la formule (i5) si des masses finies sont réparties sur une ligne, et que sur une ligne difi^érente de la précédente F„(^, t) cessait de converger en moyenne vers zéro.