AF(L
Sa solution i;én('-rale est donc délinie implicilemenl par la tormule
où V désigne une fonctionnelle harmonique quelconque. Ainsi r(kpialion (3) se ramène à Véqiiaiioii de Laplace :
AV = o.
La solution du problème de Diricblet relatif à Téqualion (3), c'est-
378 THOISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE lONCTIONNKL.
à-dire la reclierclie d'une solulion prenaiil sur une surface une valeur donnée Uo se ramène à la recherche dune lonctionnelle harmonique
6|j,ale sur celle surface à F(Uo) — — • Si la solulion de ce problème
est unique j)Our r(''(juali(»n de Laplace, il en est donc de même pour l'équation ( 3).
On remarque que ces circonstances sont analoi;ues à celles qui se présentent chins 1 analyse ordinaire pour l'équation du premier
ordre -j- =if(u)^ et tout à fait différentes de celles qui se présentent
pour l'équation \u = / (a). Ainsi on sait que, pour l'équation \ii^Kii, en analyse ordinaire, la solution du [problème de Dirichlet, bien déterminée en général, devient indéterminée pour certaines \aleurs de A. Au contraire, en analyse fonctionncdle, l'équation
(\) AL=Xi;
admet comme solution générale, d'a})rès ce qui précède, la fonctionnelle ■
\\ , ou ce qui revient au même son logarithme \ , étant une fonctionnelle harmonique quelconque. Le proljlème de Dirichlet est donc détei^miné pour récjuation (^1 comme il l'est pour l'équation de Laplace, dans des conditions que nous préciserons plus loin; cela ne peut pas dépendre de À.
103. Formule fondamentale pour l'étude du problème de Cauchy. — En analyse ordinaire, le problème de Cauchy, relatif à une équation aux dérivées partielles du second ordre, consiste à chercher une
solution u connaissant sa valeur et celle de la dérivée normale -r sur
ai
une surface; pour résoudre ce problème, il est commode de résoudre
1 équation étudiée par rapport a -tt'
En cherchant la (ormule analogue relative à l'équation de Laplace en analyse fonctionnelle, on obtient des circonstances tout à fait
différentes : -7-- n'int(nvient pas dans l'éQuation. Al est en effet une
moyenne entre une inlinité de dérivées secondes, et une de ces déri-
«Il M'. V. — l'ONCTIONMiLI.KS II ARMOMyl ES. }7()
vées, prise is(»l(iii(iil , csl sims luIltu'iH't' siii-«;i \;ili'iir: Al ne (It-pi-iul
p;is dr -—.
\nii-> poiiNmis p;ir contre ohleiilr une relatimi eulre les valeurs
(le l ^ur la siirliici' el — — • l\ous desi^acroiis \>:w -— et —, — le*» <léii\ées (/•) " • t/s r/s-
rolatives à un déplaeemenl sur une se<linii normale de la surlace S, cls désii;iianl reléinent d'are déeiil ; pour un déplaeemenl correspondant sur la lani;enle, la dérivée première a la même valeur, et nous
désii;neri)ns la dérivée >ee()nde par — p— ( ' ). ( )ii a d'ailleurs
dy.'- " ds-i '7/7'
/.désignant la enurhiire de la section normale corres|)ondante ; les déplacemeinls considérés ajanl lieu en elFel dans un plan à deux dimensions, les lornuiles de la i;éomélric ordinaire s'ap|)liqaent sans ditTieuhé.
( >r Al est la moyenne des déri\ées secondes telles que—; — , rela-
^ dy-
lives à toutes les directions de l'espace : c'est une niovenne sur une sphère, et pour la calculer on |)eut ne tenir com[)le que des points situés dans un plan à (-) — i dimensions contenant le centre; on peut
donc considérer AU comme la movenne des valeurs de — ; — dans
dy.-
toute^ les directions du plan tangent. Désignons par A^L la movenne,
dans les mêmes conditions, des valeurs de —7—; celte (luantité ne
cfs- 1
dép<Mid qued<s saleiirs de l sur la surface. Désignons <'n(in par K la
courbure moyenne de la surface S. Nous obtenons la formule
(5) Al =:A>1 -^^^'
d après laquelle le [troblème de Caucliv relatif à léquatiiui de Laplace
(') Nous avons emploxé dans des roiiçlitions analogues la nulalion -— - (première
Partie. Chap. V). Ici il y a lieu d'éviter la confusion avec la variable t, argument
de ia fonction j:(t). 'Sous écrivons de même ici -r- au lieu de -;— pour la dérivée
f/v c/ii
normale, pour réserver ia lellrc // au\ considérations relatives à l'espace à /( dimensions.
38o TROISIKMK PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE' FONCTIONNKr..
en analyse fonclionnclle apparaît comme analogue au problème de Gauchj de l'analyse ordinaire relatif aux équi\ti<jns du premier ordre, el non du second.
104. On remarque d'ailleurs que, si la surface S est minima. la dérivée normale n'intervient même pas. L'équation de Laplace se réduit à As[J:^o; c'est une condition ne faisant intervenir que les valeurs de U sur la surface; nous dirons lorsqu'elle est vérifiée que la fonctionnelle U est harmonique sur la surface S (définition applicable que celte surface S soit minima ou non).
Considérons alors un volume x*^ décrit par une surface minima S, dépendant d'un paramètl^e À, deux positions différentes de cette surface étant sans point commun. La condition nécessaire et suffisante pour que la fonctionnelle U soit harmonique dans ce volume est qu'elle soit harmonique sur chacune des surfaces S ( ').
Cette remarque renseigne sur la nature analyticjue des fonctionnelles harmoniques. La forme de la fonctionnelle harmonique définie sur chaque surface jjeut varier d'une façon tout à fait arbitraire d'une surface à l'autre. On peut en particulier ajouter à U une fonction arbitraire de a. Cette fonction peut n'être pas analytique, avoir des dérivées discontinues, être discontinue elle-même.
Pievenons alors à la formule (5). En n'importe quel point M d'une surface non minima S, la dérivée normale —7- peut ne pas avoir la même valeur des deux côtés de la surface, comme on le voit en appliquant la remarque précédente à une famille de surfaces minima dont l'une, que nous désignerons par 2, touche S en M. La formule ( 5 ) ne s'applique qu'à une des valeurs de —j--
Il est facile de préciser laquelle. On peut supposer que la surface -, si K n'est pas nul en M, soit tout entière dans le voisinage de ce point d'un même côté de S, celui de la convexité moyenne ; —j- peut être discontinu à la traversée d une telle surface ^. Les valeurs deL sur S
(') (le résiillal coiiipiend Corinne cas pavticutier celui du u" >5 d'apiè> lequel il suffit, pour que la fonctionnelle U soit harmonique, qu'elle soit constante sur chacune des surfaces S. D'ailleuis la formule ( 1 3 ) du n' 2'i, dont nous avons déduit ce résultat,
n'est autre que la formule (5j appliquée aux surfaces de niveau U = consl.; — r— a alors,
au signe près, la valeur ^/.iiU.
CIIAIV \. — l'ONCI KtNNKI.I.KS M \I( MO.M(,>L'l S. )Hl
ne (K'ncndciiL alors f'VKiciiiinciil (juc des valcuis di- <Tlle dériver du côté d<' la coiicaNili' nii)\emie de S; c'esl donc la valeur relali\e à ce côté, el au itniiil M , (iiii iiilci\ leiil dans la juriiiule ( j ).
On pciiL arriver an im-ine rééditât en reniplaçanl dans ce l'aisonneinent la surface 1' par le |daii lani;eiil a la smlaee S eu M. (^elle surface n'esl pas nécessaireuieiil loni entière dn nn-me côlé de ce plan. mais elle ICsl presque loni enlnre ( pms(|ne ilans prcstpie lonles les, direclions la eourhure normale a la mènn- valeur mui nnlh- l\ i. el cela suffit pour conclure.
lOo. De cette formule, on petil lirer d i mpnrlanles conséquences relatives aux. dillV-renls |)rol)lènK;s (pu peu\(iil se poser jiourla d(''termination des fonctionnelles harmoniques.
i" Si une louclioiineile liarmoiinpn' esl e(uniue d un c<~ile d un. surlace minima, cela ne permet |kis de délcrminer sa \aleuren aucun poinl situé (le 1 aulre col»'. ^1 Jorliori^ si (die est connue du ( ôt('' de la concavité nio\enne d'une surface S pour laqmdle K soit de signe constant, on ne peut rien en déduire concernant sa valeur de 1 autre côté. Si S est une surlace ouverte limitée par un contour (',, on ne |)eut donc espérer la déterminer que dans le volume compris entre S et une surface minima linntée à C. Si S esl une surface convexe fermée, on ne peut espérer la déterminer qu'à lintérieur.
2" Pla(;ons-nous dans ce dernier cas. Les surfaces U = const. sont des surfaces minima dont on connaît 1 intersection avec S. Le ]>rohlème de Diriclilet (détermination de U à l'intérieur connaissant ses valeurs sur la surface) se ramène donc au problème de détermination de la surface minima limitée à un contour donni'-.
On |)Ourrail poursuivre ces remarques. Mais la démonstration de l'unicité de la solution du problème de Dirichlet nécessite 1 extension de la formule de Green à lanalvse fonctionnelle. Aous allons étudier cette extension. Nous reviendrons ensuite à Ic'tude des propriétés de cette solution.
106. Extension de la formule de Green. — Formons d'abord celte formule par la méthode du passage du fini àl'inlini. Dans l'espace E„, considérons un volume V' limité par une surface S. Nous désignerons
par -p7 la dérivée d'une fonction u suivant la normale à la surlace S,
;ÎS.>. troisième partie. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.
diiii;ée vers lextérieur, et poserons
i / d'^u d'il à- Il
En désignant par a et c deux l'onctions eonllnues dans V' ain^i que leurs dérivées des deux premiers ordres, la formule de Green s'écrit
Tour n'avoir à la limite que des quantités linies, divisons les deux membres par \'>, mesure du volume \'> ; A ayant la même signiiicalion qu'au n" 98, en note, et -)1L\.> et 01^^ désignant des moyennes l'elatives respectivement au volume 'O et à la surface S. il vient
(6') A ;)Hv>( " A'p — (■ A';/) = '"T^-s ( i/ — r — «' ^ ) •
^ \ av a/ I
J^e passage du fini à 1" infini conduil alors aux formules
(' i 1 h OlL v')( U AV — V Al ) = 011 . f' L -^ — A ^ ] .
\ ch d> I
Elles sont équivalentes, la première étant écrite sous forme SAinbo-
lique, et la deuxième ne contenant que des quantités finies.
Le raisonnement par induction qui précède ne constitue pas une
démonstration. Pour démontrer ces formules, il suffirait de montrer
que, si u et r sont les valeurs de U et \ dans la /?'^""' section du
