I .Ni' 4 ' <^" dv ^ ■ i

volume \'. A a. A r. -—;■, -— tendent unnormement ve^^ leurs

d'i IV)

limites AU. A^ , — ^- — ^- Or il en est bien ainsi pour les deux nre-

mières, du moins moyennant des conditions assez peu reslricti\es imposées aux fonctionnelles L et ^ . Au contraire, la normale à la surface S en un point fixe fait avec le plan de la /i"'"'* section un angle qui tend vers zéro, mais le maximum de sa valeur dans toute la section peut ne pas tendre vers zéro quand n augmente indéfiniment, et

■ du , T ' d\j ,,

par suite -^ peut ne pas tendre unnormement vers — ^. rour cette

raison, une démonstration par induction des formule-^ {-) et ( -' ) ne

CIIM'. V. — loNCriONMU.I.KS H MOIoNKiT i:s. 'j83

|>:irail pas iacilc; ikmis alluii-< i)|)(-i'ci' aulrciiiciit , en ii<>ii> a|i|)iivanl «iii-

107. IMa<'()Ms-i\<»iis dalxtid dans le cjis <riiiic surfa(.(! S <lc la |ti«jiiiicri' cali'i^dnc. Il Millil alors de dciiH ml icr j;i ji iniiii le

\\\i imillipliaiil les loïKimiincllcs iiih-gifcs par \ , t|iii a prcscpic par- Idiil la mènif valeur, la (orniiilc icslc ovaclr; inler\ ertissanl los fonct II mil elles U et \ , et relranelianl In ne de laiil re les lonniilcs (ddciiues, (Ml (d)tieiil la loi'iiiiile ( - i.

Supposons dahoid cpie la loin IimuikIIc l suit liainumique ; il

s aiiit de niouli cr (luc la dcii\ée — ^ e^l nulle sur presque toute la stir-

lace. Or l a pres(pi(' pailonl une nuMur \alenr l q. ï.e contour (], delini sur la siirlaee par riMpialion U = L „. eonslilne donc prexpie toute la surlaee. ri par suite sa courbure géodésique niovenne presque partout nulle i n"* 61); en d'autres termes, la surface niinlma deliaie dans v'> par l'équation U = U„, qui coupe la surface S suixant le contour C, la coupe snivanl \in fini;le presque partout droit.

Donc — est nul sur nres(|n<' loiiL le contour C, c'est-à-dire sur

presque toute la suriaie.

Ln raisonnement analogue condnil à la loiniule (S) cpiand U n est pas harmonique. Définissons comme dans le cas précédent le cttntour C, d'équation U= Uo, conslituani presque toute la surface et dont le plan oscillateur moyen est normal à la surface S en des points M const il liant presque toute la surface. En un tel point, désignons par K la coiirl)nre moyenne de S. qui est aussi celle de C, et par 0 l'angle de cette surface avec la surface L = Lq. l-a courbure niovenne de celte surface est, d'après le théorème de Alensnier,

On a d'autre part éNidemmcnt, pour les points M considérés.

= y'A| L' cosO,

384 TROISIÈME PARÏIi:. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNEL.

et par suite

AL = K — r-.

Comme d'autre part, pour presque tous les points M considérés, àÙ,

^ cl\] . . ,

K, et — 7- sont e^aux a leurs moyennes, on a

et, la surface étant de la première catéi;orle, ,'irLj,= Olcv'), ce qui établit la formule (8 ).

108. Considérons maintenant une surface S, de la deuxième caté- <^orie et d'ordre i. On peut la considérer comme lieu d'une simple infinité de contours C de la première catégorie, et dont les mesures sont du même ordre de grandeur, de sorte que, pour chacun deux, la courbure géodésique moyenne est presque partout nulle.

On peut considérer chacun de ces contours comme constituant presque toute une surface S', inscrite dans S et intérieure à S, et, en appliquant la formule (8) à cette surface, on voit qu'on aune relation analogue sur le contour C; les courbures moyennes de Set S' le long de C étant égales, elle s'écrit

ri / I \

Les contours C divisent la surface S en tranches Si, So, ..., S,,; sur chaque tranche S,, d'aire ^S,, K a presque partout une même valeur K,, et l'on a

OTlî désignant une moyenne sur la tranche S/. Or la moyenne sur S s'obtient en donnant aux diverses tranches S/ des poids proportionnels à leurs aires, tandis que la moyenne dans X' s'obtient en leur donnant des poids proj^ortionnels à p^« La formule précédente donne donc, à la limite,

ce qui établit la formule (8).

ClIM*. V. — lONCTIONNEM.KS M AllMONigriCS. SSî

Ce raisoiiiifiiiciil se généralise sans peine à deux polni^ de \iic. Dune pail, on peut raisonner sur la formule (j) au lieu de la Toiniule (S). D'aulrc |)arl, au lieu de surfaces de la deuxième ealégoric et d'ordre i, lieu dune simpl<' inliniu- de contiuirs C, on peut considérer une surface de la deuxième catégorie et d'ordre /;, lieu de variétés de la première catégorie dépendant de p paramètres. La iorinule de Grcen est donc établie pour toutes les surfaces d'ordres Unis.

On peut passer de là aux surfaces dont l'ordre est infini, en remarquant (pi'une telle surface S peut être considérée comme limite de suifaccs S' d'ordres finis, telle que la moyenne sur S' dune fonctionnelle uniformément continue tende vers sa moyenne sur S. 11 est probablement possible de supposer que le voisinage de S et S' est d'ordre i, c'est-à-dire que l'angle des plans tangents aux deux surfaces tend vers zéro, et cela uniformément sur presque toute la surface.

Alors les valeurs moyennes de -r-» et de p (distance du plan tangent

à un point fixe), sur S', tendent i-espectivement vers les valeurs moyennes des mêmes quantités sur S. et la formule de Green en résulte.

Nous ne chercherons pas à rendre ce raisonnement plus rigoureux. l*eut-être serait-on conduit à quelques restrictions concernant le mode de continuité du plan tangent à la surface. Ce qui pi'écède nous permet de considérer la formule de Green comme établie dans presque tous les cas. D'ailleurs les résultats principaux que nous en déduirons dans la suite reposent sur l'application au cas de la sphère, qui ne présente aucune difficulté.

i09. La formule de Green sur une surface. — On peut établir sur une surface des formules analogues à celles relatives à l'espace, et ne faisant intervenir que les valeurs d'une fonctionnelle sur la surface.

Considérons d'abord une surface fermée, S. de la première catégorie. La comparaison des formules (5) et (8) montre que, sur cette surface, A^L est presque partout nul. Ce résultat s'étend, par un raisonnement analogue à celui du numéro précédent, aux surfaces de la deuxième catégorie et d'ordres finis, que l'on peut considérer comme lieux de variétés de la première catégorie sur chacune desquelles A^U est presque partout nul, puis à celles d'ordre infini.

586 TROISIÈME PAHTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIOXm;!..

On peut alors mdifFéremnient écrire

On-s/^^AsU") =o, ORs'-^sC) = o.

La première formule n'est qu'une forme dilTérente de celle de Grcen; la deuxième apparaît comme une généralisation de la formule

relative au cas de l'espace à deux dimensions, ou plus généralement à une ligne fermée dans un espace quelconcpie.

Si l'on considère une portion de surface ouverte, il j a deux cas à distinguer, suivant que le voisinage du contour G de cette surface constitue ou non presque toute la portion considérée. Ainsi, divisons une surface fermée S', par un contour C, en deux portions de surface S| et So. En général elles seront d'un ordre de grandeur différent ; pour la plus petite, le voisinage du contour C constitue presque toute la surface, tandis que pour l'autre il n'en constitue qu'une fraction nég^ligeable. Cela revient à peu près au même d'écrire la formule de Green pour cette dernière portion de surface, ou pour toute la surface fermée. Nous nous contenterons alors de considérer une portion de surface S, située presque tout entière dans le voisinage de son contour C. La formule qui généralise la formule (8) s'écrit alors

— indiquant une dérivation relative à la direction du plan tangent à S

normale à C. et K^ la courbure géodésique moyenne de C. Oa écrit de même la formule qui généralise la formule ("').

Si la surface S est minima, on peut la considérer comme constituant presque tout un volume, limité par une surface S contenant G et normale à S, et la formule (p) n'est pas autre chose que la formule (^8) appliquée à ce volume.

Dans le cas général, on établit la formule (9) en raisonnant sur la surface comme nous l'avons fait dans l'espace pour établir la formule (8). On considère d'abord le cas d'un contour G de la première

catégorie, et Ton démontre que A^l , -r- et K^- sont presque partout

<:ll\l'. V. — KOXCTIONWICLI.KS H AltMOMul I S. iS;

liés |);ir lit l'cliilioii

qui (Innuc la formule ((> i puisque cliacune des quaiitilés cousidérés a presque partout la nit'ine \aleur. Ua passe de là aux eonlours de la deuxle'nie catégorie, d'ordre (ini. [)uis infini.

110. Dans l'espace l'',,, il existe une relation simple entre les formidcs de Green dans l'espace et sur une surface; l'uue peut se déduire de l'autre.

Considérons par exemple un volume V' limite par deux surfaces parallèles S„ et S, et une surface latéi-ale !l!, lieu des noimales à S le long du contour C qui limite celte surface. La foruiule de Green, dans le cas où c =: i . s'écrit

n / A»rfV)= / -—dS— -T-dS^^ -j-d:L.

Ecrivons qu'elle reste vérifiée quand S varie, Sq restant fixe. Il vient r'"~" ,, r[d-u , ,■ du'X ,, rdu ,^

-p désignant une dérivée suivant la direction du plan tangent à S

normale à C. Or

, dUi ^

n \u — -— - = ( » — 1 I \t II,

S[U désignant l'expression de ^^n pour le plan tangent, et

A s '< = A/ « -i- Iv -r-

dt La formule précédente s'écrit donc

/•'"-" „ r^^'-du^^

(n — i) / \f.uab~ I -7- ac^.

(^7est la formule de Gi'een sur une surface.

D'une manière générale, la formule de Green, pour une surface, indique que celle relative à l'espace reste vi'aie. quand une portion S

(le la surface à laquelle on l'applique se déforme, el en parliculier est remplaeée par une surface parallèle.

On peut étendre ce raisonnement à l'espace fonctionnel, et cela donne une nouvelle démonstration de la formule (9). Il suffît encore d'appliquer la formule (j) au volume ^ compris entre deux surfaces |)arallèles et une surface latérale I!, el de faire varier celle des deux surfaces qui est de l'ordre de grandeur le plus élevé.

Ce procédé de démonstration suggère en même temps une remarque nou\clle. Si Ion applique la formule de Green à une surface S', et que l'on déforme une portion S de cette surface d'un ordre de grandeur inférieur à celui de S', la modification considérée n'est pas susceptible d'agir sur les valeurs moyennes de AL et —r-t et par suite de

modifier la formule de Green; le raisonnement qui précède nous montre que cette formule, écrite sous la forme (-), et où les termes principaux sont de l'ordre de grandeur de l'aire rS' de S', apparaît comme si exacte que les termes d'un ordre de grandeur inférieur varient de quantités égales.

Une aire peut de bien des manières se décomposer en tranches dont les rayons de sphère équivalente p varient de zéro à R, et d'épaisseury(p)c?p. L'ordre de grandeur de cette aire apparaît alors comme défini par la valeur, pour n 1res grand, de

Jusqu'ici, nous avons assimilé cette quantité à sa valeur princi-

R" paley(R) ■ — ■; c'est-à-dire que nous n'avons tenu compte que du con-

tour dont le voisinage constitue une tranche qui l'emporte sur les

autres. ^Jais la remarque qui précède nous suggère qu'il peut y avoir lieu de tenir compte des diflerents termes de l'expression (10). Les procédés employés jusqu'ici sont trop grossiers; il faut trouver un moyen de grossir les tranches trop petites de manière à leur permettre de figurer dans une moyenne au même titre que les autres. C'est ce qui va se produire dans l'application de la formule de Green au potentiel, application qui va nous conduire à des résultats tout diflerents de ceux qui précèdent.

111. La formule de Green et le potentiel. — On sait le rôle que

CIIAP. V. — lOXCriONNKM-KS II UlMONIQl ES. jSf)

|Oii(', (l;iii> i f>|)iice E/,, 1 ii|(|)li(iiliou d»; la loiniiilc di- (iicen au ciis

où rime (les loiicl idiis (|iii \ lii^iiiciit est „ > /• (l»''sij;nanl la tlistanco

à un jxtiiil li\<' A. A la liiii ilc, pdiir /< in liai. — — devif ni nul ou inlini,

et ne conduil pas à une lonct Kiiincllc (l(''l('rmiii(''e. f[Mc l'on |)uissc faire li<;iHer dans la fornuile ( -' ). Cela n'empêche pas que la formule de Green, écrile dans les condilions indiquées, conduit à la limite à une formule bien déterminée, \uiû> (jui ne sera pas une application de la formule ("')•

IMaçons-nous dans le cas d'un point A du volume \„ limité par la surface S„. Désij^nons par <j,i la surface de la sphère de rayon i flans l'espace E/,, et désignons toujours par A// non la somme, mais la

moyenne des dérivées secondes ---^: comptons la dérivée normale à S positivement vers l'intérieur.

Ea formule de Green prend la forme connue

On remarcjue aisément que cette formule présente l'aspect que nous attendions; les portions de volume voisines de A sont très petites, si 71 est grand, mais la multiplication des éléments correspondants par le facteur -j^ qui est très grand, conduit à un produit qui reste

lini quand n augmente, et l'on est conduit à ce résultat que, dans l'espace fonctionnel, les valeurs de A;^ dans les différentes couches concentriques entourant le ]ioint A auront une influence sur la valeur de «^.

Pour faciliter le passage à la limite, transformons l'expression (i i) qui comprend trois termes : un potentiel de double couche, un potentiel de simple couche, et un potentiel de volume.

i"' Potentiel de double couche. — Piemarquons que

f/v \rn-i J ~ ' /•«-! ^ ' ''

6 désignant l'angle de la normale en un point M de l'élément c/-S avec

Sgo TROISIÈME PARTIE. — MOYENNE DANS LE DOMAINE FONCTIONNi:!..

la droite MA, et do l'angle solide sous lequel on voit cet élément du point A. Le terme considéré s'écrit donc

± / ud<D.

C'est la moyenne de la fonction u sur la surface S, en accordant i'i chaque élément de surface un poids égal à l'angle solide sous lequel on le voit du point A. En d'autres termes, c'est la moyenne sur une sphère de centre A sur laquelle on effectuerait la perspective de la surface S. Nous l'appellerons « moyenne de u sur la surface S, vue du point A », et la désignerons par D\Lx{u).

Comme Gâteaux l'a remarqué, certe interprétation rend très facile le passage du fini à l'infini. Pour éviter toute difficulté dans ce qui suit, nous considérerons une surface convexe de l'espace fonctionnel; nous reviendrons plus loin sur le cas des surfaces non convexes. Par définition même de la moyenne dans l'espace fonctionnel, la valeur de 011a(U), ou moyenne d'une fonctionnelle U sur une surface S, vue de A, est la limite de l'expression analogue dans l'espace E„, en prenant pour E^ la /«'^'"* section de l'espace fonctionnel, pour S;, la //'^"i"' section de S, et pour n les valeurs de U sur S„.

2° Potentiel de simple couche. — On peut, comme pour le potentiel de double couche, mettre en évidence l'élément dz>. Ce terme

s'écrit alors

/• du '

DTlj

ces 6 (/v

La fonction dont on prend la moyenne restant finie, ce terme tend vers zéro à la limite. Le potentiel de simple couche disparaît, tandis que le potentiel de double couche a une limite finie.

3° Potentiel de volume. — Réunissons tous les éléments de volume intérieurs à un cône de sommet A et d'ouverture très petite do; désignons par p la distance^ au point où l'axe de ce cône perce la surface. L'élément de volume s'écrit r"~^drdo, et par suite le terme considéré s'écrit

— 7 / df / r\a dr = '— D]l, l / /• ^u dr ) ,

CHAI'. V. - I-dNcriONMîl.LKS IIAIIMONIQUKS. 3., 1

.V .Irsi^iianl une splirre do cculrc A d d- rayon i, et .m, la niov.-niir Mir celle sphère.

Kniecluoiis le passa-e du IJni à linliiii ; ' A// tend vers AU. ei cela iinilormémcat, mojennani des conditions très peu restrictives imposées à la fonctionnelle U. Pour le nionlrer. prenons pour /?'*""' section celle relative au point de vue du Chapitre III, les axes étant définis par la suite des fondions trigononiélriques rangées dans l'ordre hahilnel. Su[)posons par exemple que IJ ail sa variation seconde normale; il résulte aisément du n" 41 que la eonvergence de \i! vers Al esl iiuil'oiine poiii\ii que

soient inférieurs en module à un nombre délerminé lorsque -. varie dans l'intervalle (o, i) et que le point représentatif de ^{t) décrit le volume \. De môme, si la variation o-U n'est pas normale, il suffit de conditions très peu restrictives pour assurer la convergence uniforme de lu vers AU. Le [)Otentiel de volume s'écrit donc à la limite

- Dll,sY f rWdrY

Dïis t^'l p ayant la même signification que dans l'espace E„.

La formule (ii) donne donc à la limite la formule fondamentale

■(i3) Ua= OIIa(U) — Oli,/ frMdr],

et, dans le cas des fonctionnelles harmoniques, on a

(i4) U.v=01La(II).

1 1!2. On remarque que, conli'airement à ce qui s'est produit pour la formule (7'), la méthode du passage du fini à l'inliui suffit comme démonstration de la formule (i3). Il n'est d'ailleurs pas difficile de la vérifier directement.

D'après les propi-iétés connues de la moyenne sur une sphère, p est dans presque toutes les directions égal à sa moyenne R, et l'on ne risque pas de rien changer à la formule (i3) en remplaçant S par

iine sphère de centre A et de rayon Pi. il suffit donc de démontrer la formule dans le cas d'une telle sphère.

Soit A^I un rayon de la sphère. Tenant compte de la formule ('5), et A^ U étant, en chacjue point du volume considéré, relatif à la sphère de centre A qui passe en ce point, on a

Ua^Um-T 4^c//=Um+/' rlsUdr— f rlV dr.

Jo ^'' -'0 ^'0

l^renons la moyenne de cette expression lorscpie M décrit la sphère. On a d'ailleurs, par une interversion de Tordre des intégralions ( '),

i^\l I f rl^Ui/A = f 7;)R,.( AsU)f//=o,

D\Lr désignant une moyenne sur la sphère de rayon r; en effet, nous savons que la moyenne de A^U est nulle pour toute surface fermée. Il vient alors

U.v = OÏL ( U ) — D\l ( f r AU f/r

formule identique à la formule (i3), jniisque S est une sphère d.; ravon R.

113. En prenant pour S une sphère de centre A, nous voyons que la valeur d'une fonctionnelle liarnionique au centre d'une sphère est la moyenne des valeurs quelle prend sur la sphère.

Nous connaissions déjà ce théorème pour les sphères infiniment petites.

Réciproquement, toute fonctionnelle jouissant de la propriété indiquée est harmonique; il suffit en effet, d'après le Chapitre II, f[ue cette propriété soit vraie pour les sphères infiniment petites (en d'autres termes cju'elle soit vraie pour o-U, considéré comme fonctionnelle de o:r j, pour que L soit harmonique.

114. Revenons au cas d'une surface convexe quelconque. Le problème de Dirichlet consiste, comme dans l'espace E„, à déter-

(1) Cette opération se légitime par un raisonnement tout à f;iil analogue à celui du n° 116. Il suffit que As U soit uniformément continu.

CIIAP. V. — FONCTIONNELLES IlAHMONKHiES. 3<j3

miner iiiic shIiiIkiii de I r(|iiiili(iii AU = l' [ [./' | | cniiMiiissiml sa valeur