etc

it4 BArPORTS BT PftOPORTiaM.

on «B déduira

En effet, les deux premiers rapports de la suite proposée forment la proportion

Mbîs comme tiotts venons de dômontrer que dans tome proportion la somme des antécédents esft à la somme desi. conséquents comme un antécédent est à son conséquent, cette proportion doimeva

Or, au rapport de 3 à 6 on peut substituer te rapportéqmvïdetit de 5 à 10 : ainsi Ton aura

Si Ton applique à cette proportion le principe du numéro préc&dem, a viendra

rt en *iA^«anl aa rapport 5 : 10 le rapport équîfalent 7 : 14,

oft aura

En appliquant enfin à cette dernière proportion le prificipe du numéro précédent, nous aurons

C8 qa^il fàliait démonlrer.

260. Si Von muUipUe plusiev/rs propartUms par ordrs^ c'est-àdire terme à termey les produits qu'on obtiendra formeront unepro* portion.

Aiasiy des |^t»portîoBS

on tirera la proportion

Pour démontrer que ces quatre produits forment une proportion^ il suffit de prouver que le produit des deux e&trèmes est égal au produit des deux moyens (S82).

Or, le premier extrême 2.5.8 est le produit des premiers extrêmes des proportions données; de même, le second extrême 6.21 .18 est le produit des seconds extrêmes de ces mêmes proportions; donc le produit des deux extrêmes 2.5.8 et 6.21.18 est le produit de tous les extrêmes des proportions données (56). On verra de même que le produit des deux moyens 4.15.16 et 3.7.9 est le produit de tous les moyens de ces mêmes proportions. Mais dans cbacmie d^eUes le produit des eiotréiçies'edt égal à celui des moyens : donc le produit de ions leurs ex^ trêmes est égal à celui de tous leurs nK>yens ; donc, dans lâf^roportion que nous voulons établir, le produit des extrêmes ^st égal au produit des moyens; donc cette propoilion est vraie.

261. Concluons de là que les carrés, Us (nibes, ef (m génér^al Us puissances semblables de quatre quaruUés en proportion sont aussi en proportion, c'esl-à-dire que de la proportion

on déduira, par exemple,

2»:4»::5»:io».

En effet, nous obtiendrons cette proportion enmultipliapt.la première (leux fois par eiUe-mêjne^ et nous xeuipus de |>rouver que les produits seraient en proportion.

262. Les racines carrées, cvMquts^ et en général les racines semblables de quatre quantUis. en proportion sont aussi en proportion,

^ Soit, en effet, la proportion

Je dis qu'on aura, par exemple, ^

En effet, on tire la proportion énoncée (249)

Mais nous avons vu que la racine cubique d'un produit s'obtient en extrayant séparément les racines cubiques de chacun de ses facteurs (225) et en multipliant ces racines entre elles ; nous aurons donc, d'après cela,

V^Ï6x'6=v^Î2Xv^8,

ce qui prouve que, dans la proportion à démontrer, le produit des extrêmes est égal au produit des moyens, et que par conséquent cette proportion est vraie (252).

Si Von divise deux proportions terme à terme^ les quotients formeront une proportion.

C'est-à-dire que des deux proportions

on tirera t:¥--l-iî-

En effet, le produit des extrêmes de la proportion à démontrer est une fraction $^ qui a pour numérateur le produit des extrêmes de la première des proportions proposées, et pour dénominateur le produit des extrêmes de la seconde. Le produit des moyens de cette même proportion est une fraction ^^ qui a

pour numérateur le produit des moyens de la première, et pour dénominateur le produit des moyens de la seconde; mais dans chacune des proportions énoncées le produit des extrêmes est égal à celui des moyens : donc les deux fractions liii ^i H^f qui expriment le produit des extrêmes et le produit des moyens de la proportion à démontrer, ou des numérateurs égaux et des dénominateurs aussi égaux ; donc elles sont égales, donc cette proportion est vraie.

864. Quoique les principes que nous venons d'établir l'aient été en considérant des quantités commensurabUs, ils n'en sont pas moins applicables à des quantités incommensurables. Il suffit, pour s*en convaincre, de bien définir ce qu'on entend par le rapport de deux grandeurs irrationnelles. Or, puisqu*on peut toujours assigner une quantité commensurable qui diffère d'aussi peu que l'on veut d'une quantité incommensurable donnée, on regarde le rapport des devœ quantités incommensu' râbles comme la limite (236) vers laquelle tendent les rapports successifs que l'on obtient en remplaçant ces qv^antités incom" mensurables par des valeurs commensurables qui en approchent de plus en plus. Donc les propriétés dont jouissent les rapports de quantités commensurables conviennent également aux rapports de quantités incommensurables ; car les limites vers lesquelles tendent deux.grandeurs, qui sont constamment égales dans tous les étals de grandeur par lesquels elles passent, sont aussi égales (257).

265. Nous avons dit qu'on appelait rapport par quotient le résultat de la comparaison de deux quantités, faite dans le but.de savoir combien de fois l'une contient l'autre. Si la première quantité contient la seconde un nombre exact de fois, le rapport de ces deux quantités est évidemment ce nombre luimême, c'est-à-dire le quotient de leur division ; ainsi 18 contient 3 fois 6 ; là rapport de 18 à 6 est 3=-^. Si la première quantité ne contient pas exactement la seconde, on les compare toutes les deux à une troisième quantité prise pour commune mesure ; soient, par exemple» les deux quantités 18 et 7 ;

1»8 HAPPORT» ET «lOPCmTlONSl.

l'unité esteonlenue 18 fois dans la preiaière» et 7 foià dans ta seconde : donc la première quantité vaut 18 fois la septième partie ou les 4^ de la seconde; c'est-à-dire que leur rapport est une fraction dont les deux termes sont les nombres de mesores cùmmufies conteiities dans les deux, quantités que Ton a comparées^ Or une fraction exprime le quotient de son numérateur par son déûominateur (04) ; on Toit donc que les expressions fraction^ quotient^ rapport j peuvent être considérées comme signifiant la même chose, et les mots numérateur^ déi^ofrtinateùt, comWè synbiiytnês à'aniécédent et de conséquent.

En considérant les rapports sous ce nouveau point de vue, rieil ne sera plus facile que d'arriver aux propriétés démontrées aux n** 240 et suivants. Ainsi, la proposition fondattienlale du n« fi46 se déwontrera immédiatement en réduisant les deux rapports considérés aiii môme dénominateur. Le principe important du n" 850 se démontre avec la même facilité : soient, en effet, les rapports égaux

= p=j7/ietc.;

on a

évidemment :

fta=5-. b;

d'où l'on tire, en ajoutant ces égalités membre à membre .* et par stitfe

b^fbHfF-'b*

C^est d'ailleurs le même principe que nous avions déjà démontré au n*" ICttS*

CHAPITBE XIIL

S I. PROGRESSIONS PAR DIFFÉRENOB.

266. On appelle progression par DuriRCNCi ou ARmniA* TIQUE um suite (fe nombres tels que chacvn (feuanu/rpasse celui qui le préçèdef ou en est surpassé^ d'une quanHti efmstemte qu^an appelle raison de la progression.

Ainsi chaque ferme est moyen différentiel entre celui qui le précède et celui qui le suit (242).

■f 2.5.8. 11. 14.1 7.20,etC., f30.S7.24.2I.18.15.19.etC.,, sont deux progressions par différence» Tune caroissante» rautrt décroissante» qui toutes deux ont 3 pour raison.

La première s'énonce : testas comme 5e5{ à 8, ùonhne 8 est à II, cornm^ Il est à 14, comme^ «te. La seconde s'énoncerait de la même manière.