CHAP. H. — I,A NOTION DE CONTINUITÉ DANS I.E DOMAINE FONCTIONNEL

convenablement ciioisi, qui est dit module de condnititc correspondant à C-.

Nous pouvons étendre cette définition à l'espace fonctionnel. Mais il faut préciser dans quel cas nous avons le droit de considérer deux points A etB comme voisins. Ce sera sans doute quand leur distance sera très petite. Mais comment définir cette distiince, que nous appellerons aussi dislance des fonctions correspondantes ic(f) et j'(^)?

Voyons ce que donne le procédé du passage du fini à l'infini. Dans l'espace à n dimensions, les points A et B ayant respectivement pour coordonnées a:,, . . . ., x„ et j'i, • • • ■, Xn-, leur distance R est d'éfinie par la formule

Pour rendre possible le passage à la limite, il faut remplacer la somme qui figure au second membre par la moyenne des termes

écrits et, par suite, chercher la limite, non de R, mais de r^ ——.

yn

On est ainsi conduit à appeler distance des fondions x{l) el y{t)^ ou des points correspondants A et B de l'espace fonctionnel, la quantité r définie par la formule

(I) r2= [ {y(t)-x{t)Ydt.

C'est cette définition que nous adopterons en principe dans la suite. C'est elle qui nous permettra de construire une géométrie de l'espace fonctionnel dans laquelle se généralisent avec leurs caractères essentiels les notions de sphère, d'angle, de courbure des surfaces, de surface minima, de fonction harmonique, etc. Au point de vue qui nous occupe actuellement, nous voyons qu'une fonctiony(^) devra être considérée comme infiniment voisine d'une fonction x(f) si l'intégrale (i) tend vers o, c'est-à-dire si, suivant l'expression consacrée, y{t) convei-ge en moyenne vers x{t). De même, la fonctionnelle U^ du point A sera dite continue en A si Uu — U^ tend vers o avec r.

11. Autres définitions. — Les définitions précédentes, généralisations naturelles de celles employées dans la géométrie à n dimen-

l4 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

sions, ne sont pas suffisantes, et nous ne pouvons nous dispenser d'envisager d'autres sortes de continuité.

Dans l'espace à n dimensions, il suffit de limiter supérieurement soit R, soit r, pour que chacune des quantités |y, — ic, |, ..., \yJ^ — Xn\ soit limitée supérieurement. -Dans l'espace fonctionnel, la connaissance d'une limite supérieure de /' n'entraîne pas la connaissance d'une limite supérieure de \y{t) — -2^(0 1 poui' "ne valeur particulière de /.

Pour limiter supérieurement cette différence, nous pouvons considérer comme distance des fonctions x e\, y\di quantité

(2) M =: ina\ |7(0 — ^(0 I (o5< = i).

Avec cette définition, la fonction y{t) devra être considérée comme infiniment voisine de ^(i) si y{t) tend uniforme ment vers.«(f), et à cette nouvelle sorte de voisinage, que nous appellerons voisinage uniforme^ correspond une nouvelle sorte de continuité. L'intérêt de celle continuité est prouvé par le. fait que des fonctionnelles telles que le maximum de ■r(^) entre o et i, ou bien la valeur de ^(0 pour une valeur particulière de ?, qui ne sont pas continues au sens du n' 9, sont continues avec cette nouvelle définition; il en est de même d'autres fonctionnelles que nous rencontrerons dans la suite.

Le voisinage uniforme est naturellement /;/a5 restrictif c^xxe le voisinage en moyenne, de sorte que la nouvelle définition de la continuité est moins restrictive que l'ancienne, c'est-à-dire est vérifiée par toutes les fonctionnelles continues d'après l'ancienne définition et aussi par d'autres.

Une autre définition possible serait de considérer la fonctionjK(0 comme voisine de x{t) sïy[t) tend vers x{t)^ mais non uniformément. La fonctionnelle a7(T), x étant une valeur particulière de f, et d'autres fonctionnelles dans la définition desquelles xjoue un rôle particulier, sont continues avec cette définition, plus restrictive que la précédente. Malgré cela, elle ne nous paraît pas intéressante à considérer; cela tient à ce que, dans ces exemples, ce qui importe, ce n'est pas l'existence de la continuité pour chaque valeur du paramètre T, mais la manière dont la continuité dépend de t, le fait, par exemple, de savoir si, en faisant varier t, on a une famille de fonctionnelles éoralement continues.

CHAI'. II. — l.\ NOTION DE CONTINUITK DANS LE DOMAINK FONCTIONNKL. 1»

D'autres définitions possibles du voisinage sont liées à la dislance Vp définie par la formule

(3) r{;= f \y(t)-.r{t)\Pdl,

p étant un nombre positif quclconcjne. Si ip tend vers o, il y a une sorte de voisinage entre y{l) et oc(l)^ que nous pouvons appeler voisinage en moyenne de degré p. Il comprend comme cas particulier, pour p = 2, le voisinage défini n" 9, et est d'autant plus restrictif que/> est plus grand. En effet, si /> << P et si if, est donné, on vérifie sans peine que rp peut prendre n'importe quelle valeur positive ^ />, mais ne peut dépasser /•,,.

Des difierentes sortes de voisinage que nous venons de considérer, nous utiliserons surtout dans la suite celles qui correspondent aux définitions de la distance résultant des fornniles (i) et (2). Sauf indication contraire, c'est toujours de la première qu'il s'agira.

Nous dirons qu'un domaine est fini lorsque la distance de ses points à Torigine est limitée supérieurement. Nous appellerons module fonctionnel d'une fonction x{t), et désignerons par [|x(/) || la dislance du point qui la représente à l'origine [point qui représente la fonction :r(^) := o]. Ces expressions ont naturellement différentes significations suivant la définition adoptée pour la distance.

12. Voisinages des divers ordres. — Les définitions précédentes de la distance ne sont pas suffisantes. Une fonctionnelle telle que

I \dr-

di

n'est pas continue, même avec la plus restrictive des définitions considérées jusqu'ici. Pourtant elle a une sorte de continuité que nous allons préciser, et qu'il faut envisager, si nous ne voulons pas exclure de nos i^eclierches les fonctionnelles du calcul des variations classiques.

Nous dirons que y{l) a avec x{l) un voisinage uniforme d^ ordre p sxyi^i) et ses^ premières dérivées tendent i-espectivement d'une manière uniforme vers x{t) et ses p premières dérivées. Il suffit d'ailleurs pour cela, si x et y et leurs [p — i) premières dérivées sont continues, que la dérivée d'ordre /> de y tende uniforme-

l6 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

mentversla dérivée correspondante de ^, et que, pour une valeur particulière de t,,y et ses (/? — i ) premières dérivées tendent respectivement vers X et ses (/> — i) premières dérivées.

A cette définition, on peut faire correspondre la distance définie comme la plus grande valeur de

~diJ' ~~ 'dF

(ol < ^i ; i' = 1 ,2, . . .,jo),

ou bien la quantité

«0 max \y — x\ -4- «1 max

dt

dP{y — x) 'dû'

«0, «I, . . .1 Op étant des coefficients positifs. Ces différenles définitions sont équivalentes au point de vue de la définition du voisinage qui en résulte.

Des remarques analogues peuvent être faites avi sujet du voisinage en moyenne cV ordre p, défini par la condition que y et ses dérivées jusqu'à l'ordre p convergent en moyenne respectivement vers x et

ses dérivées jusqu'à l'ordre p ou, ce qui revient au même, par la

... di' y di'x ^

condition que -r^ converge en moyenne vers -— - et que pour une

valeur particulière de f, y{t) et ses p — i premières dérivées tendent respectivement vers .r(^) et ses p — i premières dérivées.

A ces deux définitions du voisinage d'ordre /), correspondent deux sortes de continuité d^ordre p. Une fonctionnelle, dans la définition de laquelle interviennent les dérivées de x jusqu'à l'ordre p, aura, en général, la première de ces continuités, la plus restrictive, et parfois la seconde, comme c'est le cas pour les fonctionnelles du calcul des variations

r' / dx dPx\ ,

Les notions de voisinage en moyenne d'ordre /?, voisinage uniforme d'ordre/?, voisinage en moyenne d'ordre p-\-\^ . . ., sor.l de plus en plus restrictives. Les continuités correspondantes sont, par suite, de moins en moins restrictives.

On peut envisager aussi un voisinage d'ordre infini, et une continuité correspondante. Telle sera la continuité de la fonctionnelle

CIIVI'. II. — l.\ NoriOX oc CONTINLITi'; DANS LK DOMAI.NK lONCTIONNEL. IJ

L'excmplr de code foiKnioniielleinonlrc que rensemble des fonclloanellcs ayant celle sorle de coiiliiuill»' csl plus vasle cjuc la réunioa de Ions les ensembles avanl des conliauilés d'ordre Uni. En eilel, pour aucune valeur de/?, elle n'a une continuité d'ordre/?. Ces sortes de continuités sont liées aux distances définies par exemple par la lormiih.'

m;ix \y

dt

di'iy — X )

dli>

h étant un nombre |)ositif", ou par des formules analogues où les coefficients aient d'autres valeurs.

13. Champs fonctionnels. — Les fonctionnelles que nous venons de considérer ne sont pas définies pour toutes les fonctions a; (/), mais seulement pour les fonctions ayant des dérivées jusqu'à l'ordre/? ou même des dérivées de tous les ordres. La plupart des fonctionnelles ne sont de même définies que pour les -fonctions vérifiant certaines conditions, fonctions dont l'ensemble constitue ce qu'on appelle un champ fonctionnel. Tandis que, dans l'espace à n dimensions, les domaines d'existence des fonctions sont définis le plus souvent par des conditions s'exprimant par des égalités ou des inégalités, la définition des champs fonctionnels comprend le plus souvent non seulement des conditions d'égalité ou d'inégalité,^ mais aussi des conditions relatives au mode de continuité ou à la nature analytique des fonctions.

La notion de champ fonctionnel est liée aux remarques qui précèdent sur les différentes sortes de voisinage. Une définition détei'minéedu voisinage n'a de sens que dans un certain champ fonctionnel. On ne peut, par exemple, parler de voisinage uniforme d'ordre p entre deux fonctions xi^t) etj-(^) que si leur différence a -une dérivée d'ordre/?; cette notion n'est donc intéressante que si ces fonctions appartiennent à un ensemble tel que, entre deux fonctions quelconcpies de cet ensemble, la distance définie par exemple comme la

plus grande des quantités

max 1^ — x\^ max

dt

di' ( Y — ^ I

dti'

ait un sens. Il est naturel, de plus, de supposer que la fonction o appartienne à cet ensemble, et l'on voit qu'on est conduit a ne parler

l8 PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

de voisinage d'ordre p que dans le domaine des fonctions admettant des dérivées jusqu'à l'ordre p.

On voit que, d'une manière précise, une définition du voisinage résultant d'une définition déterminée de la distance, est liée à la notion du champ fonctionnel le plus étendu^ comprenant la fonction o, et tel que la distance de deux fonctions quelconques de ce champ eut un sens. Il v a d'ailleurs deux manières de comprendre cette relation, sui\antque l'on considère une quantité infinie, mais non indéterminée, comme ayant un sens ou non.

Etant donnée limporlance des définitions de la dislance résultant des formules (i) et (2), nous devons nous demander à quels champs fonctionnels elles correspondent.

Pour la distance définie par la formule (2), il n'y a pas de difficulté. Si l'on considère une quantité comme ayant un sens si elle est finie et déterminée, c'est le champ des fonctions bornées ; aucune espèce de continuité n'est nécessaire. Si l'on considère une quantité comme ayant un sens si elle est finie ou infinie, mais déterminée, la restriction que les fonctions considérées soient bornées n'est même plus nécessaire. Ces remarques n'empêchent pas, étant donnée l'importance des fonctions continues dans les applications, qu'il y a souvent intérêt à ne considérer que le champ de ces fonctions et à utiliser la définition (2) de la distance.

Pour la distance définie par la formule (i), on ne peut pa> considérer des fonctions discontinues quelconques. Mais la continuité n'est pas non plus nécessaire pour que cette formule ait un sens. Si l'on admet que la distance de deux fonctions puisse être infinie, le champ tunclionnel à considérer est celui des fonctions mesurables; dans le cas contraire, c'est celui des fonctions sommables et de carrés sommables.

Nous rappellerons, dans le Chapitre suivant, le sens de ces expressions pour le lecteur qui ne serait pas familiarisé avec les travaux de M. Lebesgue. Faisons d'abord une remarc|ue.

Si une fonctionnelle est définie dans un certain champ, en résultet-il qu'on ne puisse pas considérer pour elle d'autre sorte de continuité cjue celle qui correspond à ce champ? Considérons, par exemple, une fonctionnelle U définie pour toutes les fonctions ayant des dérivées finies jusqu'à l'ordre yj», mais n'ayant aucun sens si la dérivée d'ordre p n'existe pas ou devient infinie. Peut-on affirmer,

CIIAP. II. — I.A NOTION DE CONTINUITÉ DANS LE DOMAINE FONCTlONNi: L. Kj

(riiiic |);iil, (jii'rlle iirsl pas coiuiniu! d'ordre p — i ( déliiiilion de l.i coiiliiiuitr lii'c an Noisinagc nnijorine dOi'drc p - i), d'autre pail, niiil iTol |»as |>(»ssil)l(.' ([n'elle soil t-diil mue <l"(irdi-e /y -|- i sans l"<Hre d'ordre p! Il semble (jiie oui (^'), car le lait d'èlre délinie dansiez elianij) que nous \enons de C()n>id(''rcr indi(jue (pu- la dérivée d'ordre yy de x(^/j inlcr\ient (explIeileiiK ni ou non) dans sa délînilion; alors on ne s'expliquerait, ni qu'il suflise que les fonctions x{t) et r(0 aient leurs dérivées d'ordre p — i très peu différenles, ni ({uil soil nécessaire qu'elles aient leurs dérivées d'ordre /? -{-i très peu dillérentes, pour que les valeurs correspondantes de U soient très peu dillérentes. 11 serait intéressant de le démontrer rigoureusement, ou l)ien de donner des exemples d"exce[)ti(jn à cette règle.

li. Continuité uniforme. — Considérons une définition déterminée de la distance. Lue fonctionnelle L sera dite iiniforméinenl cotitinue dans un certain champ t"oncti(jnnel C si, étant donné un nombre positif:, on peut déterminer un nombre t, tel (jue, si deux fonctions du champ C ont une distance inférieure à /j, les valeurs correspondantes de L diffèrent de moins de z.

On sait que, dans l'espace à n dimensions, toute fonction continue dans un domaine fini j' est uniformément continue. Pour bien comprendre la raison de cette circonstance, il faut connaître la notion d'ensemble compact, due à M. F'réchet. Dire qu'un volume \ de

(') On peut èUe lenlé de Lonsidéior coiimio une evception le eas ifunc fonclionn(.'lle telle (jue

u = / X- dt,

dont la variation, lors(|ue x' est eontinue et que x" existe, jieut s'écrire 2[x''ï,x]^ — 2 / x' Zx dt,

el a une eonlinuitc d'ordre o. Mais celte continuité n'appartient ]ias à la fonctionnelle ellc-niènie. On peut, en eÛet, trou\er iW^^ th-terniinations de x^ telles que

-sin/fr/, inférieures dans tout l'intervalle à n'importe fiuel nombre donné si n est n

assez granil, et telles pourtant que U ne tentle pas vers la valeur o, qu'elle prend

pour a; = o.

yo PnEMIERE PÀHTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

l'espace à n dimensions est compact, c'est dire qu'étant donnée une suite inlinie

Al, A2, . . . , Ay,, . . .

de points de ce volume, on peut trouver au moins un point A tel qu'il existe une suite infinie extraite de la suite précédente et tendant vers A. Considérons alors une fonction u qui soit continue dans \ . Si elle n'était pas uniformément continue, il existerait un nombre positifs auquel on ne pourrait faire correspondre aucun nombre r, tel que. à deux points A et A' distants de moins de y, correspondent nécessairement deux valeurs de u différant de moins de t. Ce serait donc qu'on pourrait trouver une suite de couples de points A^, A^,. tels cjiie la distance Ay,A' tende vers o cpiand p augmente indéfiniment, et que les valeurs de la fonction u en A^ et A' diffèrent de plus de î. jMais les A^, auraient au moins un point limite A, où la fonction u ne serait pas continue, ce cjui serait contraire à l'hypothèse.

Ce résultat ne s'étend pas à l'espace fonctionnel, où un domaine fini V n'est en général pas compact. Considérons, par exemple, la suite de points correspondant aux fonctions

cosa-^, cos4~/, ..., COS2/'-?, ....

Ces points sont compris dans un volume fini, aussi l)ien avec la définition (i) de la distance qu'avec la définition (2), mais il est impossible d'en extraire une suite tendant vers une limite, puisque la distance de deux quelconques d'entre eux est i. si l'on considère la distance définie par la formule (i), et 2. si l'on considère la distance définie par la formule (2 ). ^

lo. Fonctionnelles dépendant d'un paramètre. — Considérons une famille de fonctionnelles Ux dépendant d'un paramètre A, et définies dans un champ fonctionnel C. On dit qu'elles sont également continues dans le champ C et pour un certain ensemble de valeurs de A, si, en chaque point du champ C, le module de continuité relatif à un nombre t peut être choisi indépendamment de ).. S'il peut être choisi indépendamment à la fois de A et àex{t), les fonctionnelles U). sont dites également et uniformément continues.

On dit que L) tend vers L\ quand a tend vers A,,? S'il en est ainsi

ClIAF'. II. — I.A NOTION Di; CONTINUITK DANS \.K DOMAIMÎ FONCTIONNIil,. 21

v.n cIliKjiK' |»(iiiil ilii cliiimi) (1, c'est-à-dire si, en cluiniii do ces points, £ ('lant (111 nomhi'c positif si petit rpi'oii veut, ou pciil déleriuiuer Y| Ici cpreu ce poiul, cl |»oui" | a| << y,, on :iil nécessaire m cul 1 1 ), — L) ,|<^ z. Sir, peut cire choisi iiidcpeudammcut du point (;<)Usiil(''n'' dans le (diainp C, on dit que L >, tend iniifoitnémeiit vers sa limite.

11 est facile de préciser ce tpie la convergence uniforme ajoiih' à la convergence simple.

i" Soit une fonctionnelle Ux, tendant, quandXtend vers o. vers une fonclionnelie continue L'q. Si, à partir d'une certaine valeur de X et d'une fonction x{t) correspondant à un [)oint du champ C, on fait varier soit A, soit :r(0, L). varie d'une manière continue. Mais il n'en résulte pas que Lx varie d'une manière continue ([uand on fait \arier simiiltanémenl A et x{t). Cette conséquence est, au contraire, évidente, soit si lx tend uniformément vers Lq, soit si les fonctionnelles Lx sont également continues. En éjcri\anl, en elTcl, dans le premier cas,

Uxl[X(/)l|-U„|L.r(0]|= ;>x|[X(o]|-Uo|[X(Oll!

+ |Uo|[X(^)l|-U„|[^'0]i;et, dans le second cas,

Uxl [X(r)] I - v,\[a-(t)] 1 = j Uxl [X(0] 1 - Uxl [x(t)] I ;

+ |UAl[-^(0]|-Uo|[r(r)]i;.

on déconq>ose l'accroissement de L en deux termes tous deux inférieurs à - si A est assez petit et X(< ) assez voisin de x(j).

Cette remarque généralise le fait l)ien connu qu'une fonction u(x,'/~) peut être continue par rapport à chacune des variables, pinse séparément, sans l'être par rapport à l'ensemble des variables. Si, au contraire, la continuité par rapporta l'une des varial)les est uniforme par rapport à l'autre, c'est-à-dire si le module de continuité relatif à A par exemple peut, pour chaque valeur de X, être choisi indépendamment de a:, cette circonstance n'est plus possible.

2° Voici, par contre, une diflerence essentielle avec le cas O une fonction de deux variables. La fonctionnelle Lx étant supposée varier d'une manière continue avec), et.r(f), il n'en résulte pas nécessairement que la convergence de Lx vers Lq, quand A tend v'jV5 o, soit

'.>. PREMIERE PARTIE. — LES FONDEMENTS DU CALCt'L FONCTIONNEL.

uniforme dans G, tandis que, dans le cas d'une fonction uix, X). si elle est continue, la convergence de u{x^ A) vers u[x^ o) est uniforme par rapport à x.

On voit par cette remarqua que, dans le domaine fonctionnel, la notion de convergence uniforme apporte une double restriction à la notion de convergence simple. Dans l'espace ordinaire, ces deux restrictions n'en font qu'une.