CHAI'. IV. — MICSURE DES VOLUMES ET DES SURFACES

mode |)(iiii- iii(li([iicr (juc ce ne souL j)as des volumes ayant .sinij)leincnl des valeurs dillérenlcs, mais que leurs ordres de grandeur sont dillérents, le premier étant négligeable devant le second.

l'ourlant une précaution est à prendre. Les mêmes considérations s'appliquanl aux volumes cl aux surfaces, il peut y avoir lieu d'écrire des relations entre les volumes, les surfaces et les longueurs. Mais nous savons que deux points de l'espace E/,, /i'''""' section de l'espace fonctionnel au sens de Gâteaux, dont la distance comptée dans l'espace fonctionnel est r, ont pour distance dans l'espace E,^, non /', mais r,i^= r\hi ; ainsi une sphère de rayon R a pour /t'*™" section une sphère de rayon Ry//i. Si l'on voulait définir les longueurs, comme les surfaces et les volumes, par l'ordre de grandeur des grandeurs correspondantes dans l'espace E„, on serait conduit à une définition de la distance diflercnte de celle étudiée jusqu'ici.

On échappe aisément à cette difficulté en remplaçant la figure considérée de l'espac-e E„ par une figure semblable réduite dans le rapport de \//i à i . Le volume de la sphère de rayon R sera alors mesuré par l'ordre de grandeur dans l'espace E^ de la sphère de rayon R, et non Vv\/ n. Cela peut être commode de dire que la /z'*'"'* section de la sphère de rayon R ayant l'origine pour centre a pour rayon réduit R.

On arriverait directement à un résultat analogue en prenant la /i'''™" section au sens du Chapitre III, n** 4!2. Là /i'^™" section d'une sphère de rayon R est alors une sphère de rayon R si le centre est à roi'igine, en tout cas de rayon R/^ tendant vers R et du même ordre de grandeur que la sphère de rayon R^ à un facteur près de la forme (i H- s)", £ tendant vers zéro.

Mais on peut difficilement en calcul fonctionnel prendre ce point de vue comme définition de la mesure d'un volume. Sans doute la notion de l'espace fonctionnel rapporté à une infinité dénombrable de coordonnées rectangulaires facilite la conception des notions de volumes et de surfaces. Mais nous savons par le Chapitre 111 que le choix des coordonnées rectangulaires ou même Tordre dans lequel on considère les coordonnées d'un système déterminé peut influer sur la valeur de la moyenne, c'est-à-dire sur la valeur relative des différentes parties d'un volume. La mesure d'un volume à ce point de vue n'aurait donc pas une expression bien définie. La plupart des

3l6 TROISIÈME PARTIE. — MOVKNNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

considérations qui suivent sont valables avec les différentes définitions possibles. Mais, lorsque nous voudrons préciser une définition déterminée, nous prendrons celle qui se rattache au point de vue de Gâteaux, avec la modification qui vient d'être indiquée, qui consiste à remplacer la n''""" section par la section réduite correspondante.