S I. PROPRIÉTÉS DES LOGARITHMES

280. On appelle logarithmes une suite de nombres en progression par différence commençant par zéro, qui correspondent terme pour terme à une pareille suite de nombres en progression par quotient commençant par F unité.

Le logarithme d!un nombre est donc le terme de la progression par différence qui correspond au nombre que l'on comidère datas la progression par quotient.

Ainsi, soient les deux progressions

^ I : 2 : 4 : 8 : 16 : 32 : 64 etc., ^ . 3 . 6 . 9 . 12 . 15 : 18 etc.;

les nombres 0, 6, 15^ 18 sont les logarilhines des nombres respectifs 1, 4, 32, 64.

Il semble résulter de celte définition que les nombres moin-^ dres que Tunilé n'ont pas de logarithmes, si la progression géométrique est croissante, comme dans Texemple ci-dessus, et que ce seraient au contrai]:e les nombres > l qui n^uraient pas de logarithmes, si elle était décroissante. Alors, pour comprendre à la fois les nombres plus petits et plus grands que Tunité dans la progression par quotient, on n'aura qu'à la prolonger vers la gauche, en divisant l'unité par la raison, puis divisant le terme ainsi obtenu par la raison, et ainsi de suite.

Pour obtenir les logarithmes de ces nombres, on prolongera de même la progression arithmétique vers la gauche, en retranchant d'abord la raison du premier terme 2^ro; mais comme cette soustraction ne peut s'effectuer, on l'indiquera en écrivant le signe — devant cette raison ; on retranchera

SIO LOGARITHMES.

encore la raison de ce terme, ce qui donnera un second terme équivalent à moins la raison fnoim la raison, c'est-à-dire à moins deux fois la raison, et ainsi de suite.

De cette manière^ on aura les deux progressions indéfinies dans les deux sens :

et les termes de la seconde seront les logarithmes des termes correspondants de la première.

Ml. Il résulte des principes établis aux n"" 267 et 275 que, dtons tme progression par quotient commençant par Tunité, un terme quelconque est égal à la raison élevée à une puis* Sêstcn marquée par le nombre des termes qui le précèdent, et «^u'qh lenne quelconque d'uoe progression par différence commençant par zéro est égal à la raison répétée autant de fois qu'il y a de termes avant lui.

Donc, autant de fois la raison est facteur dans un terme quelconque de la progression par quotient, autant la raison de la progression par difl'érence est contenue de fois dans le terme corrÉfspondant de «celte progression : par conséquent, si Ton multiplie entre eux plusieurs termes de la progression par qoolient, et «qu'en ajoute les termes correspondants de la progres^on par diSérence, autant de fois la raison de la progression \wx quotient entrera comme facteur dans le produit, anitMt de f of s ]a raison delà progression par différence sera contenue dans la somme. Donc le produit et la somme feront p^nie de ces deux progressions ; car l'un sera une puissance de là mism ide ia fM-emière progression, et l'autre un multiple èe celle ^e la daixièmet et de plus ils s*y correspondront mutueltement : donc la somme sera le logarithme du produit. Mms les nombres additionnés sont les logarithmes de ceux qu^on a multipliés : donc, le logarUhme d'un produit de plmiem^s facteurs est égala la somme des iogar^itkmes de ces facteurs*. Il I ■ *i ' * .. I ■ ■ .,1 , 1 1. . — ■- ' ■■ ■■- ■ ■ ■ ■■-

* Oe JfVt^ncipe «uppiiw «venlûMemMU 91M les deuœ progressions giotné-

LOGARITSMES. SU

Giette (démoD^ation suppose que les tactews dont il s*agit s^nt tous situés datts la piro^ressioii par quoUent d'w même côté de TuiUté^.

Elle s'étend également bien i uu produit de facteurs «îtoés d'une manière quelconque dans cette progresdon, e^ regar*dant un terme quelconque de la partie descendante, dans la ff^ gression géométrique, comme égal au quoUent 4e l'unité divisée par une puissance de la raison marquée par le nombre de termes qui le précèdent^ à partir de 1, et un terme quelconque de la partie à gauche de zéro\ dans la progression arithoiiétîf^

trique et writhméHqibe commeficent respectivement par Vunité et par zéro ; et comme c'est sur ce théorème et sur les conséquences qm en découlent qu'est fondé Tusage des logarithmes, voilà pourquoi nous avons iotrodutt catte restriction dans la définition du n" 280.

En effet, il suit du n** 273 que, si le premier terme de la progression par quotient n'est pas l'unité, le produit de deux termes quelcqnques de cette progression sera égal au carré du premier terme multiplié par une certaine puissance de In raison : donc ce produit ne pourra faire partie de la progression qu'autant qu'elle commencera par une puissance de la raison. On verra de même que, pour qiie la somme de deux termes de la progression par di(Eârence soit un terme de cette progression, il faut qu'elle commence par un multiple de la raison. Maintenant je dis que pour que le produit et la somme puissent se correspondre, il faut que la raison de la progression arithmétique soit contenue, dans son premier terme, autant de fois -que la raison de la progression géométrique sera facteur dans le premier terme de cette progression : de sorte que ces deux termes pourront être considérés comme deux termes correspondants de deux progressions par q^iotient «t p^ cUfféiiQace, commençant Tune par l'unité et l'autre par zéro.

Représentons, en effet, par q et par r les raisons des deux progressions géométrique, et arithmétique; supposons que q boit m fois fauteur dans le premier terme de la premiéie, et que r soit contenu n fois dans le premier, terme de la seconde. Les («-f-l)**~ et (t-f-l)**"' termes de la progression par quotient seront q"»+', q*+', et leur produit sera ç"+«-»«+', ou, ce qui revient au même , q". g"+*+' : donc ce produit aura {m-rs -i-i) termes avant lui. Les (s +1 /*'■•' et (i-j-l)'*"* termes.de la progression par différence seront nr + sr et nr + tr, et leur somme sera nr-\-nr'\'Sr'\' tr, ou , ce qui revient au même, nr-^ [n -f *4- ()• »* ; donc -cette somme a {n-^-s-^-t) termas avant elle; donc, pour qu'elle corresponde au produ't, il faut que m + s + t^n+s-^-tj c'est-à-dire que m=n; ce quil fallait démontrer.

* Pour ajouter deux quantités nêgktiwès (on appelle ainsi celles qui sont précédées du signe — , tandis qu'on nomme positives celles qui A'ont pas de sii^c ou que l'on regarde comme affectées du signe -{•), an fait la somme de ces deux quantités sans s'occuper du signe» et on met le sigfne -^ devant ta somme,

que, comme égal à moins autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui, à partir de zéro. Considérons, en effet, le 12*" terme à gauche et le 7« à droite de 1 dans la progression par quotient : le premier de ces termes sera égal à l'unité divisée par la 1 1' puissance de la raison,, et le second sera égal à la 6' puissance de cette raison ; donc leur produit sera le quotient de la 6' puissance de la raison diviséepar la U* (il8), c'est-àdire qu'il sera égal au quotient de l'unité divisée par la 5' puissance de cette raison (99, 2^); donc il est le 6* terme, à partir de I, dans la partie descendante de la progression géométrique. On verra'de même que la somme du 12* terme à gauciie et du 7* à droite de zéro, dans la progression par diffé*rence, est égale au 6* terme à gauche dans cette progression*, et qu'ainsi cette somme et ce produit se correspondent encore dans les deux progressions.

882. II suit de là que le logarithme du quotient de la division de deux nombres est égal au logarithme du dividende, moins le logarithme du diviseur.

En efl'et, le dividende étant le produit du diviseur multiplié par le quotient, son logarithme est la somme des logarilhmcs du diviseur et du quotient : par conséquent, si du logarithme du dividende on retranche celui du diviseur, on aura le logagarithme du quotient.

283. Le logarithme d'une puissance quelconque d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre, multiplié par l'exposant de la ' puissance.

En effet, une puissance d'un nombre est le produit d'autant de facteurs égaux à ce nombre qu'il y a d'unités daiis l'exposant de cette puissance : par conséquent, le logarithme d'une

* Pour ajouter une quantité positive avec une quantité négative ^ on retranche la plus petite de la plus grande, sans faire attention aux signes, puis on donne au reste U signe de la plus grande.

puissance d'un nombre est égal au logarithme de ce nombre répété autant de fois qu'il y a d'unités dans l'exposant de cette ' puissance (SBi).

284. Le logarithme (Tune racine (fun nombre est égal au loga* rithme de ce nombre divisé par l'indice de cette racine.

En effet, le nombre dont on demande la racine peut être considéré comme une puissance de sa racine d'un degré mar que par l'indice de cette racine : donc, d'après ce que nous venous de voir, le logarithme du nombre dont on demande la racine est égal au logarithme de sa racine multiplié parVindice de cette racine ; par conséquent, on obtiendra le logarithme de la racine d'un nombre en divisant le logarithme de ce nombre par l'indice de cette racine,

28^. Il suit des quatre principes que nous venons d'établir que, si parmi les termes de la progression par quotient se trouvaient tous les nombres entiers possibles (je dis entiers, car le logarithme d'une quantité fractionnaire est égal (282) à la différence des logarithmes de deux nombres entiers), on pourrait au moyen de ces principes changer les multiplications, divisions, élévations aux puissances et extractions de racines, respectivement en additions, soustractions, multiplications et divisions, ce qui simpliGerait considérablement les calculs.

Maislesnombres 1, 2, 3, 4, etc., forment une progression par différence : comment donc les faire entrer dans une progression par quotient ? tel est l'objet de la construction des tables de logarithme.