Remarque. — Considérons une fonctionnelle de la forme

les Cji restant finis sans tendre vers une limite. Il est évident que pour une telle fonctionnelle, \u dépend effectivement de l'ordre des fonctions y„(f), et ne peut pas rester constamment égal à AU. Il est donc impossible que la suite (i) reste normalement dense pour un changement de l'ordre des termes qui fasse varier \it. Tel est le cas, à condi-

CHAI". III. — INI'IMTÎ; ItKXOMItRABLI': DE COORDONNÉES. SoQ

lion (Je clioisir // convcnablemeiil, pour tonl cliangement faisant varier la densilé moyenne, clans la suite des lonclions /«(O? ^*'^ termes d'une .suii(> parlicUo de ces fondions. Le résultat énoncé n" iO est donc établi.

Ainsi, la fonctionnelle

/ x{()t(i — f)dl = as-t- aj — a!H-. . . -f- (— 1)"+' a^ -+- . . .

[en prenant la suite (6) pour suite des fondions /n{i)] 6st harmonique dans l'espace fonctionnel, c'est-à-dire annule AU. Elle annule aussi d?/, si l'on conserve l'ordre des termes indiqué par la formule (6) ; mais en changeant cet ordre, en favorisant systématiquement soit les cosinus, soit les sinus, on peut donner à Aw n'importe quelle valeur de l'intervalle ( — 2, -\- 2), limites comprises.

La même circonstance ne peut pas se produire pour la suite ((3) et unci fonctionnelle normale; cette suite restant également dense si l'on change l'ordre des termes, A« conserve la même valeur.

44. La notion de moyenne dans l'espace Q. — On peut, dans l'espace ù comme dans l'espace fondionnel, définir la moyenne d'une fonction dans un certain domaine. La marche à suivre est tout à fait analogue.

Nous considérerons comme n''™* section de l'espace Q l'ensemble E„ des points pour lesquels

ttn+l = <ï«+2 ^ ■ • ■ = O.

Une fonction u se réduit dans cette section à une fonction Un de rt|, r/o, . . ., On- On forme sa moyenne dans le domaine \„, section par E;, d'un domaine V de l'espace Q. La limite, pour /^ Infini, est par définition la moyenne de u dans le domaine V.

Ainsi, l^moyenne^de u dans la sphère 2, d'équation

•(18) al^al^...-hal-h...= ï\\

est la limite de la moyenne de ^«(rt,, «05 • • •■> cin) dans la sphère S,j

d'équation

a\-\- al -\- . . . -\- aj, = R^.

On remarque que celte sphère a pour rayon R, et non yAï, comme la sphère analogue qui Intervient au point de vue exposé Chapitre IL

3 10 TH0IS1ÈME PARTIE. — MOYENNIÎ DAJsS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

Les principaux résultats du Chapitre II s'appliquent évidemment avec cette nouvelle définition de la moyenne. 11 est toujours vrai que le volume d'une sphère soit concentré sur sa surface, de sorte que la moyenne d'une fonctionnelle finie et continue ne dépend que des valeurs prises sur la surface. De même, si la fonctionnelle u est uniformément continue, le volume de la sphère est concentré près d'une seule des surfaces de niveau u = const., de sorte que cette fonctionnelle a presque partout la même valeur. Les démonstrations sont les mêmes qu'au Chapitre II.

Il s'agit maintenant de rechercher si la moyenne définie dans l'espace 0, et celle définie Chapitre II, sont égales. C'est ce que nous allons examiner dans le cas de la sphère.

45. Le cas de la sphère. — Plaçons-nous sur la surface de la sphère S, définie par la formule (i8).

Une fonctionnelle du premier degré a évidemment pour moyenne sa valeur au centre de la sphère.

Considérons maintenant le cas d'une fonctionnelle homogène du second degré. Nous devons d'abord chercher sa moyenne sur la sphère S^, n'^"'* section de la sphère S. C'est un résultat connu, et d'ailleurs d'une vérification immédiate, que celte moyenne est

R2 /d'-u (Pu d'^u\

in \oai uni àa}j

A la limite, pour n infini, on trouve que la moyenne de u sur la

R^ sphère S, au point de vue de l'espace Q, est — ^.u.

Nous savons qu'au point de vue du Chapitre II, cette moyenne

est - AU.

Les conditions pour que les deux définitions soient équivalentes sont celles pour que A;/ = AU. Il suffit que la suite (i) soit normalement dense.

46. Dans le cas des fonctionnelles de degré quelconque, on peut généraliser le résultat précédent en s'appuyant sur la théorie des fonctionnelles harmoniques, que nous développerons plus loin. Nous Verrons que :

i** Une fonctionnelle harmonique, uniformément continue àl'inté-

riïAP. III. — INFIM'IK DKNO.MIÏIIAHLK l»K COORDONNÉES. 3ll

rieur d'une sphère, est bien clélinle par ses valeurs à la surface; élant donnée une lonclionnellc iiniloriiHMiicnt continue, définie sur la surface, il existe une fonclionnelle liarnionique cl une seule, continue à l'intérieur de la sphère, et égale sur sa surface aux valeurs données;

2° La valeur dune telle fonctionnelle au centre de la splière est égale à la moyenne des valeurs qu'elle prend sur la surface.

Ces. résultats sont vrais aussi hien au point de vue de l'espace fonctionnel qu'au point de vue de l'espace Q. Si la suite (i), qui définit le passage d'un point de vue à l'autre, est normalement dense, les fonctionnelles harmoniques sont les mêmes à l'un et l'autre point de vue. La moyenne d'une fonclionnelle unifoiinémenl continue sur une sphère, définie comme étant la valeur au centre de la fonctionnelle harmonique égale sur la surface à celle donnée, est donc la même à l'un cl l'autre point de vue.

L'identité des deux notions de moyenne est donc établie, dans ce cas de la sphère, moyennant les hypothèses que la fonctionnelle considérée soit uniformément continue, et que la suite (i) soit normalement dense.

47. Un autre procédé consiste à établir que les formules de Gâteaux, relatives au cas des fonctionnelles de la forme

(19) ^=f f ... f 0[T((i),x(t,), ...,X(tf,),ti,t,,...,t,,]dtidt.2..-dtp,

sont valables à notre nouveau point de vue et qu'il en est de même pour la forme plus générale, considérée n° 18, obtenue en n'intégrant que sur une surface située dans le volume d'intégration précédent, du moins en imposant à ces surfaces la condition qu'aucun des t ne reste constant (sinon la fonctionnelle U ne serait pas continue). Les deux notions de moyenne reviendront alors au même, dans le cas de la sphère, pour les « polynômes généralisés », sommes de fonctionnelles de cette forme, et pour les séries uniformément convergentes de tels polynômes, c'est-à-dire pour une catégorie très étendue de fonctionnelles uniformément continues.

Or les formules de Gâteaux, d'après le n° 19, reposent essentiellement :

1" Sur la loi de probabilité de x(-)j d'où résulte que ©[j^-^-rj] a

pour valeur moyenne

2° Sur l'indépendance des lois de probabilité de x{-.^)^ x{i-j)^ ..., x{'Zp)^ en désignant par t,, To, ..., ip des nombres distincts de l'intervalle (o, i).

Il suffît de démontrer que notre nouveau point de vue ne change rien en ce qui concerne ces lois.

Pour avoir la loi de probabilité de

x{i) = ai/i(-) + «2/2(1:) H-...-+-a„/„(T) -+-... dans la sphère S, il faut d'abord chercher celle de

(2IJ Xn{-) = «|/l(T) + a2/2(-) +.••+««/«(-)

dans la sphère S^. Or j?,i(t) est la distance à un plan, multipliée par y//?F„(T); sa loi de probabilité est celle relative à la distance à un plan, dans la sphère de rayon Rv//rK„(T). Si F«(-) tend vers i, on arrive donc à la même loi de probabilité qu'au n** 19. Comme Fre(T) converge seulement en moyenne vers i , il peut y avoir exception pour certaines valeurs de t, constituant un ensemble de mesure nulle. Mais cela ne peut faire aucune différence pour l'étude des fonctionnelles continues, cjui ne peuvent pas dépendre des valeurs de x pour les points d'un tel ensemble. Ainsi, pour une fonctionnelle du type

(22) f ?[^(0, t]dt,

la formule de Gâteaux est certainement applicable. C'est seulement pour des fonctionnelles dépendant de certains points particuliers, telles que cp[^(T)], qu'il peut arriver que cette formule ne s'applique pas à notre nouveau point de vue.

Cherchons maintenant si les lois de probabilités de .'r(':i), ip('ï^), ..., x[xp) sont indépendantes, Ti, Tj, ..., t^ désignant des nombres, tous différents, de l'intervalle (0,1).

JNous savons que les distances à p plans d'un point de la sphère S ont des lois de probabilités indépendantes, à condition que ces plans soient distincts. Or deux de ces plans, correspondant à des valeurs t et T du paramètre f, étant les limites des plans F„(<)=:o et F«(t) = o de l'espace £«, leur angle 9 est la limite de l'angle ()„ défini par la

CIIAP. III. — INFIMTÈ UKNOMItU.MJtIv I)IC COOKDONNÉES. Slî

lonnulc

cos 0„ =

^Vn(t)V,,{z)

cl il II y aura aiicimc (lifliciillc si celle limile existe cl n'esl pas nulle, ou (lu moins si 0,^ leslc, quand /i augmente indéfinimenl, su[)érieur à un nombre positif s (el inférieur à - — s).

Or F,i{t) et Frt(T) convergeant en moyenne vers i, cl F,j(<, ~) tendant en général vers zéro, puisque t etTSont difTérents, cosO« tend en général vers zéro, el 0„ vers--

Supposons la suite (i) normalement dense. Les points exceptionnels t, X (autres. que ceux de la droite t=^'z), pour lesquels il n'en serait pas ainsi, constituent un ensemble de mesure nulle en projection sur chacun des deux axes. Comme nous ne considérons que des fonctionnelles continues, on peut changer les valeurs dex(l) pour les points d'un tel ensemble sans changer la valeur de la fonctionnelle, et il est indifférent que les lois de probabilité de x{t) et x{-), t el -z étant deux de ces points, ne soient pas indépendantes. Le théorème énoncé est donc démontré.

Plaçons-nous maintenant dans le cas des suites également denses; les lois de probabilité de F(^) et F(t) peuvent alors cesser d'être indépendantes pour certaines lignes exceptionnelles. Les formules de Gâteaux, et par conséquent notre théorème sur ridentilé des deux définitions de la moyenne, subsistent si la fonctionnelle U est normale, c'est-à-dire si l'intégrale (19) généralisée ne contient pas de groupes de points distincts jouant un rôle particulier, et même dans le cas plus général où sa variation seconde a la forme normale, c'est-à-dire si l'intégrale (19) généralisée ne contient pas de couples de deux valeurs distinctes de f , soit / et t, jouant un rôle particulier; cela signifie que l'intégration par rapport à f et t (celles par rapport aux autres variables ti étant supposées effectuées) est effectuée dans une aire ou sur la ligne ^ = t, mais pas sur une ligne exceptionnelle; il importe peu alors que pour les points d'une telle ligne les lois de probabilité de x{t) el x{~) cessent d'être indépendantes. Le résultat subsiste encore, naturellement, si o'^\] n'étant pas norniale, sa définition introduit de telles lignes exceptionnelles, mais qu'elles soient distinctes des lignes exceptionnelles relatives à la suite (i).