S I. NOTIONS PRÉLIMINAIRES

I . On appelle quantité tatU ce qui est susceptible da/agmenta^ tirni ou de diminution : ainsi il n'est aucun objet qui, considéré sous ce point de Tue, ne puisse être rangé parmi les quantités.

S. Nous ne pouvons nous former une idée de la grandeur d'une quantité qu'en la mesmant, c'est-à-dire en la comparant à une autre quantité de mtmé espèce. Que l'on me présente, en effet, une pièce d'étoffe roulée sur elle-même, il est certain que je n'ai nulle idée de sa longueur : mais si je prends une longueur quelconque, un mètre par exemple, et que je la porte sur l'étoffe autant de fois qu'elle pourra y être contenue, j'acquerrai une idée exacte de la longueur de cette étoffe.

5. Cette quantité arbitraire à laquelle je puis comparer toutes les quantités de la même espèce se nomme utiité : on dit

s NUMÉRATION.

donc que Tunité est vm quantité que Von prend arbitrairement pour servir de commune mesure dans la comparaison des quantitès de mime espèce.

; 4. On appelle nombre la eolketùm de plusieurs unités^ c'està-dire de plusieurs quantités de m^e espèce et égales entre elles*

é. L'AftiTMÉTi<5VE est la partie élémentaire de la science des nombres; elle a pour but de donner des moyens faciles pour représenter les nombres, ainsi que pour les composer et les décomposer,

0. Lorsque en énonçant un nombre on désigne Tespècedes unités qu'il renferme, on l'appelte nombre concret. On dit que le nombre est abstrait A^w% le cas contraire -.ainsi, vingt hommes, cinquante mètres, elç^, «ont des nombres concrets, et douze est un nombre abstrait; car lorsque j'entends prononcer ce mot douze, par exemple, il réveille ea moi l'idée de douze choses égales et de môme espèce; mais j'ignore quelles sont ces choses ; ce nombre est donc ab^rait

7 , Idi ^îîJMÉRATiow e$i fart 4e filmer ks nombres e de les r«prémiter^ soit par des noms, JSoiL par des cor^^ièru: al km «acisui^f^st^ mm d# Um p^i^ie^^ doal ma» nlion» Jàm% oceiu^r mc^ cessivement.

% II. EORMATION m& f^mffîHES.

8. On voit par la définition même qtfon a donnée des nombres (4) qu'ils se forment par Vaddition successive de Tumté Qfoec elte-mime; qu'ainsi, en ajoutant une unité à une unité de la même espèce, on obtient un nombre; qu'en ajoutant à ce nombre une nouvelle unité, on aura un nouveau nombre, et ainsi de siaite. On peut âone dire qxfil y a une infinité de nombres; car 4\àm\i^i^ gn^sid ^m mt lin 9»e$n^

bre, on peut en.core j ajouter une uijité, et pl)teflir ai^ji un nouveau nombre. ^

9. On sent par là qu'il e*t été impossible de désigne^ les nombres par des noms particuliers et indépendants les uns des autres. On a dA ehtreker le moyen d'exprimer tous les nombres dont on peui avoir besoin, par la combinaison régulière (fun petit nombre de mots. Nous aUons exposer la marche que fon a sans dpyle spyie pour résoudre ce {^pbJjÈme^ qw ^ .l*Q^'i4 4e la numération parlée.

8 m. NUMÉRATION PARLÉE

10. Les premiers hommes ont commencé par compter sur levrsdciî^, di ils oai BêUir6U£in3nt donné des noms particuliers aux iiombres.^insi formés. Ces/ioms so;it : un, (içpi^û^ftfoisy quatre^ cinq, six, sep}, huit^ n^uf, diip. Arrivés au dernier de leurs doigts, ils formèrent un total de dix unités, ^jiuçjue] j)s donnèrent le nom de dizaine, et ils recommencèrent à compter ^r ]#u^§ 49igMi i^à\mim ^mm^'A& avaient «o^pié par ^nitén^ c'^rkf-HfQ (^ï\% lOm fiât pnéeéder le inoC dizaine des mm A^ ^n w^vomf^ qlw^qs. Aim iis ont «t <

Une dizaine, deux dizaianes, trois dizaines, quatre dizqjnes, cmq disioinés, six dizaines, sept dizaines, huit dizaines, neuf dizainesy dix dizaines; mots auxquels on a substitué les noms plus siinplçs :

Dix, vingt, trente, quarante, cinquante, soixante, septante, octffxUe, nouante, cent *.

* Nous avons remplacé 4e8 mots soixante-dix^ quatre-vingts, quatre-vingt- 4i^ f resf/^iiyekWfijit .parles moU plus j&mples, septante j oetante, nonante^ qVLi d'ailleurs ^ofiX mtét ôuxp Jbe mîdi de l|t fff^^i il IV^rait 4nl^^ à^ j^n de substituer les mots unante et duante aux mots di^ et vingt, poip: rendre la nomcncl^kturc des dizaines tout à iait régulière.

4 «tiMÉRATION.

Or, entre deux collections consécutives de dizaines il y a neuf nombres intermédiaires, que Ton obtient en ajoutant suc* cessivement les neuf premiers nombres à la première de ces collections. Si donc à chacun des noms des neuf premières collections de dizaines on ajoute successivement ceux des neut premiers nombres, on obtiendra les noms de tous les nombres compris entre dix et cent. Ces noms sont :

Dix-un, dix-deux y dix-trois, , dix-neuf;

Yingt-urij vingt^deuXj vingt-trois^ , vingt-neuf;

Nonqnte-un^ nonante-deux, nonante-troiSf . ., nonante-neuf.

Aux mots dix-un, dix deux, dix-trois, dix-quatre, dix-cinq, dix-six, on a substitué les mots onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize.

Gela posé, les dizaines étant elles-mêmes comptées sur les doigts n*ont pas pu aller au delà de dix ; de sorte que, par analogie, on a formé un total de dix dizaines, qu'on a appelé centaine; et de même qu*on avait dit :

Une dizaine, deux dizaines, . . . • , dix dizaines,

on a dit :

Vne centaine, deux centaines, , dix centaines,

ou plus simplement :

Un cent, deux cer^, ., mille.

Mais entre deux collections consécutives de centaines il y a nonante-neuf nombres intermédiaires, qui se forment en ajoutant successivement les nonante-neuf premiers nombres à la ])remière de ces collections. Si donc à chacun des noms des neuf premières collections de centaines on ajoute ceux lies nonante-neuf premiers nombres, on obtiendra les noms

de tous les nombres compris entre cent et mille. Ces noms *

sont :

Cmt un, cent deux^ , emi nonant^^euf;

Deux cent im, deux cent deux^ . ., deux cent nonanXM\euf;

Neuf cmt un^ neuf cent deux, . ., neuf cent nonante-neuf.

Arrivé à mille^ on a regardé ce nombre comme une nouyelle unité, et on a formé mille collections de mil/e, dont on a composé les noms en ajoutant le mot mUle à la suite des noms des mille premiers nombres^ ce qui a donné :

^ Un milky deuxmille^ . . ., neuf cent nonante-neuf mille, mille mille ou million.

Or, entre deux collections consécutives de mille il y a neuf cent nonante-neuf nombres intermédiaires, qui se forment en ajoutant lesneuf cent nonante-neuf premiers nombres successivement à la première de ces collections. On composera donc les noms de tous les nombres compris entre un mille et un million^ en plaçant les noms' des neuf cent nonante-neuf premiers nombres à la suite de chacun de ceux des neuf cent nonante-neur premières collections de mille. On aura ainsi :

MUle im, mille deux, . . ., mille neuf cent nonante-^teuf ; Deux mille un, deux miUe deux, . . ., deux mille neuf cent nonante-neuf;

Neuf cent nonante-neuf mille un, neuf cent nonante-neuf mille deux, . . . ., neuf cent nonanle-neuf mille neuf cent nonante-neuf. ,

Maintenant, de même qu'on a composé les noms de fous les nombres compris entre un mille et un million en comptant par

6 numération;

imités, dizaines, centaines de mille, on formera ceux des nombres compris entre un. million et la collection de mille if)iU)m#y 4W Ym appelle billion, en comptafil par unîtes, diJEâiftét^ èfl iMftiMIfic» éë millions. Lftcèllectlon de mille billions a reçu le nom de trillion; celle de mille trillions a formé le quatrillion, et ainsi de suite.

On voîl donc que par la seule combinaison des noms des neuf premiers nombres avec ceux des diverses unités, fiNiii, di2aîne, cfiiVTAiME^ KiLiiEj MILLION, BILLION, ete,, U Sera fdcUe de former les nofns de tëuB hs nombres dUe Von pourra avoir à considérer.

i IV. ftUMÉtlATlGW fiafilM.

il. La difficulté d'embrasser d'un seul ccmp d'œil l'expression d'un nombre uii peu considérable, et, par suite, celle plus graflde encore de cômtiifîèr (jltiislèûffe hôhibrés en^ehible, a Wit sëhlit Jâ h^cés^ilè dé f'eprc'seHié^ tes fiOHibrèè ptùÊ ÈimpUment que par f écriture eh toutes lettrée. Il était tiàiûrèl dé èbéfcHer, dans là ffiàrfche i}ijcl*ôh àVait stiivîe pour éxpHiner lesiiélfiibres dVéc im petit tioriibfe de mots, ïè ixiô^en de lès fcprêsè'ïilër avec (Quelques éàfâctôi'ès. On a donc obserVê que l'on atdit folifié l(îS rtorhs des ilônltll-ès eii côrtiblhËnt lés ttbttts dès tietif prè'hiiors aieC ceult des iiiiil(»s des différents ordrëfe : uniièy dizaine, centaine^ mille^ million, eiû. Cette remarque a fait naître rirlée de représenter les neuf premiers nombres respectivement par les caractères ou chiffres

Mais comme on compte par dizaines, centaines, mille^ etc., cpmme par unités^ il fallait employer aussi ces neuf chifTies pour représenter les diverses collections de dizaines^ de centaines, de mille, etc. Comment alors distinguer si un chiffre réprésente telle 6d <elle collection d'unilês? I Oh ktiHïi J)ti ^ paHerîir en àffécfaiit cfeàqùè chirfrë d'ufi signe

IVOMÉHAtlOft. 7

petiitxû\erj selon qtt'U aHfàit dû déslgilef dé# «MMl^ dlMainégj emtainesy mille^^etc.; msis oH sent qudte grand fiôiiibi'è de si* goes qu'il faudrait alors employer, si le nombre à écrire était considérable, détiendrait embarrassant* On a éludé cette diffi- . culte en remarquant que chaque unité est décuple de la pré' cédentCy ce qui a fait naître Theureuse idée d'attribuer à c)iaque chiffre deux valeurs, l'une que l'on nomme valeur AB$OhOEf en vertu de laquelle un chiffre représente une certaine collection é^unités d'un ofdfe quelconque; l'autre qtie l'on appelle tAtEtjR DÉ POsffloN, qui cônHsie en ce qu^un chiffre placé à la gauche d'un autre représente des itnitis dix foie plus grandes que celles indiquées par cet autre. I

St donc on con'Otënt què lé chifiVe placé au premier rang*, en allant dé droite à gauche, représente des unités simples, celui qui sera au second rang représentera des dizaines ; au troisième, des Certaines, et ainsi de suite 1 de sorte que feran^ éCun chiffré indiquera f ordre des unités qu'il exprime. Veut-on, par exemple, êcrifê le nôtnbré neuf emt quarmU-sept imUêi; comme il se compose de neuf centaineSi quatre dizaines et sept unités, on .detra employer les chiffres 9^ 4^ 7, dételle manière que le 7 soit aU premier i'atig,le 4 au second^ et lé 9 au troisième^ en allant vers lagauché:aiusi l'expression du nombre proposé sera 947. Mais si quelques ordres d'unités manquaient dans le nombre que l'on veut écrire, comment placer ces chiffres aux rangs qui con* viennent aux unités qu'ils doivent représenter? On a inventé, pour cela, ufi dixième caractère, 0, nommé ziro^ qui n'a aucune valeur par lui-même, et qui sert uniquement à remplacer les unités qui ne se trouvent pas dans le nombre proposé. Ainsi l'expression dU nombre neuf cent tept unités sera 907.

On est maintenant en étal d'écrire en chiffres tous les nom* bres possibles, car il sera toujours facile de concevoir le nombre proposé eomme décomposé en ses diverses ooUoclions d'unités : chacune d'elles pourra être exprimée par un chiffre particulier, puisqu'elle ne contient Jamais plus de neuf unités, et il ne s'agira plus que de placer aux pt^mieri deuxièmci troi«» sîème, quatrième, etc., rangs les. chiffres qui doivent représen-

8 NUMÉRATIOIf.

ter respectivement des unités, dizaines, centaines, raille, etc,, ce qui ne saurait offrir de difficulté.

Donc, avec les dix caractères 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, et ce principe fondamental qu'un chiffre placé à là gauche d!un autre exprime des v/aixés dix fois plu^ grandes que celles indi^ quées par cet autre^ on pourra représenter tous les nombres pos* sibles.

12 .11 résulte du système de numération parlée que nous avons adopté (iO), que tout nombre se partage en diverses classes d*unités principales ou ternaires : v/nités, mille, millions^ illionsj etc.f dont chacune se compose d'unités^ de dizaines et de centaines; que, de plus, ces diverses collections d*unités s'écrivent les unes à la suite des autres, de manière que celles de Tordre le plus élevé occupent le premier rang à gauche ; que celles de Tordre immédiatement inférieur viennent après, et ainsi de suite.

Donc, pour écrire en chiffres im nombre énoncé^ on écrira les v/ns à la suite des autres^ en allant de gauche à droite, les chif* fres qui doivent représenter respectivement les centaines^ dizaines et u/niîés de chaque ordre ternaire, en ayant soin de remplacer par des zéros celles de ces collections qui pourraient manquer. Lorsqu*on sera parvenu aux unités simples, le nombre énoncé sera écrit.

Exemple. L'eitpression en chiffres du nombre quarante bH^ lions trente mille sept unités est 40000030007.

i5. Réciproquement, pour traduire en langage ordinaire un nombre écrit en chiffres, partagez ce nombre • en tranches de trois chiffres, en allant de droite à gauche, sauf à n'en laisser qu'un ou deux dans la dernière : de cette manière, les tranchés qu'on aura formées correspondront respectivement aux différents ordres d'unités ternaires. Commençant ensuite par la gauche^ vous énoncerez chaque tranche comme si elle était seule, en ajou^ tant après ses v/nités le nom de l'unité ternaire à laquelle elle cor^ respond.

Soit proposé, par exemple, de traduire en langage ordinaire

le nombre

Nous le partagerons en tranches de trois chifTreSi comme on le Yoit ci-dessous :

Il y a six tranches : ainsi la dernière est de Tordre des qua» trUlions. Nous dirons donc : trente-cinq quatrillions huit cent sept trillions quarante millions cinq cent trente-six mille q^Mitre unités.

Remarquez que les deux règles précédentes exigent seulement que l'on sache écrire ou énoncer un nombre de trois chiffres*