FOXCTIOXS SO.M.MAMI.KS KT FONCTIONS A VARIATION BORNÉE

SoMMAlui:. — .Alevine dim en-eriil)ie de [Miinls. — Fondions mesurables. — fntégialion des fonctions mesurables bornées. — Les fonctions sommables. — Les fonctions de carrés sommables et leur représentation par des séries trigononiél riques. — Les fonctions à varialioii bornée. — L'intégrale de Slielljes. — Les fonctionnelles additives à variation bornée. — L'intégrale double de Slielljes.

Le présent Chapitre contient un résumé de travaux, connus de MM. Jordan, Borel et Lebesgne sur la théorie des fonctions. Pour être accessible à un aussi grand nombre que possible de lecteurs, nous avons pensé qu'il valait mieux ne pas les supposer connus. Mais, |)Our les résumer en un seul Chapitre, nous avons dû supprimer certaines démonstrations et en indiquer d'autres très brièvement. Le lecteur désirant plus de détails les trouvera dans les Leçons sur l'intégration, de M. Lebesgue.

16. Mesure d'un ensemble de points. — Considérons d'abord un ensemble de points trune droite. S'il est constitué par tous les points dun inter\alle. on peut le mesurer par la longueur de cet intervalle. S'il est constitué par la réunion d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d*inter\ ailes sans points communs deux à deux, on peut le mesurer par la somme des longueurs de ces intervalles, somme nécessairement finie si tous ces intervalles sont compris dans une portion finie de droite.

M. Jordan a le premier étendu la notion de mesure à des ensembles plus généraux. Il considère un ensemble E comme ayant une mesure / si, quelque petit que soit c, on peut comprendre tous ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles de mesure totale inférieure à /-f-s, et si, d'autre part, on peut former un nombre fini d"inter\ ailes de mesure totale supérieure à l ^ -. ne

2i PREMIÈRE PARTIE. — LES FONDEMENTS DL" CU.CVL FONCTIONNEL.

comprenant que des points de E. On dit aeluellement qu'un pareil ensemble est mesurable J.

Il résulte immédiatement de cette définition que tout ensemble dénombrable, en particulier l'ensemble des nombres rationnels compris entre o et i, a une mesure nulFe. Par suite, l'ensemble des nombres irrationnels compris entre o et i, cjui comprend dans cet intervalle tous les points n'appartenant pas au précédent, doit être considéré comme ayant une mesure égale à i. Or il n'est pas mesurable J puisqu on ne peut trouver aucun intervalle qui lui appartienne entièrement. On voit donc que la notion de mesure s'étend facilement à d autres ensembles cpie les ensembles mesurables J.

M. Borel a considéré des ensembles plus généraux, qu'on appelle ensembles mesurables B. D'après lui, un ensemble E, intérieur à un inter\alle ab de longueur L, a une mesure l si, quelque petit que soit £. on peut comprendre tous ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles de mesure totale inférieure à /-he, et son complémentaire dans ab (ensemble composé des points de ab n'appartenant pas à E) dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles de mesure totale inférieure à L — l-{-^- Si l'ensemble E n'est pas intérieur à un intervalle fini, on obtient sa mesure comme limite de la mesure de l'ensemble comprenant les points communs à E et à un intervalle qui augmente jusqu'à constituer toute la droite.

L'exemple de l'ensemble des nombres irrationnels compris entre o et I montre que cette notion est plus générale que la précédente. M. Borel a montré qu'on peut, sans sortir des enseml)les mesurables B, effectuer sur des ensembles mesurables B les deux' opérations suivantes :

i" Faire la somme d'un nomlu-c (ini dU d'une infinité di'nomlirahlc d'ensembles;

2" Prendre la partie commune à un nombre fini ou à une infinité dénombrable d'ensembles (').

Indiquons encore que. si un ensemble E est mesurable B, et si l'on

(*) Pour plus (le (Iclails sur ces (|ueslions, et en ]);irlirulier pour la déiiionslralioii du résuUnt de M. Borel, voir H. Lebesgue, Leçons sur l'intégration, p. 36-45 et

I0?,-IIO.

CHU'. Ht. — FONCTIONS SO.M.MAIll.KS KT KONmoNS A VARIATION HORNKI:. l5

fliolsil £ posilil" et, 1res pdil, on peut (Idiiiir im cnsriiiljlc l''.,, composé diin nombre fini (rinlcrvnllrs, Ici que rciiscmljlc des |)oiui>, de I'] n"ji|)|)iiilea;iiil piis i"i I"', iiil iim' mesure inlericiire à î el (juil eu soit de même de reusend)le de> points de E, ix";i[)parlenJiiit j)as à E. Cela rcsidle de ce que, / ('-lanl la mesure de E. les points de cet <'nseml)le peuvent être compris dans une iiilinih- di-nonduahie d intervalles de longueur totale inférieure à l-\-t. <i qu'on jx'ut réduire ces intervalhîs à un nombre lini en enlevant d(.'s intervalles de lonf^ueur totale inférieure à t. N(jus pouvons alors dire, en langage moins précis, que \ on peut approcher aulaiU (fiie l'on veut d' an ensemble mesurable H par des ense/nbles composés d' un nombre fini d^ intervalles.

17. (Quoique la notion d'ensemble mesurable B soit très générale, il existe des ensembles qui ne sont pas mesurables B. IVut-on leur étendre la notion de mesure? On peut être tenté de croire que cette notion peut s'éteiulrc à tous les ensembles de [)olnts d'une droite, et que seule l'impuissance de nos moyens^ de définir la mesure ne nous permet pas de le faire dans tous les cas. Il n'en est rien. Nous allons compléter ces remarques en nioiilrant qu'on peut concevoir un ensemble qui n'est certainement mesurable par aucun procédé.

Répartissons les points d'une circonférence de rayon i en ensembles E tels que, si A est un point d'un de ces ensembles, tous les autres points du même ensemble soient obtenus en portant de part et d'antre de A sur la circonférence les longueurs entières 1,2, .... Appelons *L' un ensemble qui contienne un point et un seul de chacun des ensembles E.

Au sujet de cet ensemble C, nous devons signaler qu'on ne sait d'aucune manière énoncer une règle permettant de définir quel est l'élément qu'on choisira dans chacun des ensembles E; les règles de cette sorte que l'on peut chercher à former s'appliqueront a certains ensembles E, quelquefois à une infinité, mais non à tous. Il en résulte que, parmi les ensembles vL' que l'on peut concevoir, il est impossible d'en choisir effeetivemeni un. D'après MM. Borel, Baire etLebesgue, cette circonstance doit rendre très prudent sur les raisonnements où interviennent des ensembles tels que C. îNous pensons quand même que ces raisonnements ne doivent pas être interdits, pas plus que rimpossibilité pour deux physiciens de savoir s'ils pensent au même

alcme d'hydrogène ne doit les empêcher de raisonner sur ces atomes.

Soit donc »L" un des ensembles répondant à la définition que nous \enons de donner. Ap|)elons Cn et C n les ensembles déduits "de C par une rotation de n dans un sens et dans l'autre. Il est évident que la réunion des ensembles

O— 1 , O, Cl,

comprend tous les points du cercle, sans qu'aucun point soit obtenu deux fois.

Ceci posé, si ^ï" avait une mesure, tous les ensembles Cn et c„ auraient la même mesure ('). Cette mesure ne peut être finie puisqu'il faut une infinitc d'enseml)les égaux à C pour constituer toute la circonférence. Elle ne peut pas non plus être nulle, car a^, «), . . ., a,ii . . • étant des nombres positifs quelconques, on pourrait affirmer que C a une mesure inférieui'e à cIq, que €„ et »l',; ont une mesure inférieure à «,;, et que, par suite, la réunion de ces ensembles, qui constitue toute la circonférence, a une mesure inférieure à

ao -+- -2 ( a 1 -h «2 -I- . • . -H «,i + . . . ),

quantité qu'on peut rendre aussi petite qu'on veut puisc[ue les a sont quelconques. L'ensemble C n'est donc pas mesurable; du moins une définition de la mesure ne peut s'appliquer à cet ensemble que si elle n'est pas telle que la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles ait pour mesure la somme de ces ensembles, et une définition n'ayant pas cette propriété ne correspondrait en rien ta la notion intuitive de mesure.

18. Les notions précédentes s'étendent sans peine aux ensembles de points du plan ou de l'espace, ou même d'un espace à n dimensions.

Plaçons-nous dans le plan, par exemple; on peut définir la notion de mesure par généralisation de la notion d'aire; on peut aussi, dans le plan, avoir à considérer des ensembles de points situés sur une

(') Uno géncralisalioii de la iiolion de mesure pour laquelle deux ensembles superposables tels que C et C,, n'auraient pas même mesure serait sans intérêt. {Voir H. Lebesgue, Loc. cit., p. io3.)

C.IIM'. III. — KONCTIONS SOM.MAIII.FS KT FONCTIONS A VARIATION HOnNKR:. iy

cotirhc cl leur appliquer la notion fie nicsnrc ^généralisant co'llc (]<; lonmitiir. Pour ésilcr loiilc ainlti^nïlr, on dil, dans If premier cas, jnesure super ficicllr cl, dans le second cas, mesure linéaire.

Nous aurons aussi à considérer la mesure linéaire de la projeclion d'un ensemble sur une droite; celle mesure ne peul être nulle (jiie si la mcsiiri' siipcriicicllc csl iiiillc.

19. Fonctions mesurables. — Lue lonclion x{l), délinie dans un intervalle ((t^ b)^ est dite mesurable si, quel que Sf)it le nombre i, l'ensemble des points de cet intervalle pour lesquels x <i\ est mesurable. Soit l=f{^) sa mesure. La fonction f('i), qu'on ap|)ellc Jonclion sommaloire de arf/), dans l'inlervallc ((7. //), n'est jamais décroissante, c'est-à-dire que

entraîne

Si x[t) n'est inlini qu'au plus pour les points (Vnn ensemble de mesure nulle,^ (^) croît de o à L= /> — a lorsque ^ croît de — c» à H-oc. Cette fonction peut croître par bonds discontinus; si x{l) est égal à une certaine valeur ^ pour tous les points d'un ensemble de mesure a non nulle, la fonction /'(H) croît brusquement de a lorsque ; devient supérieur à cette valeur.

L'ensemble des points de l'intervalle {(i, b) pour lesquels

a pour mesure

Toute fonction continue est mesurable. 11 en est de même des fondions admettant un nombre fini de discontinuités. Mais la notion de fonction mesurable est biei^ plus générale.

On démontre aisément que la somme, le produit, le quotient de deux fonctions mesurables sont des fonctions mesural)les, et que toute opération continue, effectuée en partant de fonctions mesurables, donne de» fonctions mesui\ibles.

20. Intégration des fonctions mesiu-ables bornées. — Si, dans tout l'intervalle («, i»), on a

il suffit de faire varier ç de m à ^1 pour que /'(;) croisse de o à L = 6 — a.

Divisons l'intervalle (m, M) enyj> intervalles partiels par des points de division Xi^X-., .-., Xp i. Désignons par ;,- un nombre quelconque de l'intervalle (.z-/,,a?/) (en posant XQ=Tn^ .r^=:M), et par Df{xi) l'accroissement de f(x) dans le même intervalle, c'est-à-dire f[Xi) — f{xi i); c'est une quanlité essentiellement positive. Considérons la somme

Elle est comprise entre y.Xi iD/{Xi) et 'Zxi'Df(x,). La preii'ière de ces quantités allant en croissant quand p augmente, la deuxième en décroissant, et leur différence

^(.Ti—Xi-i) Df(xi) < LMa\{x, — x,-i)

tendant vers o quand le nombre des points de division augmente indéfiniment, le plus grand des intervalles (a?/i, x,) tend vers o. L'expression (i) a donc une limite dont on démontre aisément, comme dans la théorie des intégrales définies ordinaires, qu'elle est indépendante du mode de division adopté. 11 est naturel de désigner cette limite par

en utilisant une notation (intégrale de Stieltjes), que nous généraliserons plus loin.

Dans le cas où x{t) est une fonction continue, on démontre aisément que l'intégrale (2) est égale à

(3) / xit)dt.

La figure ci-contre montre en effet clairement que le produit liY}f{xi) représente l'aire de l'ensemble des rectangles de hauteur ;,et avant pour bases sur l'axe des t les intervalles (//,, //), ( /;, t]^), (^/,, i'i) dans lesquels x{t) est compris entre x,, et .r,-. L'indice i variant de 1 à />, ces intervalles réunis constitueront tout l'intervalle (a^'b). et l'expression (i) est représentée par une aire, limitée

cil M'. III. — l-ONCnONS SOMMAUI.ES F.T FONCTIONS A VARIATION IIOKNKK. 2f>

siipriieiircmeiit par une lii^nc hiistr dont lortloniire dillt-re de x{l) (1 Une ([iianlilé InfV'riciire au maxiinuiu de {Xi — x,-,). Celte aire tend donc vci> lalrc < iii\ili-ii(' itiu-ésenlée par rinlrj^ralc (3).

Celle lliéorie csl due à M. Lebesj;ue, Son intérêt consiste en ce que l'expression (:>.') conserve un sens dans des cas où 1 inlé^rale au sens ordinaire du mot n Qw a pas. On peut alors considérer l'inlé- {^rale de x{t) dans rintcrvalle (r/, h) comme égale, par définition, à l'expression ( 2 ).

Ou remarque, en cllcl. que l'on peut modifier la valeur de xij) pour les points d'un ensemble de mesure nulle sans rien changer à la fonction sommatoire /(; ). et \m\y suite sans rien changer à l'intégrale (2), qui ne dépend pas de celle fonction. Au contraire, par un

Fig.

ff;

tel changement, la fonction .r(/). si elle était continue, ne le reste pas, et l'intégrale (3) cesse d'avoir un sens.

Un ensemble de valeurs prises par la fonction x{t)^ au point de vue de l'intégration des fonctions mesurables, n'a donc d'intérêt que si l'ensemble des valeurs correspondantes de ^ fi une mesure non nulle. Ainsi l'intervalle [xi{^ Xi) n'est à considérer que si DfWi) n'est pas nul. Pour le calcul de l'intégrale (3), la valeur de Dy'f ;/), mesure de l'ensemble des valeurs de t considérées, importe seule, et non la situation de l'ensemble considéré dans lintervalle («, b). Mais

3o PRKMIKRE PARTIi:. — LES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL

pour le calcul d'une intégrale du tjpe plus général

j o{t)x(l)dt,

o{t) étant une autre fonction mesurable, il importe évidemment de <onnaître les valeurs de cp(f)pour les points de l'ensemble considéré, et pour cela de connaître la situation de cet ensemble dans l'intervalle (a, b).

Nous conviendrons de considérer une fonction mesuralde x{l) comme connue si l'on a les éléments voulus pour calculer l'intégrale précédente, quelle que soit la fonction également mesurable ç(^). On voit aisément qu'il faut et il suflit, pour cela, que la fonction sommatoire soit connue, non seulement pour l'intervalle (a, b)^ mais pour n'importe quel intervalle tel que (a, c), c variant de a à b, et par suite pour tout intervalle intérieur à l'intervalle (a, b).

21. L'intégrale définie généralisée d'après M. Lebesgue possède la plupart des propriétés de l'intégrale ordinaire. Les formules d'addition

i x{t)dt= / x(t)dt-h / x(l)dt,

Il ^' IL • <■

(5) y [x{t)-^y(^t)]dt=^ x{t)dt+ .ri.t)dt,

la formule

/ x{t) dt i I \x(t)\dt, <J II ^,1

la formide de la moyenne

(7) J x{t)y(,t)dt = X j' yU)dt [y {t)> o, pi<\ <M]

et l'inégalité de Schvvarz

(8) \J x{t)y{t)dt\ 1 f x^-{t)dl f y^{t)dt

restent exactes et se démontrent aisément. Par contre, la formule

/ x{t)dt = x{i)

(:il\l>. m. — R)Mt;TI()NS SOMMAULES KT fonctions a VAIUATIOX IlORMOE. il

[)Ciil rire eu di Ijnil, [misqu'on peut clianj;er la valeur de x{l ) poulies |)ninls (I un ciiseiuble de mesure nulle, et eu particulier au point / = T, sans clianj;er le pieniier niend)re; uiai> elle ne |>eul èlic en d(''faut (pie j)mir les poiiils d un enseuiMe de mesure nulle.

!2!2. Les fonctions sommables. — ,Citnsidérons inainlenanl une fonelion mesurable pouvant deveitir infinie, mais seulement pour les points d'un ensemble de mesure nulle, de sorte que la fonction y(ç) tend vers o si ^ croît indéfiniment par valeur néf^ative, et vers L si ç croît indéfinmienl |)ar \aleuis positives. Il peut arriver (pie les intégrales

qui augmentent avec M, aient des limites finies lorsque Al croît. L'expression

(10) r"%rf/(?)

a alors un sens bien défini. Si d'ailleurs x{t) est finie, elle se réduit à rintégrale (a), et si, sans rester finie, x{t) est telle que l'inté-

grale

x{t)\ dt

ait une valeur finie, on démontre aisément que l'intégrale (9) est -éîrale à

(3) f r{t)dt.

Dans les cas de fonctions où l'intégrale au sens ordinaire n'existe pas, et par généralisation de la définition donnée n" 20. nous prendrons avec M. Lebesgue la formule (10) comme définition de l'intégrale de x{^i) dans l'intervalle (a, h).

La fonction ic(f) est dite sommable lorsque cette définition s'applique. Une fonction sommable est donc une fonction mesurable pour laquelle les expressions (9) ont une limite pour M infini.

On peut songer à généraliser encore cette définition en considérant

32 PREMIÈRE PARTIE. — lES FONDEMENTS DU CALCUL FONCTIONNEL.

l'expression (lo) comme ayant un sens lorsque

(II) / \df{\)

a une limite pour M infini. Cela serait sans grand intérêt, car il pourrait arriver, si les expressions (9) n'ont pas toutes deux une limite, que la limite de (i i) et Tintégrale (3) aient toutes deux un sens mais ne soient |»as égales.

23. Les fonctions de carrés sommables. - — Si l'on applique la méthode d'intégration de M. Lebesgue au carré de la fonction ^(/). on est conduit à former l'intégrale

f ?^^//(?)= ( xHt)dt.

Si cette intégrale a un sens, la fonction a7(/) est de carré sommable. La comparaison de cette intégrale avec l'intégrale (10) montre qu'une fonction de carré sommable est elle-même sommable, mais qu'une fonction sommable n'est pas nécessairement de carré sommable. La notion de fonction de carré sommable est donc plus restrictive que la précédente.

Si les fonctiolis x{t) et y{t) sont de carrés sommables, leur distance, définie par la formule '

r-= I [y^ t) — x(t)Y- dt^ l x^(t)dt—l y^-{tjdt—il x{t)y(t)dt

a un sens. Pour le démontrer, il suffit de vérifier que le dernier terme de l'expression développée de /'- a un sens. Si nous appelons 3Cii{t) et }'j,(;) des fonctions respectivement égales à x(t) et y{t) lorsque celles-ci sont comprises entre — M et -f-M, et, dans le cas contraire, à ±1 M, suivant le signe de x{t) el y{t), nous pouvons écrire

/ \^yi{nyii(i)\dt\ S f x^iitjdt f yliit)dt.

Lorsque M augmente indéfiniment, le premier membre de cette inégalité croît constamment, en restant inférieur au second qui a une limite. Il a donc une limite, et l'inégalité de Schwarz reste vraie à la

CHAI'. III. — FONCTIONS SOMMARf-ES KT FONCTIONS A VARIATION HORNÉK. 3i

liiiiil<'. Il CM r(-<iill(' hicn ([iic le (jcriiiff Ici'nic i\r rc\[)ic^si()a dôvel()|)|tr'e <lc /■- il lia Ncii-,.

La (Icliniliiiii miriiiiilc de la dislaiici' s a|i|(li(jiif donc dan> loiit le cliam|) des Innclions do carres bommahle^. cl la distance de deux Idiiclioiis (jii(dcoM(|iies Ar ce cliamj) c^I liiiic.

2i. Les fonctions de carrés sommables et leurs représentations par des séries trigonométriques. — La noiion de fonction de carré soiumahlc poiixanl ne pas paraîlrc 1res simple, nous allons montrer qu'on peut approclier autaiil quOn veut d une telle lonclion [)ai' des fonctions plus sim])les.

La définition considérée de la distance vérifiant cette condition que la distance de deux fonctions est toujours au plus égale à la somme deleurs dislances à nue lnli^iémc. nous pouvons eflectuer successivement en |)artant de X{() plusieurs approximations nous conduisant à former successivement des fonctions X i ( / ). . . . , X^( t) ; si les dislances de deux apjnoximalions consécutives sont inférieures respectixcmcnl à î, $,,. la distance de x{t ) et \p{t) est inférieure à

i" Comme première ap[)roxiination. prenons pour X, ( / i une des fonctions Xj|(/) définie n" ^3. On voit aisément c[ue

f [.i-in- XM itq-^d(= f ( : ^ Af ;2 dfi ; • + Z' ( ; - "^i )- àf( ? )

peut être rendue inférieure à tout nombre donné s^ si M est assez gi'and. On approche ainsi autant qu'on veut de a:(/ 1 par une fonction mesurable bornée X, (f).

2° M étant la limite supérieure de |X|(^^)|, divisons l'intervalle ( — M, H- M) en intervalles inférieurs à to^ et remplaçons les valeurs de X, [t) intérieures à chaque intervalle par une valeur déterminée choisie dans chaque intervalle. Non? obtenons ainsi une fonction Xo(^) n'ayant qu'un nombre fini X de valeurs distinctes ;, ;>,

et approchant de X, (t ) de moins de s^-

o" L'ensemble des points de l'intervalle (o, i). où Xo( /) prend

chacune des valeurs ;/. est mesurable. Nous pouvons donc l'approcher par une somme dun nombre fini d'intervalles de manière que les points appartenant à cet intervalle sans appartenir à l'iînsemble ou inversement constituent un ensemble de mesure inférieure à ~rz- L'ensemble de tous les intervalles ainsi formés en considérant sncces- .^ivement chaque valeur ç,. . . . , ç-^ ne reconstitue pas nécessairement l'intervalle ( o. i ). mais les inter\alles non comptés ou comptés plusieurs fois ont une longueur totale inférieure à ■^- La fonction \ //). é£:ale à o dans ces intervalles, et égale dans chacun des antres à la valeur ^/à partir de laquelle cet intervalle a été obtenu, est à une distance à X2(^) inférieure à S3. C'est une fonction obtenue en di\isant l'intervalle de variation de t en un nombre fini X' d'intervalles partiels et en choisissant une valeur constante dans chaque intervalle.

.\° En chaque point de discontinuité de \3{t), on peut rétalilir la continuité et celle des dérivées jusqu'à tout ordre donné /) en ne modifiant les valeurs de la fonction que sur un petit intervalle de longueur ":^ > et en la modifiant en chaque point dune quantité ^ ^L La fonction X-ii") ainsi obtenue est à une distance de X3 (^) inférieure as-,.

5'* Si /)^2, la fonction X,!^) est sûrement représentable par une série Irigonométrique uniformément convergente. On peut la limiter à un nombre fini de termes et obtenir ainsi une série limitée

Xrj' f) = ' Al C05 2 n/ -^ Bi sin 2-/ ^ . . .^ A„ cos ).«-/ -^B„ =^\n 2 n-f

dont la distance à \;[f) est inférieure à t^. et dont par suite la djstance à x( t) est inférieure à

quantité aussi petite que l'on veut. Or, de toutes les séries de la même forme que X.5(«), celle dont la distance à x{t) est minimum est la fonction

(12) -i„i /j = r- «i C0-: iT.t — bii'in-2-t ^-. . .-^ OfiCoan / -t- b,i sin > «-f,

formée avec les coefficients de Fourier

ai= 2 I x(f)coiii-t df. bi—-j.( xu ^i-\n?.i-f dt . / = n. i /? 1.

(MM-. III. — lOMIIONS S()MMAIll.i:s KT l'ONCIIONS A VAHIATION llollM.i;. 3 '>

Lu rniiclinii 'i„ (/ ) csl donc (lisl.iiitr «le / ( / ) <li; mm ii-, tir : i-l convcrj^e l'ii iiioM'iiii*- \crs relie IniKiioii (|ii.iii(l // <le\i<'iil iiiliiii. On |ieul iilui's (lii-e (|iie .r( M e>| .. icpiw'senliilile .. [lar une --eiie I li^^niioiml i n|iie, |)ien (|iie ((Ile ^t'iic lie soil |»:is ne<'es>;iii(Mienl eoiivei i;<!nle |>(im Icmles les Viileiil-^ <le /. \'Al eei-iviinl (|iie l;i (li^l;iiiee de ./ ( / i el de 'i,j (/ j leiid \ei-s (I, (in (dilieiil l.i ioiniiile

(Il) >l tHI)<Ii^ — '\-<i\ + I'\\--.'-\-"1^'>1-^----

lu sciic (|i:i limire ;i(i second meiiilire eliinl nec(!ss;ii reiiieiil iniiveiticnle.

^IVt. I .(• icMill.il (|iie nous venons d"ol)lenir ;i(l nie! iin- reci|)i'o(|iie. (iOUsidei oiis niie ^ei le h i ^oiioiiiel I K | ne loiinee ;i\e( d("> coeHicienls 'lui f'n l'I*' '1'"" ( I i ) (i\ i- l)\ ->r . . . -\- a}, 4- hf, -f- . . .

soil C(ni\ eri^eille. Je dis (|ii il lui C(tri-es|»( nid une loiielioii de c;irre sonilliaide .rf / ) Ineii deleinilliee.

Cela signiriê, non (jiic l.i sene ((Mlsideiée soi! C(ni\ ( r;^eiile. ni (|ue nous sachions cale nier e(re( 1 i\ (iiieiil ./•(/). mais, d'après le n" ':2 1 . (|iie \\)\\ sail ( al( nier la ((MiclKm sinnmaNn i (r / i ; ) el aussi l.i loin lion analo^ne relalive a n"ini|Knie ([ikI eiis(;inl)l(; niesiiialde I , ( i)m|»ose de pdinls de rinlervalle ((>. i i. Soil :;•(;) celle lonclnni |Mnii un (înscmlile 1! delei iniiK'. Soil ^«-«f ; ) la lonclnni analoune oliiennc en icm|da( an! ./ ( / i |iar

o„( / ) =: 5 ^ rt, cos ■x-l-\-b\s\w}.-t-\...-\-a„ vtt>ij.r./it -+■ l>„ s in ir.iil .

Il h'ayil. de demoiilrei (|ne 4'„(';) leiid isani |ienl ilic en cerlaiiis [loinlS COnslil iiaiil nn enseinldc de mesure nulle l \ers une loin lion (Iclcnnince ^(;). I) une manière piv-cise, nous allfuis imnilrci (|iie la «•(mille représenlaiil la lonelioii non dt-crtussanle i,'„( :i 'la eoiirue. elanl rendue ((nilinne au\ |l(nlll-^ de (lis( (Uil iimile |>ar un Irail \erlical ) a une limite.

puisse être compris entre les courbes représentant ^«(ç) et g,r{l)- H en uésulterait évidemment que les fonctions gn{^) et ^«-(ç) différeraient d'au moins z pour les points d'un ensemble de mesure s. Le carré de leur distance serait alors sujiérieur à t^, ce qui n'est pas |)ossible, puisqu'il a pour valeur (en supposant, par exemple, «'> 7i)

(piantité qui tend vers o ])0ur N très grand.

L'existence d'une fonction ^'(;) déterminée pour chaque ensemble E, par suite l'existence d'une fonction mesurable x{t) bien déterminée, sont ainsi établies.

Si l'on applique alors la méthode d'intégralion de ]\L Lebesgueàla délerminalion de l'inlégrale

on trouve qu'elle est la limite, pour n infini, de

Ç ^l{t)dt= f ?2c//„(?)= - {'■^-ha] + b\-^... + al + bl),

limite qui est finie par hypothèse. Donc la fonction x{t) eit de carré sommaljle.

Si enfin on applique à cette fonction les formules de Fourier,

A,i= / x{t) co?,i~nl dt, B„ = / x(t) sh\>~nl d/,

on constate par la même méthode que A,^ et B,; ne sont autres que «„ et b,i. La fonction de carré sommable a:[t) admet donc bien comme coefficients de i^'ourier les nombres «„ et 6„ donnés.

On voit qu'il y a identité entre la donnée d'une fonction de carré sommable et la donnée d'une suite de coefficients a„ et bn dont les carrés constituent une série convergente.

Nous étendrons ces résultats au Chapitre MI à des séries de forme plus générale.

CIIAP. III. — FONCTIONS SOMMAnLFS ET FONCTIONS A VAIllATION HORM;i:. Ij

î2G. Les fonctions à variation bornée. - Considérons une fonction x{l) bornée délinic dans l'inlc'r\;dlL' (o, ij. Di\ isons cet inlcr- Viill(; en/j intcr\ ailes partiels par les points de division T| . t-^, ..., t,,.., . Ap|)elons l),;r riicciMtisscinciil de x{l') dans riiilervalli' de ran^ /. Posons

el appelons Vp la limite siipérienre de T lorsque les points de division varient, leur nombre restant constant. Lorsque p augmente, T p ne peut que croître ou rester constant; pour p infini, cette quantité ne peut donc c|ue, ou devenir infinie, ou tendre en croissant vers une limite finie M. Dans ce dernier cas, on dit que la fonction x{t) est ^> variatio/i bornée, et M est sa variation totale dans l'intervalle (o, i).

On peut distinguer les D/.r qui sont positifs et ceux qui sont négatifs. Soient !7 la somme des premiers et — rj' celle des seconds. On a

évidemmenl

./,• ( I ; — :r ( o ) = (X — a', T = a- -i- ct'.

Lorsque T tend vers M, t el o-' ont deux limites m et m' telles (jue

(if) ) x{\) — j'i G 1 = m — m' , I\I = m 4- ni\

Si, au lieu de l'intervalle (o, i), nous considérons l'intervalle (o,^), / étant variable entre o et i, on peut définir les quantités F(f), ©(^), 'J;(^) analogues à M, m et m', et qui, lorsque t croit, ne peuvent pas décroître. Les formules (i(i) deviennent

La première de ces formules nous montre que toute fonction à variation bornée est une difFérence de deux fonctions non décroissantes. Il j a d'ailleurs une infinité de manières de représenter jr(^) par une dilFérence de telles fonctions ^{t) et W{t')\ de toutes ces manières, celle que nous venons de définir est celle qui rend minimum la somme

*l /) — (o)-+- U''(<) — it'(o).

Cela résulte de ce que la variation totale de ^{ t) — ^l'(0 ^^^^^ V'\\\tervalle (o, /), au plus égale à cette somme si *(^) et ^'{l) sont des fonctions non décroissantes, lui est précisément égale lorsque ces

fonctions sont formées en partant de x(t} comme nous venons de 1 indiquer.

27 Considérons la fonction cp {t), qui est une fonction non décroissante, c'est-à-dire telle que T> / entraîne

et croissant de o à ni quand t croît de o à i. Nous allons la décomposer en une somme de plusieurs fonctions plus simples.

Cette décomposition peut être rendue intuitive si Ton considère des masses positixes pesantes réparties sur l'axe des t et qu'on suppose que C2 (t) soit la somme des masses situées sur Tintervalle ( o, t).

1° Il peut arriver qu'en un point t soit située une masse finie a. Appelons 'f i ( 7) la somme des masses de cette nature situées sur rintervalle (o. t). En chaque point 6 où est située 'une masse a, la fonction 'z> t { t) a ce c[u'on appelle une discontinuité de première espèce, c'est à-dire qu'elle a une limite lorsque t tend vers H par \aleurs inférieures à 6 et qu'elle en a une autre, supérieure de a à la précédente, lorsque t tend vers 9 par valeurs supérieures à ().

La fonction non décroissante '^ {t) ne peut d'ailleurs avoir que des discontinuités de cette nature, et comme à chaque point de discontinuité eï.t attachée une partie finie a de l'accroissement total m de 'j {t), ces points constituent au plus une infinité dénombrable, et la somme de toutes les tjuantités a est finie. Si Ton a bien tenu compte de tous ces points dans la définition de cp (i). la différence 'f (0 — 'f i lO est une fonction continue non décroissante.

2" 11 peut arri\er que des masses soient réparties sur l'axe des t avec une densité |)Ositi\e 'x{t)\ il en résulte, sur rinter\alle (o, i) une masse

(18) o,it)= f ii(')d-z,

qui est une nouvelle partie de la masse totale 'f (^» située sur cet intervalle. La fonction 'x (t) peut d'ailleurs être une fonction somniable posilixe quelconque.

3" On peut concevoir une répartition des masses telle que toute la niasse soit située aux points d'un ensemble de mesure nulle, et que cependant en aucun point ne soit située une masse finie : une telle

CII\P. III. — l-ONCTIOiVS SOMMAIU.KS KT KONCTIONS A VAHIATIOV IlOIWKi:. {9

rrpaililittii ne sera évidemment pas it-diicliMc aux deux |»ré(i'(|riiL<,'S.

Doiiiioiis-on un cxcmplf, dû à M. Lcl)csj;iic.

Soil à ic|iailii- une niasse 1 mu linlervalle (o, 1 ). I)i\isoiis cet inlfi- \alle en liois inler\ ailes é^aiix ; e<-iiii du milieu ne contiendra aucune masse et la masse sera iM-jiartie éj^alement entre les deux autres. Divisons mainlenani eliaeiiii de ces deux inter\ ailes en trois intervalles éi^anx sur les(jiiels nim^ (i|)i''ienins de ir.(''me. et ainsi de suite. Vprès /> oneialions. nous obtiendrons des inter\ ailes éi'aux à -— : 2 /' d entre

eux contK'iidront eliaeiin une masse — , et les antres ne contiendront aucune masse. Lors(pie /> de\ lenl infini, la somme des intervalles

contenant des masses a une longueur ( - ) (ini tend \ers <• : à aucun

point ne reste attachée une masse linie, et l'on obtient à la limite une répartition liien détermint'-e en ce sens que. pour chaque |)oint t, la fonction égale à la somme des masses situées sur linterNalle ( o, t)

a une \aleur bien déterminée, (pi'on peut calciilei à — ; |*i"''^ ''i Ion connaît /il — près.

Nous [)on\ons donc concevoir des masses réparties avec une densité infinie dans un ensemble de mesure nulle, sans qu'aucun point contienne de masse finie. Soit 'J3 (t) la partie de '■s(t) correspondant à une telle répartition.

28. Les fonctions -.i, ( i), cco^/) etcssf/^ sont évidenimeut iirc-ductibles les unes aux autres, de sorte que la fonction

représente une fonction non décroissante plus générale qu'aucun des trois termes. Nous allons montrerque toute fonction non décroissante peut être mise d'une manière unique sous la forme (if) ), et indiquer le moven de former les trois termes.

Nous avons déjà indiqué que la connaissance de '■^{{t) résulte de celle des discontinuités de '-p(/) et que, par soustraction de la fonction cpi(/) obtenue, on est ramené au cas dune fonction oit) continue. Plaçons-nous donc dans ce cas.

La fonction '-^^(t)^ par définition, ne \ariant que pour les points d'un ensemlile dé mesure nulle, si C2( /) est de la forme 'jofO H-'-^si/)?

o{t) a en dehors des points de cet ensemble même dérivée que 'fo(/), soit m.(/), sauf pour les points d'un autre ensemble de mesure nulle, et 02(0 peut être obtenu par intégration de cette dérivée. La fonction 03 (/) en résulte, par différence.

IMais il n'est pas évident qu'une fonction o{t)^ continue et non décroissanle, dont on ne sait pas à l'avance si elle est de la forme cp2( ^ ) -f- 'f3 (0' ^dii^ette une dérivée ])-{t) définie presque partout (c'est-à-dire sauf pour les points d'un ensemble de mesure nulle). On peut éviter cette objection en passant par Tinlermédiaire des fonctions sommatoires.

Considérons la fonction continue

(20) ^.,{t) — \t= f [ix{-)-}.]d-.,

et décomposons-la, d'après le procédé indic[ué n" '26, en une différence de deux fonctions 'fi(f-) et ']>>,( 0 continues et non décroissantes. La fonction '•^i{i)t dont la connaissance résulte ainsi de celle de cd(0, est évidemment égale à l'intégrale de [J. (t) — À, dans l'ensemble des points situés entre o et t et où cette fonction est positive, c'est-à-dire que, si /r(i) désigne toujours la fonction sommatoire de pL( f ) dans l'intervalle ( o, t),

d'où l'on tire

formule (|ui définit ftij-U dont la connaissance équivaut à celle de ^{t).

Si l'on applicpie ces formules en parlant, non de '-^alO' 'i^ais d'une fonction '^{t)-, continue et non décroissante, à cela près quelconque, on vérifie sans peine qu'elles ont toujours un sens, la fonction '^),(^) ayant en tous les points, sinon une dérivée, du moins une dérivée à droite elune dérivée à gauche. On arri\e donc à une fonction ^{t) déterminée, dont l'intégration donne une fonction ^^{t).

Si l'on recommence les calculs en partant de cette fonction '^2(/), on doit évidemment retrouver les mêmes fonctions /;(ç) et \i-{t). C'est donc que les deux déterminations trouvées pour '-5),(f) [en par-

CIIAP. III — FONCTIONS SOM MAllI.KS KT FONCTIONS A VARIATION IlOUNKK. 4'

tant (le 'J(/) ou de t3.j(^ )| oui une (liMcicucc iiidi-pi-iKlaiilc <lc ).. |)ar suite <''j;ale à 'j>{t) — o-^i i) '-= '■^:i{t)-

En lanj^age moins précis, le procccli' eiii[)l()vc pour trouver 'J-i t ) eu parlant de ^(l) fou '-32(0] '^^^ ^^ suivant : pour sa\(iir dans quel ensemble ^(t) est compris entn^ o et A, on clierclie dans cpicl onsend)le o(f) [ou «3(0] croît moins vile que A/, c'est-à-dire dans quel ensemble C2(^) — Af est décroissant. On trouve le même résultat en parlant de '-^(t) ou de '^^{l). Si donc '-53 (^) n'est pas nul, c'està-dire si »(/) croît plus vite que o-iij)^ dans un ensemble où il en serait partout ainsi, on peut allirmer, en taisant croître A de o à ce, que ''^{t) — \t et '^^^t) — "a^ ne peuvent cesser d'être croissants, ni séparément, ni simultanément (^cardans la partie de l'ensemble où ils cesseraient d'être croissants pour la valeur considérée de A, ils seraient tous les deux croissants de la même quantité que "ht). Donc, dans l'ensemble considéré, '-p(^) croît plus vite que \t^ quel que soit \. C'est un ensemble de mesure nulle où o[t) croît a\ec une vitesse infinie. En dehors de cet ensemble, '■:>{t) croît comme '■:>2{f)' La différence '^[t ) — '-Soi /), qui est continue, et croissante seulement pour les points d'un ensemble de mesure nulle, est bien du type désigné par Z)3{t).

La possibilité de représenter cp(/) par la formule (19) est donc démontrée. Le même résultat s'appliquant à la partie décroissante, ou non croissante, x{t), et par. suite à x{t)^ on a pour cette fonction «ne décomposition de la forme

Le premier terme correspond à une infinité dénombrable de masses, positives ou négatives, dont les valeurs absolues ont une somme finie; il est discontinu aux points où sont situées ces masses et constant ailleurs. Le dernier terme jouit également de la propriété de ne varier que pour les points d'un ensemble de mesure nulle, mais est continu. Le terme x-2{t) est continu et jouit de la propriété de pouvoir être obtenu par l'intégration d'une fonction sommable, qui peut être définie presque partout (ce qui est suffisant), comme étant sa dérivée, ou celle de x(t); une telle fonction est dite absolumenl cojitinue.

29. L'intégrale de Stieltjes. — Soit x{t') une fonction à variation bornée définie dans l'intervalle (o, i); soit z{t) une fonction continue

42 PREMIKRE PARTIi:. — LKS FONDEMENTS DU CALCUL FONCTtONxNEL.

délinie dans le même intervalle. Divisons cet intervalle en p par des points de division /,, ; . ., //,,. Appelons D/ a? raccroissement de x dans l'intervalle de rang i et t/ une valeur de t dans cet intervalle. La somme

tend, lorsqu'on augmente indéfiniuient le nombre des intervalles de manière que le plus grand d'entre eux tende vers o, vers une limite bien déterminée, indépendante du choix des ti et des t/, que Ton appelle V intégrale de Stieltjes et qu'on représente par la notation

z{t) dx{l).

Nous avons déjà utilisé cette notation, dans le cas où ^(f) =:= ^ et où .r(/) est une fonction croissante, poiir exposer la méthode d'intégration de M. Lebesiîue.

(Jlette intégrale est le numérateur de l'expression qui définit la moyenne àc^\?i fonction z-{l)^ si l'on donne aux différentes valeurs de ^(0 <fps poids proportionnels aux masses liées à la (onction X {t).

La décomposition de x{t) — .r(o) en trois termes donne immédiatement pour l'intégrale de Stieltjes l'expression

Laz(J))^f iJ.(t)z{/)dt-+- j z{t)dxi{t),

les a et la fonction [J-i l) étant délinis comme nous l'avons vu-n° 27, mais étant ici de signes quelconques. Le premier terme ne dépend que des \aleurs de la fonction z(/) pour les points de discontinuité de la (onction x{l)^ le troisième ne dépend que des valeurs de z-{t) pour les points d'un ensemble de mesure nulle et n'est pas représcntable par une expression plus simple que Tintégiaie de Stieltjes ; le deuxième dépend au conti-aire des valeurs de z-(j) dans tout ensemble de mesure positive où [j-(^) n'est pas nul.

30. Les fonctionnelles additives à variation bornée. — La notion de n»esure des ensembles et la méthode d'intégration de M. Lebesguo s'étendent sans peine aux espaces à plusieurs dimensions. Pour l'extension de la notion (h- fonction à variation bornée, il faut faire intervenir des notions se rattachant au calcul fonctionnel.

<:il\l'. III. — KONCTIONS i-OMM\ltI.IS KT |-0.\(n IONS A VArUXIION ItOIlNKB. fi

Soiciil 1"] un enscnihle de poinls de rcspacc à // (lirnciisions, .el (E) une Coiicl ioiincllc de K, c'est-à-dire une qnanlilé avaiil une \ideiir Lie 11 dcItTiniiu-e l()is(|iic \] csl doiim; | <lii moins si cet ens('Md)li- \('Tilie ceilaines eundilions). ( )n dil ijue (E i est une fonclioiilielle additi^c si, lorstju'un enseinhle \'\ est eonstitné par la réunion dr deux ensembles E, et E^ sans [)oint eoniniun el qiîe est dcliiiic pour ces enseinhics, on a

Dccoinposons E en ensenddcs él<''inentaires DE, deux à deux, sans |)oints coninuins, et pour chacun des(|ucls «l> ail une \alciir d('tciininée I). On a

Posons

et appelons T^, la limite supérieure de T lorsque p est le nombre' des ensembles DE. Lorsque yy au<j;nienle, T^, ne peut que croître ou rester constant; pour p infini, cette quantité ne peut donc que devenir inlinie ou tendre en croissant \ers une limite finie ]\L Dans ce dernier cas nous dirons que la fonctionnelle tl> est à variation bornée dans l'ensemble E, et que M est sa variation totale dans cet ensemble.

31. Nous nous placerons mamlenanl dans le plan, ce qui suffit pour mettre en évidence les propriétés principales des fonctionnelles additives à variation bornée, et nous supposerons que les ensembles considérés soient constitués par des srires. Pour décomposer sans ambiouïté une aire S en aires élémentaires DS, il faut naturellement préciser pour les contours communs à deux de ces aires ou pour les points communs à trois d'entre elles à laquelle ils appartiennent.

Comme nous l'avons fait pour l'étude des fonctions à variation bornée dune variable, nous pouvons lier à la fonctionnelle ^1» un système de masses réparties dans une région du plan. La \aleur | [S] | de dans une aire S sera la somme des masses situées sur cette aire. La variation totale de dans l'aire S sera la somme des valeurs absolues de ces juasses.

Le principal changement, en passant de la droite au plan, provient de ce que des masses pouvant être concentrées- en des points, sur des

lignes, ou ré[)arUes dans des aires, il j a un plus grand nombre de termes à distinguer :

1° Un premier terme fl>, est obtenu en tenant eompte des masses finies pouvant être situées en certains points.

2" Un deuxième terme <ï>2 est obtenu en tenant compte des masses réparties sur des courbes et représentables par une intégrale de M. Lebesgue étendue à ces coui^bes.

3" Un troisième terme $3 est obtenu en tenant compte des masses réparties sur des courbes et situées sur des ensembles de mesure linéaire nulle, sans qu'il j ait de masse finie en aucun point.

4" Un quatrième terme <ï>4 s'exprime par l'intégrale de M. Lebesgue, dans l'aire S, d'une fonction sommable tjL(A) du point A. Par généralisation des raisonnements du n" 28, on voit que la fonction sommatoire /s(a) de •-x(A) dans l'aire S, égale par définition à la mesure superficielle de l'ensemble des points de l'aire S où [/-{A) est inférieure à )., et définie par la formule

/s(>0-^?x|[SJi,

z>-,\ [S] 1 désignant la somme des masses positives intérieures à S dans la répartition des masses liées à la fonctionnelle <!> | [S] ] — AS, S étant la mesure de l'aire S.

5° Un dernier terme <P^, proviendra de masses situées dans un ensemble de mesure superficielle nulle, sans qu'il y ait de masses finies sur une courbe. Nous donnerons tout à l'heure des exemples de telles répartitions.

32. Dans le cas général, une fonctionnelle additivepeut s'exprimer à l'aide d'une fonction de deux variables. Appelons s et t les coordonnées d'un point de la région où la fonctionnelle 4> est définie, et ç/((7, 7) la valeur de pour l'aire composée des points de cette région pour lesquels

La connaissance deo(a-, t) équivaut à celle de $. En elVet, cette fonction élant connue, la valeur de $ ]>our le carré

a ;i s < 0- -H d'y, z±t <C': -h d~ est

cf^d-'s,i a, t) = cp(j -r- dy, - + d-.) -^ ci(j, t) — 9! a -f-//cr, -.) — ç(7, - -h d-.)

CHAI'. Iir. — FONCTIONS SOMMAltl.IS KT FONCTIONS A VARIATION BOHNÉE. -1 Î

cl. piiiir une aire S ([iiclc(iii(|in', on a

l'application Je celle Iniiiiiile nécesMiaiil certaines précaiilions dans le (nis «Ml «les niasses finies sont situées sur le contour de S. On peut appeler celte lonclion '^(t, t), «loiil la connaissance «'(piivanl à celle de , fonction à variation bornée des deux variables s et t.

A un [)«tint A où est située une niasse finie a correspond évideininenl [)our la fonction o une discontinuité éj^ale à a sur les deux denii-droiles parallèles aux axes partant de A et dirigées respectivement dans le sens des s croissants et dans le sens des / croissants.

L ne pai'alléle à l'un des axes sur laquelle s'ont réparties des masses finies est égalenK'iil une Ii;;ne de «iisconliniiili' pour ja lonclion -. Mais si de telles masses sont réparties sur une lii;ne C non |)arallèle aux axes,on\oit aisément que es n'est pas discontinue sur cette lign«', mais que seulement sa dérivée |)remière (si elle existe) est discontinue. Si Ton se donnait une fonction cp discontinue sur celte ligne, la fonctionnelle additive cpi'on en déduirait par la formule (22) né serait pas à variation bornée.

On se rend compte que, si rintroduclion de la fonction '^ ( 7. -) est commode pour définir la fonclionnelle . il eût été diflicile de remplacer les consid<''ralioiis précétJentes par des considérations ne taisant intervenir que la fonction o et n'utilisant [)as la notion de fonctionnelle. Les droites parallèles aux axes auraient du jouer un rôle [)articulier et ([ui aurait ]iaru artificiel.

33. Donnons maintenant des exemples de répartitions de masses correspondant au cinquième des termes que nous avons distingués dans (I>. 11 suffit de prendre pour o lune des valeurs

ç(s, t) = .Tsl S)y:i[t\

/" étant une fonction continue et x-i et 1-3 étant des fonctions analogues aux fonctions cpg et x^ du n** 28. Dans les deux cas, on est conduit à des masses réparties dans un ensemble de mesure superficielle nulle: dans le premier cas, il a en outre une mesure linéaire

nulle en projeclion sur les deux axes, tandis que, dans le second, il n'en est ainsi qu'en projection sur l'axe des s.

Considérons encore la répartition de masses positives définie de la manière suivante, à lintérieur dun carré. Divisant ce carré en neuf carrés éi;aux. nous répartirons le quart de la masse totale dans chacun des carrés ayant un côté commun avec le carré central; nous opérerons dans chacun de ces carrés comme dans le carré primitif, et ainsi de suite. On voit sans peine C|ue les masses seront en fin de compte réparties dans un ensemble dont les projections sur les diagonales du carré primitif ont des mesures linéaires nulles, tandis qvie la projection sur les côtés de ce carré comprend au contraire tous les points de ces côtés.

On A oit par cet exemple quj^' le fait, pour un ensenil)le, davoir une mesure linéaire nulle ou non en projection sur une droite peut dépendre du choix de cette droite.

34. L'intégrale double de Stieltjes. — Soient 4> une fonctionnelle additive à variation bornée et '}(A) une fonction continue du point A. Divisons l'aire S en éléments d'aire DS et, dans chacun d'eux, choisissons un point A. La somme

D4> étant la valeur de pour chaque élément d'aire, tend, lorsque le nombre des aires élémentaires de\ient infini de manière que la plus grande distance de deux points d'un même élément tende vers o, vers une limite bien déterminée, indépendante du mode de décomposition choisi et du choix du point A; cette limite est l'intégrale double de Stieltjes et se représente par Tune des notations

<'23) y / 'MA)rf*|[S]|= ry^.^(A)./,rf,o(A),

s et t étant les coordonnées de A et 'f (A) étant la f<mction associée à $ par le procédé du n° 32.

Si l'on décompose $ en cinq termes <[>,,.... ^5, comme nous l'avons fait n^Sl, les trois premiers termes donneront des expressions de même forme que ceux que nous avons formés à propos de l'intégrale simple de Stieltjes; le quatrième donnera une intégrale de

rilVP. Iir. — FONCTIONS SO.MMAIU.IÎS ICT l-ONCTIONS A VARIATION IlOHNKi:. ^7

M . I,('l)(s|;iic (le Im forme

«- • s I.c dernier lerinc

r?.\) f f'!^(^)d'h,\[S]\ = ff'^(\)d,d^rr^.^)

sera ii réiliiclible à l'une des formes j)n''eédenles. On jx'ul, comme toute Intéji^rale double, le ramener à deux quadratures successives. La première consistera, eu |>riu(i[)e. dans le eal<iil d une intégrale de Sliidljes, et la deuxième sera de la forme

(25) / dx(s),

■^{s) étanl la valeur de 1 inle};rale analogue à (i i) limitée aux |)<unl> de S d'abscisse inférieure à v. Cette fonction est une fonction continue à variation bornée, qui, avec les notations du n° 28, est donc de la forme X2{s) -\- X3{s)^ Cette séparation en deux termes correspond à une séparation des masses liées à la fonctionnelle 5 en deux parties, les unes étant situées dans un ensemble de points dont la projection sur l'axe des s a une mesure linéaire nulle, les autres étanl telles qu'aucune partie finie de ces masses ne soit dans un tel ensemble. Ce dernier terme, celui qui correspond à ^^{s)^ conduit donc à une quadrature de Stieltjes suivie d'une quadratui^e de M. Lebesgue; l'autre conduit à deux quadratures de Stieltjes successives; mais il peut arriver, en ce qui le concerne, qu'un cbangement de variables le ramène à la forme du précédent, ou conduise à une nouvelle décomposition en deux termes.