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255. Lorsque deux proportions ont les mêmes antécédents ou les mêmes conséquents, les quatre autres termes forment une proportion.

Cette propriété se déduit de la précédente en intervertissant

dans chaque proportion l'ordre des moyens. Ainsi, des proportions

^•^^••^•^^ I ontire(255)f ^•^••^^•^^ 5: 10:: 7: 14 S """'^^ ^ ^ \ 5:7::io:i4,

et comme ces deux dernières proportions sont liées par un rapport commun, elles donnent 15 : 21 :: 10 : 14.

266. Bans toute proportion^ la -somme ou la différence des deux premiers termes est à la somme ou à la différence des deux derniers comme le premier est au troisième, ou comme le second est au quatrième.

C'est-à-dire que la proportion

io:5::i2:6

donnera I0zh5': 12±:6 :: lo: 12:: 5:6.

En effet, si l'on augmente ou si l'on diminue chaque antécédent de son conséquent, les nouveaux antécédents contiendront les conséquents primitifs une fois de plus ou de moins : donc les raisons des deux rapports seront chacune augmentées ou diminuées d'une unité (245). Mais elles étaient d'abord égales : donc elles le seront encore ; donc il y aura proportion entre les nouveaux antécédents et les conséquents primitifs; donc onaura la proportion

io±5:5:: i2it:6:6,

ou, en intervertissant l'ordre des moyens, .

10db5: 12dr6::5:6.

Mais si Ton change aussi l'ordre des moyens dans la proportion proposée, elle deviendra

ce qui montre que le rapport de ô à 6 est le même que celui de

10 à 12 : donc le rapport 10 ±: 5 : 12 db 6, qui esl égal au rapport 5 : 6, le sera aussi au rapport 10 : 12 ; donc on aura enfin

io±5:i2±6::io:i2::5:6, ^

ce qu'il fallait démontrer. j

857. Il est facile de déduire de là que, dans toute proportion, la somme des deux premiers termes est à leur différence comms la somme des deux derniers est à leur différence.

258. Dans toute proportiony la somme ou la différence des anté^ cédents est à lasomms ou à la différence des conséquents comme un antécédent est à son conséquent.

C'est-à-dire que la proportion

io:5::i2:6

donnera 12 ± 10 : 6zii5 :: lo : 5 :: 12 : 6.

En effet, si dans la proportion proposée on interyerlit Tordre des moyens, on aura

Mais on sait que, dans toute proportion, la somme ou la différence des deux premiers termes est à la somme ou à la différence des deux derniers comme le premier est au troisième, ou comme le second est au quatrième (256) ; donc la proportion précédente donnera

i2ziiio:6zii5:: 10: 5:: 12:6.

r 259. Dans u/ne suite de rapports égaux^ la somme d'un certain^ nombre d'antécédents est à la sommée de leurs conséquents comme un antécédent quelconque est à son conséquent. C'est-à-dire que, si Ton a la suile de rapports égaux