CHAPITRE IV
VAUIATIOX PREMIÈRE ET EOXCTIOXXELLES LINÉAIRES.
Sommaire. — Dérivée fonclionnelle. — Le point de vue logique : Définition précise (le la variation première. — T.a formule de M. Hadamaril. — l.a formule rie M. Fi-. Rie>z. — Les fonctionnelles linéaires continues dans le cliamp des fonctions de carré* sommablcs. — Les fonctionnelles linéaires continues d'ordre/». — Les fonctionnelles dépendant d'une fonction de deux variables.
— Les fonct+onnelles bilinéaires. — Les coirespondances linéaires entre deux fonctions. — Le point de vue pratique : Forme normale de la \ariation d'une fonctionnelle. — Cas de la continuité d'ordre p. — Les corresponilances linéaires entré deux fonctions. — Généralisations diverses : Fonctionnelles dépendant des valeurs d'une fonction Jc{t) pour des valeurs quelconques de t. — F'onctionnelles dépendant d'une fonction de /i variables.
— Fonctionnelles dépendant de |)lusicurs fonctions. — Fonctions d'une ligne gauche. — Fonctions d'une ligne plane et fonctions d'une surface. — Remarque sur le choix d'un type simple de fonctionnelles.
35. Dérivée fonctionnelle. — Nous avons déjà vu que la généralisation de l'expression de la dilîérenlielle totale d'une lonetion de n variables conduit à représenter la variation d'une fonctionnelle U par rinlégrale
(i) Z\]= I o{t) ^x(t)dl.
Cette forme n'est pas générale. La fonctionnelle oci^-z), i étant une valeur particulière de î, admet pour variation ùxi-z)^ expression irréductible à la précédente. Le calcid des variations classique nous apprend (pie la fonctionnelle
f[t,x.~]dt
• :iIAI>. IV. — VARI\riON IMIKMIÙHE KT l'ONCTION.Vlil.LKS LINl': VIRES. 4(j
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lurnie inctiiiclil)!»' à l.i inci idciiic ^i -h o.c m- s annule |)a^ auv deux.
llmilcs.
Dans \c cas où la huiniilf i i i ^applique, nmi^ <liiun>. (jiic la Tonc-
tioniiolle L eslf/ér(\((ùlr au S''/i.s de M. Vol(e//a. La l'uiiclion oit)
.sera tlilc dérivée fonclionnelle de L. Comme elle dépend en général,
non seulement de t. mais du choix de la fonction x{t)^ M. Volterra
la représente par
Il nous airivera décrire pins sini[>lenienl L^.,-,. La \ariahle / un t. lorsque l'on considère une lonetionnelle L ào x(t). est nu sinq)le indfce, analogue à celui qui indique la \arial)le loi'sque Ton considère une l'onction «(j?^, . . ., Xn) de n variables; cette notation est donc analogue à la notation u, pour représenter la dérivée de // par rap- port à .//.
La formule (i ) nétant pas g(''n(T,de, une étude plus toinpiète s'impose. Elle peut être laite à deux points de vue.
Le premier, que nous apj>ellerons le point de vue logique, consiste à supposer la fonctionnelle l détinie dans un champ fonctionnel, et, en faisant des hypothèses aussi peu restrictives que possible sur cette fonctionnelle, chercher une ex[)ressiou analvtique capable de représenter sa variation.
Le deuxième, que nous appellerons le point de vue pratique^ consiste à mettre en évidence les formes de variations qui ont des chances de se rencontrer dans les applications, et non seulement dans des exemples artiticiellement formés.
Le second point de vue nous sera évidemment le plus utile j)our le développement de la théorie. Le premier est d'une nature plus philosophique, et c'est une conséquence remarquable du développement, à notre époque, de l'esprit philosophique qui porte les savants à analyser lés fondements de la Science, qu'il ait été considéré dès la naissance du calcul fonctionnel et plus rapidement que ne semblait le comporter le développement de cette science.
Nous allons nous placer successivement aux deux points de vue.
jo PREMIÈRE PARTIK. — LES FONDEMENTS DL" CALCUL FONCTIONNEL.
