R'^RIR

98. 11 v a d'autre part une relation entre la courl^ure moyenne K, et la distance p du plan tangent à un point fixe O; nous compterons cette distance positi\ement vers rinlérieur. A cet efl^et, faisons varier la surface S, en la remplaçant par une surface homothétique par rapport à O et très voisine, le rapport d'homothétie étant i-j-î. Faisons se correspondre les points des deux surfaces situés sur une même normale à S; leur distance eslpe. Chaque élément d'aire varie alors d une surlace à la voisine comme dans une homothétie de rapport i + K/?£. Pour l'ensemble de la surface, d'après la formule (8), la varialion relative du rayon R de la sphère équivalente est alors ;«) z ou ;?/2^i suivant le signe de s, m, et 1112 désignant les valeurs extrêmes

<:il.\l'. IV.. — MESL'ItE KICS VOLUMES KT KCS SUriKACICS. i'^'i

«le K/^ CM a(''}^lii;i;iMil ((Iles (|iii lie scr;iu;i»l priM's (|ii(' Mirdcs poi lions (If hi sinracc poui' Iom|ii(II('s le rayon de la spliric ('(jiiivalento serait inrc'-iiciii' à 11. Daiiln- pari, comme il s ai;il d'iMu; homolliétie, cette vaiialion relative est (îj^ale à £, fjiicl (|ue soil le sij;ae de eetle quantité. D(»n(' /// , =z ///^ -= I . Le jiidthiil \\/> est [ircs^iiic jtarloid é^al à i. Il est i'enjar(|iial)lc ([uc cet énoncé s'appliqne (piel (pie soit le |)oin! O, el (piclie cpie .soil la siiilace. Si elle est de la première eaté-

j;orie, on peut dire <jiie /> et — oui j)resqiie paitmil une même valeur A.

Si (die est de la deuxième catégorie, p el — sont presque partout éi;aiix,

et nous désignerons leur valeur moNenne commune [>ar //. \a\ foimule (jo) s'écrit alors (')

Montrons par uï\ exemple que h n'est pas nécessairement éi;al à R. \ous n'avons qu'à reprendre l'exemple, déjà considéré n" 7i, (Je l'ellipsoïde

/ [x'-{( )^x{t}x{\ — t)-r- cr'^ii — t )] dl = I.

C'est une surface de la première catégorie. On trouve aisément

de sorte que le calcul de h se ramène au calcul de la valeur moyenne

de /•-, ou de — > sur la surface, ou ce cjui revient au même à l'intérieur

(roi/' numéro suivant). Comme une dilatation suivant les axes modifie tous les volumes dans le même rapport, on ramène aisément ce calcul à celui de la moyenne sur une sphère, et l'on trouve ([ue /- a presque

('j Ou a une fonnulc' analogue dans l'espace E„. La varialioii du voluine V'-' dans rtiomolliétie de l'apport i -f z est en ell'et

d\ = ,i\z =z I pz dS =: -S A £.

(Jn a donc n\ = A-S, h désignant la moyenne de p sur la suiface S. A la limite, on retrouve la formule du texte, dont on a ainsi une démonstration très simple. Le raisonnement du texte a par contre l'avantage de montrer la relation entre/? et k.

J74 TROISIEME PARTIE. — MOYENNE DANS LE KOMMNE I"0.\CTlO.N.\EI..

parloiit la valeur -• Donc li = -— - tandis que, les demi-axes de Tellipsoïde étant é^aux les uns à i et les autres à — =? on a R :^ t7=-

Dij. Les surfaces de la première catégorie étant telles que toute fonctionnelle uniformément conlinue j a presque partout la même valeur, cela est vrai en particulier de la courbure movenne. D'après le n" o7. nous pouvons alors affirmer que, pour une telle surface, cela revient au même de prendre la moyenne d'une fonctionnelle uniformément continue sur cette surface ou dans le volume qu'elle limite. Ces deux moyennes sont égales.

Cette propriété n'est d'ailleurs ni générale, ni caractéristique des^ surfaces de la première catégorie. Considérons par exemple une surface S de la deuxième catégorie, et d'ordre i, décrite par des contours C. de la première catégorie, et situés dans des plans parallèles. Pour tous ces contours, le rayon de la sphère équivalente a une mèmr valeur R. D'autre part, chacun des plans parallèles est presque |)artout normal à la surface S (autrement l'ordre de grandeur de la mesure du contour varierait, et Rne serait pas constant). La valeur moyenne, sur chaque contour C, de la courbure moyenne K de la surface est donc aussi celle de la courbure moyenne du contour, [^'exemple du

numéro précédent ( M uiontre qu elle peut n'être pas égale à — ? et par

suite qu'elle peut varier d'un contour à l'autre ; alors, d'après le n^ol. les différents contours C n'auront pas le même poids pour le calcul de la moyenne d'une fonctionnelle sur la surface S et dans le volume qu'elle limite. Si au contraire la moyenne de Kest la même pour tous les contours C, les moyennes d'une fonctionnelle quelconque sur la surface et dans le volume sont égales.

(') Dans cet exemple nous considérions une surface de l'espace tonctionnel; il suffit d'en prendre la seclinn pai' un plan < ontenant le centre pour avoir un contour C jouissant dans un plan d'une propriété analogue.

CHAIMTRE V.