I.KS FOXCTIONNI'll.l.KS IIAUMONIOLIHS

SoMMAliii': : l'oirniile de déiivalioii îles fctiictionnellcs composées. — Coiisé- «lueiice lelativcà cciiaiiies iqnalimis aux cl('>riv('-es fonrlionnclles. — Formule foiidami-iilale poiii' l'tiindo du problème de (laucliy. — Extension de la formule de Giccn. — La formule de Grem -ur une surface. — La foiinule de (>r<en et le potentiel. — Le potentiel de double couche. — Remarques sur la solution du problcnie de Diricblel et les propriétés des surfaces minima. - Les problème de Gaucby et de Dirichlet pour des variétés quelconques situées sur une surface fermée convexe. — Cas de surfaces non con\e\es. — f>a notion de variété minima; eonelusion relative au problcnn de la détermination d'une fonclionnelle harmonique par ses valeurs sur uw variété quelconque. — Cas des variétés minima. — Le potentiel tle simple cou(h<'. — Le potentiel de volume. — Le problème «le Meumann..

100. Formules de dérivation des fonctionnelles composées. - Soil, pour lixcr les idées, une ionelion <!> =/ ( U. \ , W' ) «le trois funclioiinellrs ï , \ , VV. Cherchons à exprimei" A<1> en fonction de AU, AV. A\\ . On a d'al)ord, pour h-s dérivées preniières. la formule évidenl(;

•"•:.=yuu:.+./'vv:.+./w^^':.-

Si l on calcule la vaiialion de <I>j., en supposant que les variations secondes de U, \ , ^V soient de la tonne normale, on lrou\e

0.1':,= (yv l::.-4-/( v;u-f-y\v\v:;o ox -^ f (/ii-;..,-i-./Nv;;.,-,-f-/vw::.,.,

Donc la variation ï»econde de <1? est aussi de forme normale, et Ton a Si les varialious secondes de \j, \ , \V ne sont pas de la forme

normale, l'expression de o<I>'j.peat contenir d'antre termes, provenant (le la différentiation de U'^., V'^, W^^. Mais cela ne changera rien aux terme en oj:% et la formule (i) reste exacte.

Si même les variations premières de U, A , W n'étaient pas de la forme normale, mais dépendaient spécialement de certaines valeurs de i, soit /', t'\ . . . , la variation 0$'^, contiendrait des termes en oa?(^'), rjx{t"). ..., et. si t est précisément égal à l'une de ces valeurs <', t\ . . ., l'un de ces termes se réunit au terme en ô.r, et la formule (i) ne serait pas exacte. Mais ces valeurs particulières de / constituent au ]du8 un ensemble de mesure nulle, de sorte que, même dans ce cas, la formule (i) est presque partout exacte.

En tout cas, en intégrant par rapport à t entre o et i. il vient

( x . A.l. =/l au h-/v A\ +y\v AW.

Les formules (i) et (2) montrent que les calculs des dérivées secondes ou paramètre ditîérentiel du second ordre <I>Î.. et A<I> se font par les formules qui ne conviennent habituellement que dans les cas des dérivées premières. Cette conclusion ne s'applique pas. bien entendu, à la dérivée $".,. pour laquelle on a

<i':;.r. = /u u;.,, -^f{- xLr, + A \N";; X. ^/c- u:, u:^, +/^ v:, v^, ^y^ . w:, wi,,

formule tout à fait analogue à celle relative aux fonctions composées à l'aide de fonctions ordinaires.

Il résulte en particulier de ces formules que :

1° Si U, A , W sont des fonctionnelles de (Jateaux, il en est de même de 4>;

2" Si U, V, W sont des fonctionnelles harmoniques, il en est de même de <ï>.

En particulier, on voit que les fonctionnelles L et /( L) sont en même temps harmoniques. On peut donc reconnaître si une fonctionnelle est harmonique lorsque Ton connaît les surfaces de niveau U = const., sans connaître la valeur de U correspondant à chaque surface. Nous avons déjà obtenu un résultat plus précis en démontrant (n*^ 25) que les fonctionnelles harmoniques sont celles pour lesquelles les surfaces de niveau sont minima.

101. On peut obtenir les mêmes résultats par la méthode du pas-

(IIAC. V. — l'ONCTIONNKI.I.KS II AU.MONKll KS. [\~~

Six^c (lu liiii il 1 iiilliii. Si, iiii lieu ilc l , V , W, *l>, un (((ii^idèic (les (onclioii^ u, r, n' 'i de // \ aiiiiMcs iii(lc|>('iul;inl('s, ou ,\

^;-'9 iif 0- Il 0/ i^v of o-n>

ih'f ~~ <f" ôx] <fi' Ox'f "^ <)»' <)xf

t)ii- \<)x, / ~^ Ov' \i)x,/ i)W' \i}x//

ou, en tlésionanl piir A lii iikinciuic «les // (léiivi'-cs — ;» ' ^^ ' • oxj

,)f ,)f , of I id^f , >r- f , o"- f

Acp = -i-A?/ -H -y-At'-f- -p- Au- + - — ^A,i^-f- — ^ A,^'-h- --^Ai"' lin <jv <hv a \()ii- <lv^ <hv^

l^ors(jue n devient infini, A,//, A,r d A,(T' rcsicnl Unis, cl lOii a bien à la limite la formule [:>.).

De inrme, l'expression de — v donne à la limilc la Idiiimlc ( i i, les ' ' dxj

1 du\'i / di' \- / da'\- . . ,. , , ... 1

leruics en — , ( — et — claut iici;li"cauJcs a coU; des \âxj \dxj \àx,J ^ ^

autres.

102. Conséquence relative à certaines équations aux dérivées fonctionnelles. — Considérons l'cqualion

Désignons par F(^-) une fonction |nlniilive de j- — -• D'après la formule (•>.), cette équation s'écrit

)u, comme A/- = :>.