APPLICATIONS A LA NOTION DE MOYENNE

Sommaire : La mesure des volumes et des surfaces. — La notion d'intégrale. — La variatiou de l'aire d'une surface. — Relations entre un volume et la surface qui le limite. — Variation d'un volume. — Les variétés à w — 2 dimensions. — Décomposition en carrés d'une forme quadratique. — Forme normale de Gâteaux. — Forme normale quelconque. — Forme générale. — Le volume de l'ellipsoïde. — Les sections planes de l'ellipsoïde. — L'indicatrice et la courbure totale d'une surface. — La courbure géodésique totale et le théorème de Gauss. — Propriétés des surfaces parallèles. — Propriétés des contours parallèles tracés sur une surface. — La notion de valeur moyenne dans le cas des surfaces convexes. — Classification des surfaces et des volumes au point de vue de l'aspect de la notion de moyenne. — Remarques diverses.

48. La mesure des volumes et des surfaces. — Nous avons vu au Chapitre II que la mesure d'un volume ou d'une surface était en général nulle ou infinie, et pour celte raison, aux notions de volumes et d'intégrales multiples, nous avons substitué celle de moyenne, qui conserve un sens. Il peut pourtant être utile de parler de volumes et de surfaces comme de quantités mesurables, et d'employer la notation d'intégrale de volume ou de surface. Cela est possible dans les conditions suivantes :

Si la ^'^™® section V„ d'un volume V a pour mesure <^{n), on peut dire, en employant la notation des nombres transfinis, que V a pour mesure ^(w), la notation ©(to) désignant l'ordre de grandeur de o(n) pour n infini. Si les volumes V et V sont semblables, leur rapport d'iiomothétie étant A" ^ i , les mesures deV,j et V'„ seront ©(«) et /t:"cp(/i), et à la limite on représentera par cp(io) et A'^o^to) les ordres de grandeur respectifs de V et Y'. Cette notation est com-