S 1- ADDITION
179. Un ouvrier travaillant pendant 3 semaines a gagné Ib^Wl^i pendant la première; 5^1^ 16* lO^^pendant la seconde; 8^ I9*.b^ ^ pendant la troisième. Combien Or-tAl reçu pour cestrois semaines ?
Il est clair que le gain total de l'ouvrier se compose des gains particuliers qu*il a faits pendant chaque semaine; en sorte qu'il s*agit d'additionner les sommes qui les expriment.
Pour y parvenir, disposez d'abord les nombres à additionner les uns au-dessous desautres, de manière que les unités de la même espèce soient dans wnemtme colonne; puis additionnez successive^ ment les nombres contenus dans chaque colonne^ en commençant par celle des plus basses unités : si la somme contient des unités de V ordre immédiatement supérieur^ on les retient pour les ajouter avec celles de cette espèce; dans le cas contraircy on écrit le résultat tel qu'on Va trouvé.
On écrira donc les nombres ci-dessus de la manière suivante :
15*. . . . • 11-. ... 7 i ai ... . 16. , . . 10 I
46*. . . . 7-. . . . ll^A
On dira : i+|+i— H=lAî j'écris -j^, et je retiens 1 denier. 1 et 7, 8; et 10, 18; et 5» 23. S3 deniers valent 1 sou et Il deniers : ainsi j'écris 11 deniers et Je retiens 1 sou. 1 et 1, 8; et 6, 8; et 9» 17; j'écris 7, et je retiens 1 ; et 1, S; et 1, 8; et 1, 4, 4 dizaines de sous valent S livres; je retiens donc 2 livres, etc.
Ainsi Touvrier a gagné en 3 semaines 46*7M1'^.
S n. SOUSTRACTION.
180. De deux lingots d'or y Pv/n pèse 3' 2®24«|, et F autre pèse 1^ 14* 5® 36«|.De combien le premier est-U plm pesant qtie le second?
On résoudra évidemment cette question en soustrayant le poids du plus petit lingot de celui du plus grand.
Pour cela on disposera les calculs comme nous Vavons fait pour Vaddition^ en écrivant le plibs petit nombre sou^ le plus grande et Von opérera h soustraction par parties^ en commençant par les unités de la plus basse espèce. Si quelqu'une des soustractions partielles aua^qv^elles on sera ainsi conduit se trouve impossible y on ajoutera au nombre dont on devra soustraire une unité de Vespèce immédiatement supérieure^ et Von augmentera av^si d'autant 1$ nombre (Funités de cette espèce dans le nombre à soustraire.
On écrira donc les deux nombres ci-dessus ainsi qu'il suit :
On est d^abord conduite soustraire la fraction | de la fraction ^\ et pour cela on les réduit au même dénominateur, ce qui les transforme respectivement en | et f . Gomme la première ne peut se soustraire de la seconde, j^augmente le numérateur de celle-ci de son dénominateur (114), et je soustrais alors ^ de I; le reste est f , et je retiens 1 ; et 36 font 37 ; 37 de 24, cela ne se peut pas; alors j'ajoute à 24 grains un gros qui vaut 72 grains; 37« de 96«, il reste 59 grains, que j'écris, et je retiens un gros; 1 et 5, 6 : de 2, cela ne se peut pas ; j'ajoute à 2 gros 1 once qui vaut 8 gros; 6" de 10», il reste 4% et je retiens 1 once, etc. ; de sorte que le premier lingot d'or pesait jL|04O59g& ^Q pi^g q^Q iq second.
S m. MULTIPLICATION.
181. Pour étendre aux nombres concrets la définition du n* 25, il tout concevoir que le produit se compose avec le multiplicande comme le multiplicateur est composé avec l'unité de son espèce; de sorte que, multiplier un nombre quelconque par un nombre complexe^ c'est multiplier le multiplicande par le rapport du multiplicateur à Vunilé de son espèce.
Cela posé, nous distinguerons deux cas, suivant que le multiplicateur sera un nombre incomplexe ou un nombre complexe.
Proposons-nous donc d'abord de multiplier 12*13*10' par 5 toises*. Le rapport de 5' à 1* étant le nombre abstrait 5, il s'agira simplement de multiplier 12*13*10'' par 5. Pour cela nous multiplierons successivement les diverses espèces d'unités de ce nombre par 5, en commençant par celles de l'ordre inférieur, afin de réunir à cliaque produit partiel les unités de son
I * On est conduit à cette opération par la question suivante : Une toise â?our wage a été payée W 13' lO'; quel est le prix de 5 toises du même ouvrage ? En effet, le prix de 5 toises doit être composé avec celui d'une toise comme h toises sont composées avec une toise; de sorte que, pour avoir ce prix, il n'y a qu'à multiplier 12* 13' 10* par le rapport de 5^ à 1^.
espèce que pourra renfermer le produit partiel précédent. Nous dirons donc : 5 fois 10* font 50*, qui valent 4»+ 2* J'écris 2*, et je retiens 4»; 5 fois 3% 15% et 4% 19'; j'écris 9' et je retiens 1 ; 5 fois 1» 5, et 1, 6; 6 dizaines de sous valent 3* : je retiens donc 3^; 5 fois 12 , 60 , et 3 , 63 . Ainsi le produH demandé est 63* 9* 2*.
On sent que cette méthode serait trop longue si le multiplicateur était un nombre considérable : on a trouvé le moyen d'arriver plus rapidement au résultat|en décomposant les collections des diverses unités que renferme le multiplicande en parties aliqii^tes de l'unité immédiatement swpérieure^ c'est-àdire en parties qui soient des diviseurs exacts de cette unité. Cette méthode de multiplication a reçu en conséquence le nom de multiplication par les parties aliquotes.
182. Proposons-nous, pour l'expliquer, de multiplier 12*13- 10* par 535.
Pour multiplier 12* 13« 10* par' 535, nous multiplierons successivement' toutes les parties de ce nombre par 535, en commençant par les unités de la plus haute espèce, et nous disposerons les calculs comme ci-dessous :
Produit de 10* par
Le produit de 18* par 535 est 6420*. Maintenant je décompose 13" en parties aliquotes de la livre, qui vaut 20"^ c'est-àdire en 10«-j-2*+ !•; de sorte que, pour multiplier 13* par 535,
138 GALGCL DBS NOMBRES COMPLEXES.
il suffira de multiplier suocessivemeat 10*, B* et l' par 535. Or lOv sont la moitié de la livra : donc le produit de 10* par 535 est la moitié du produit d'une livre p*'^ 535 ou la moitié de 535* ; on voit facilement que oetta moitié est S67^ 10*. Sf sont ^ de 10"; donc le produit da B' par 535 sera le cinquième du précédent, c'est-à-dire le cinquième de 267* 10". Or, le cinquième de S67* est 53*, et il reste B% qui Talent 40*, et 10*, 50% dont le cinqlMème est 10*; ainsi le produit de B* par 535 est 53* 10'. 1* est la moitié de B^ : donc le produit de 1* par 535 sera la moitié du précédent, ou BO* 15*« D nous resta à multiplier 10^ par 535. Pour cela» je décompose 10* en parties aliquotes du sou, qui vaut 1B^ c'est'à-fdire en 9l^^k*; de sorte que, pour multiplier 10^ par 535, il faudra multiplier ces deux parties par ce nombre; mais 6' sont la moitié du sou, et 4^ en sont le tiers: donc les produits de 6* et de 4* par 535 seront respectivement la moitié et ie tiers du produit de i* par 535, c'est-à-dire de 26« 15"; ainsi il sera facile de les former. Bn additionnant en- ^^ile tous )e^ produits partiels, on obtiendra 6790* 10^ pour la valeur du produit total demandée
185. Proposons-nous maintenant de n^ultiplier dêum nom^ bres complexes Vun par Vavlre^ par exemple, 12* 13* 10* par 535'^5**tf|*. .
Il s'agira donc de multiplier le multiplicande par le rapport ^u multiplicateur à la toise, ou, ce qui revient au même, de le multiplier par les rapports respectifs de 5*35 toises, de 5 pieds, de 8 lignes et des | d'une ligne à là toise. Nous allons effectuer successivement ces quatre multiplications partielles, et nous disposerons les calculs de la manière suivante :
* On est conduit à cette opération par la question suivante : 27ne toise d*ouvroQe a été payée 12* 13' 10^; quel sera le prix de 635^5'' 8* fî
8if
Produit par saô''
ta
tt
i'^=iêh
Tol^^^à'SW
T^6 = ï6tfsi •
D'abord le produit du multiplicande par 535*^ a été cdculé tout à l'heure. Pour obtenir le produit de ce nombre par 5**^, je décompose 5** en parties aljquotes de la toise, qui vaut 6^, c'està-dire en 3^+2'' : or 3** et 2** sont respectivement la moitié et le tiers de la toise. Ainsi j'aurai les produits du multiplicande par les rapports de 3*" et de 2' à la toise en prenant la moitié et le tiers de ce multiplicande, ce qui est fsicile. Pour multiplier maintenant 12* 13» 10^ par 8^ (c'est-à-dire parle rapport de 8^ à la toise), je décompose 8^ en parties aliquotes du pouce, qui vaut 12\ et la décomposition la plus simple est évideipment 4* + 4^- de sorte qu'il s'agit de multiplier le multiplicande par 4*, Or 4' 3ont ^ de 2** : donc le produit du multiplicande par V est ^ de celui (le ce nombre par 2''. Mais comme il ii'est paa commode dq prendra directement ^ d'un qombre, j'observe que T^ = i X J, et qu'ainsi nous obliençlroris le produit par 4' en prenant d'abord J du produit du multiplicande par 8**, ce -qui nous donnera le produit de ce nombre par 3** (c'est ce que les arithméticiens appellent produit auxiliaire), et cherchant ensuite ^ de celui-ci. Nous avons eu soin de barrer le produit ayxiH^ir^ ^ûn de u'çu pas tenir ç^ppte clan* l'addition des produits partiels. Enfin on obtianl le produit du multiplioanéê
par I en décomposant celte fraction en parties aliquotes de l'unité, qui vaut Q sixièmes^ c'est-à-dire en | = ^, plusf=|. On sera ainsi conduit, pour avoir le produit du multiplicande far § de ligne, à prendre | et ^ du produit de ce nombre par 4^ Il ne. restera plus qu*à additionner tous les produits partiels, et on aura le produit total demandé.
S IV. DmsioN.
184. Nous distinguerons deux cas principaux, selon que le dividende et le diviseur seront de nature différente ou de même nature.
Si le dividende et le diviseur sont de nature différente, il pourra se faire que le diviseur soit un nombre incomplexe ou un nombre complexe.
Examinons successivement ces différents cas.
IT Cas. — Diviser 166* i ?• S*» i par 27^*.
Puisque le dividende doit toujours être considéré comme un produit dont le diviseur et le quotient sont les facteurs, on voit que Tun d'eux doit être un nombre concret de même nature que le dividende : donc .il faut dans cet exemple que le quotient soit un nombre de livres; de sorte que la question revient à trouver un nombre qui, multiplié par le nombre abstrait 27, reproduise 166* 17» 3'^i; donc le quotient est la 27* partie de ce nombre, et on Tobtiendra par conséquent en divisant successivement chacune de ses parties par 27.
On disposera les calculs comme il suit :
* On est conduit à cette opération par la question suivante : 27 Unie* (fou* vrage ont été payées 166* 17* * quel est le pria de la ioUe?
Le quotient de 166* par 27 est de 6*, elle reste est 4*, qu'il faut encore diviser par 27. Pour cela on convertit ces 4* en sous en les multipliant par 20, ce qui fait 80% et ces 80* réunis aux 17* du dividende forment 97% que Ton divise par 27. Le quotient de cette seconde division est 3*, et le reste est 16". Ces 16" doivent encore être divisés par 27. Mais 16* valent 16 fois 12' ou 192* ; en les ajoutant aux 3* | du dividende, on trouvera 1 95**! qu'il faut enfin diviser par 27 : le quotient est 7-^1(127). Ainsi le quotient demandé est 6* 3* 7'' ^.
Ce procédé revient, comme on voit, à diviser sitccessivement les colkclions des diverses espèces (f unités du dividende par le diviseur^ en commençant par celles de l'ordre le plus élevé, et à convertir en unités de Vordre immédiatement inférieur le dernier reste de chaque division partielle, en y ajoutant le nombre d'unités de cette espèce que contient le dividende, ce qui donne un nouveau dividende partiel que Von divise par le diviseur.
