Il suit de cette définition que
lé 2* terme est égal au l*' multiplié par la raison;
le 3' au !• multiplié par la raison et encofe paf
la raison, c'est-à-dire est égal au !•' multiplié parla i^econde puissance de la raison ;
le 4* au 1* multiplié par la seconde puissance
de la raison, et encore par là raison, c'est-à-dire est égal au 1*» tnulliplié par la troisième puissance de la raison;
le 5* dti !•* multiplié par la troisième puissance
de la raison, et encore par la raison, tfest-à-dire est égal au 1* multiplié par la quatrième puissaueè de la raison;
etc.
Donc, en général, un terme quelconque cFv/ne progression par quotient est égal au premier multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent.
Exemple. Calculer le onzième terme de la progression
fi6: 18:54: 162: etc.,
dont la raison est 3.
On élèvera la raison 3 à la dixième puissance, ce qui donnera 59049 : on multipliera ce nombre par le premier terme 6, et Ton trouvera que le terme demandé est 354294.
274. Insérer des moyens proportionnels entre deux nombres donnés^ c'est trouver des nombres qui forment une progression par quotient dont les deux nombres donnés soient les deux extrêmes.
Proposons-nous d*insérer entre deux nombres donnés un certain nombre de moyens proportionnels.
Si Ton connaissait la raison de la progression dont ces moyens doivent faire partie, il suffirait de multiplier le plus petit nombre par cette raison pour avoir le premier moyen ; de multiplier ce premier moyen par la raison pour obtenir le second, et ainsi de suite. Cherchons donc cette raison.
[l suit du numéro précédent que le plus grand des deux nombres donnés est égal au plus petit multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des moyens à'insérer plus un, car c'est précisément là le nombre des termes qui précèdent le plus grand des deux nombres : donc, si Ton divise le plus grand nombre par le plus petit, le quotient qu'on obtiendra sera égal à la raison élevée à une puissance marquée par le nombre dés moyens à insérer plus un ; donc, pour obtenir la raison de la progression demandée^ il faut diviser le plus grand nombre par le plus petit, et extraire du quotient une racine d'un degré égal au rumibre des moyens à insérer plus un.
Exemple. Insérer deux moyens proportionnels entre 2 et 54. On divisera 54 par 2, ce qui donnera pour quotient 27; on ex-
traira la racine troisième (ou cubique) de ce quotient, et on trouvera 3 pour la raison de la progression, qui sera ainsi
Af 2 : 6 : 18 : 54.
Les deux moyens sont donc 6 et 18.
Puisque nous ne savons extraire que des racines dont l'indice n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 3 (255), il semble que le problème de l'insertion des moyens proportionnels n'est possible que dans certains cas particuliers; mais nous donnerons bientôt la méthode à suivre pour extraire d'une quantité donnée une radne d'un degré quelconque (284).
278. Si entre tous les termes d^une progression par quotient on insère k mime nombre de mqyens proportionnels y toutes Us progressions partielles ainsi formées composeront une seiUeet même progression.
La démonstration est la même que celle du n^" 269.
276. Proposons-nous maintenant de calculer la somme des termes cTtme pi^ogression par quotient.
Nous supposerons d'abord que la progression soit croissante, et qu'elle soit, par exemple,
Si l'on multiplie chaque terme de la progression proposée par la raison, ce qui donuera
on reproduira tous les termes de cette progression, excepté le premier; mais on aura, de plus, le produit du dernier ternie par la raison. Par conséquent, la différence entre la somme des termes de cette seconde progression et celle des termes de la première sera égale à l'excès (486X3 — 6) du produit du dernier terme de la progression donnée par la raison sur son premier terme. Or, du produit de la somme des termes de la progression multipliée par la raison nous venons de retrancher
206 PR0<;RESS10NS.
cette somme de termes : le reste sera doac^DCOFç ^1 aa pro*duit de cette somme multipliée par Ye%cè»(Z-^t) de la raisoa sur Tunité *; donc, en divisant ce reste par cet excès, ce qui donnera ^^gjf^ , nous aurons la somme des termes de la progression donnée.
Donc, pour calculer la somme des termes (tune progression croissanie par quotient^ il faut multiplier son dernier Jtermc par la raison f retrancher du produit le premier terme de la progrèssion, et diviser le reste par Vexces de la raison sur Vuniié.
Exemple. Calculer la somme des onze premiers termes de la }. rogression ii 6 : 18 : 54 : 162 : 6tc. Nous avons vu (275) ^ue le onzième terme était 354294, dont le produit par la raison est 1062882 : donc ^expression de la somme demandée sera âM^ipsi =XSUiMUï = 531438.
277. Supposons maintenant que la progression soit décroissante, c'est-à-dire que la raison soit plus petite que l'unité, et prenons pour exemple la progression
vv25:i5:9:^:fi:i4f.
Si nous multiplions chaque terme par la raison |, ce qui donnera
nous reproduirons tous les termes de la progression, excepté le premier; mais nous aurons de plus le produit du dernier terme par la raison. Donc, en retranchant la somme des termes de cette seconde' progression de celle des termes de la première, on aura pour reste Texcès (25--f||x|) du premier terme de la progression donnée sur le produit de son dernier terme par la raison. Mais de la somme des termes delà progression nous venons de retrancher le produit de celle somme multipliée par
* Si la raison est un nombre entier, la chose est évidente; supposons qu'elle soit fractionnaire, ^ par exemple; en multipliant la somme «les termes par ^, nous en avond pris les -^ : ainsi, des -^ de la somme de termes, nous avons retranché cette somme, donc U nous en est resté les ^, c'est-à-dire le produit de cette somme par ^ , ou par Texcôs de ^ sur l'unité.
PaOGRSSSIOflS. 207
la raison : donc le reste sera égal au produit de cette somme multipliée par l'excès (1 — |} de Tunitésur la raison*; donc,
en divisant ce reste par cet excès, ce qui donnera — "j^*^ * ,
nous aurons la somme des termes de la progression donnée.
Donc, pour calculer la somme des termss d'une progression
décroissante par qtu>tierUy il faut du premier terme retrancher le
produit du dernier multiplié par la raison^ et dùnser le rMe par
l'excès de Funité sur la raison.
* 278. D'après cela, si nous représentons le premier terme d'une progression décroissanle par a, le dernier par l, la raison par r, la somme des termes par s^ nous aurons pour expression de la somme des termes de cette progression :
Or, puisque la progression est décroissante, il est évident que le dernier terme sera d'autant plus petit qu'il sera plus éloigné du premier, c'est-à-dire que le nombre des termes sera plus considérable; et nous démontrerons plus loin qu'il tend vers zéro quand te nombre de ces termes augmente indéfiniment (53S); donc, en prenant un nombre de termes suffisamment grand, la valeur de l et, à plus forte raison, celle du produit t.r (r^st une fraction) sera assez petite pour que la quantité a— J.r diffère de a d'aussi peu qu'on voudra; de sorte que la quantité
^LZjI différera elle-même d'aussi peu qu'on voudra de la 1— r
quantité -^ » Cette dernière quantité est donc une limite dont la somme des termes approche d'autant plus qu'on la compose
* En effet, en multipliant la somme des termes par |, nous en avons pris les J : donc^ en retranchant ces | de la somme des termes, il nous en est resté les |, c'est-à-dire le prodiiit de cette somme par 1^ ou par l'excès de Punité sur la raison ^,
d'un plus grand nombre de termes (256), mais qu*elle ne peut atteindre qu'autant que la progression se prolonge à Tinfini : c'est alors seulement que son dernier terme i est nul, et que par conséquent le produit Lr devient aussi nul. Donc la limite de la somme des termes d'une progression décrois-
d santé à Tinfini est ; donc, pour calculer la somme des termes d'une progression par quotient décroissante à l'infini^ il faut diviser son premier term^ par Vexcès de l'wnité sur la raison. r
* 279. Considérons la fraction décimale périodique
elle est la somme des fractions partielles . 0,25
etc.
Or on voit que chacune de ces fractions est cent fois plus petite que la précédente (134); de sorte que la fraction décimale périodique proposée n'est autre chose que la somme des termes d'une progression par quotient décroissante à l'infini, dont le premier terme est 0,25, et dont la raison est 0,01. . Ainsi, pour calculer la valeur de cette fraction périodique, il faudra, conformément à ce que nous venons de voir, diviser son. premier terme 0,25 par l'excès de 1 sur 0,01, c'est-à-dire par 0,99 : la valeur de cette fraction sera donc giH, ou, en multipliant ses deux termes par 100, ff ; ce qui s'accorde avec I.i règle du n» IB9.
