IL SOUSTRACTION
19. La SOUSTRACTION est u/ne opération qui a pour but de dé^ composer un nombre donné en deux parties^ dont Vune est connue. Le résultat se nomme reste, excès ou différence.
Il est évident d'après cela, que, pour soustraire un nombre d'un autre, il suffit d'ôter successivement du plus grand toutes les unités du plus petit. Veut-on , par exemple, retrancher quatre de neuf; on dira, en coiAptant sur ses doigts jusqu'à ce que l'on soit arrivé au quatrième: neuf moins un, huit; moins un, sept; moins un, six; moins un, ciilq. Ainsi, en soustrayant quatre de nmf^ on trouve cinq pour reste. On dit aussi que ce nombre cinq exprime Vexchs de neuf sur quatre^ ou la différence At quatre k neuf, f
20. Si le nombre à soustraire était très-grand, l'opération effectuée de la manière précédente deviendrait presque impossible. Or il est évident que, si des unités, dizaines, centaines, etc., du plus grand nombre, on soustrait respectivement les unités, dizaines, centaines , etc. , du plus petit , on aura soustrait du plus grand nombre toutes les parties du plus petit et par conséquent ce plus petit lui-même. L^opération d'ailleurs ne présentera pas de difficulté/puisqu'on n'aura ainsi à sous-
traire que des nombres d'un seul chiffre (19). Mais il peut arriver que quelques-uns des chiffres du nombre à soustraire surpassent ceux qui expriment des unités de même ordre dans le nombre dont on soustrait.
Si, par exemple, on voulait soustraire 29 de 67, on serait conduit à soustraire 9 de 7, ce qui ne se peut pas. On rendra évidemment la soustraction possible en ajoutant dix unités à 7, ce qui fera 17; mais on aura ainsi augmenté le nombre dont on soustrait, et par conséquent le reste, de dix unités : il faudra donc diminuer ce reste d'autant. On y parviendra en ajoutant dix unités au nombre à soustraire (ce qui revient à ajouter une unité au chiffre 2) : car ayant retranché, une dizaine de plus, il restera une dizaine de moins. Ainsi, après avoir augmenté le reste d'une dizaine, on l'aura diminué d'une dizaine; donc il n'aura pas changé de valeur. On dira donc : 9 ôté de 17, il reste 8, et je retiens 1 ; et 2 font 3, ôté de 6, il reste 3; le reste est donc 38.
21 . Concluons de ce qui précède la règle générale suivante : Pour soustraire v/n nombre d'un autre, écrivez le plus petit sous le plus grandy de manière que les unités de même ordre se correspondent; soulignez le plu>s petit nombre^ pour le séparer du reste, que vous écrirez au-dessous; soustrayez successivement, en commençant par la droite, chaque chiffre du nombre inférieur de celui qui lui correspond dans le nombre supérieur; si Vune de ces soustractions partielles ne peut pas s^effectuer, augmentez de dix unités le chiffre dont vous voulez soustraire, mais retenez une unité pour V ajouter^ au chiffre à gauche de celui que vous avez dû soustraire.
Exemple. Soustraire 4028 de 32106. On dispose l'opération
ainsi qu'il suit :
Reste. . . * 28078 puis, appliquant la règle, on dit : 8 de 6, cela ne se peut paô,
14 GàLCUIv D£S KPMB^ES £WT1I$RS.
j'ajome ip, Ciç (^ui ImU 16; S 4e 16, il rje^ S, qiW j'écrU, et Je retiens 1 ; et 8 font 3, (Je 0^ jc^lft »e §jç peut p^?; j'ajoute 10;
3 de liO, il rçsle 7* quç j'écris, e]t j^ relions 1 ; (te 1, U r/e^lç 0;
4 de 2, cela ne se peut pas; j'ajou}^ ^0, ce qjii (ajit }?; 4 4^ If, il reste 8, et jç rjçljeDS 1 ; 4ç .3, il f este %. I^ riǧtÇ defl[)^n^ est ainsi 28078.
22. Pour faire la preuve dp la ioi^trj^fiçnif fl4dUiofmfiKf fe reste avec Ip noml^re à ^cmstraire, et vous devrez retrouver le plus grand nombre : car, (jl'aprèç la td.éflnUipp de 1,^ S(QU^lr/>ption, le plus grand uoaiJ}re doit étrç 1» spmoiedM plps p^tijt|et du reste.
93. /.a m^urjfUCAnQU M unfi opératùm qui a pêw but de composer un nombre nommé produit avec un nombre nommé MULTiPUCANDE, comme un autre nombre appelé multiplicateur êst composé avêc ^uniié : de sorte que si le multiplicateur contient â, 3, k„. fois l'unité, le produit devra contenir 2^ 3, 4... fois le muUiplieaade.
U ^it d^ Mt 4^4 pour obtmir le produit de deux nombres^ il f(m répéî/^ U m'uMi'pUmnde audmi d» fois qu'il y ç, d'imités dans
24. Remarquons, !<" c[ue le multiplicateur eS un nomkre abstrflitj puisqu'il indique combien de fois le produit coQjtient le fftttltiplicande <6) ; 2* que le produit est de même espèce </ue le multiplicande : car l'un ej&t m^ partie de l'autre, et un tout et ses parties sont nécessaire^ient de môme espèce^
2tti En réfléchissant sur la nature du procédé que nous avons indiqué pour multiplier deux po;nbr<B entre çvix (93 )t
CÀIXUI. DflS NOMBRES ENTJEIU^. 15
on sent que» si le multiplicateur était composé de plusieurs chiffres, Topératioa deviendrait impraticable. On a donc cherché uuÊ méihûÛG plus abrégée* h laquelle on a donné le nom de mtUHplica^an.
26. Ayant d'exposer cette méthode, nous ferons observer que, powr multiplier un nornbre queîeonqu$ par Tunité suivie de plusieurs zéros, il suffit <f écrire à la droite de ce nombre autant de sfèros qu'il s'en trouve à la suite de l^unité : car, si Ton écrit, par exemple, deux zéros à la droite d'un nombre, il est clair que chacun dç seis chiffres aura reculé 4e deux rangs vers U gaucbe« et représentera tinsi des unilés icenl fois plus grandes (il); donc toutes Jes parties du nombre proposé étant devemies eent fois plus grandes, ce nombre est lui-même devenu cent fois plus grand, (festràrdire qulla été;nulUpIié par cent. Ainsi ?86 X iOO ç=«8»00.
27. On démontrerait delà même manière que, siunnomtfre est terminé par d^ zéros, on le rendra 10, 100, lûOO, etc., fois plus petit en supprimant sur sa droite un, deux, trois, etc., zéros. Ainsi le nombre 2750 est cen( fois plus petit que 275000.
20. Il peut se présenter trois cas dans la multiplication : ou .fe muUiplicmde jet le mul^iplififiOeur fçnt des nombres épaprimés fdsr un snul chiffre; ou k prmiier est ^n nombre jcompos(i de plusieurs chiffres et le second un nombre représenté par un 9eul; on le muUipUcateur efit wi nombre qui contienX plufkurs dhifft^. Nous es^amijaeipns ^uccess^yement ce^ trois c^.
I4 nuiltipUcâtion de deux npmbros ei^primés par w ^ul ^hiffr^ s^ffeçtue d*après la règle du n"" 8J3^ Mais icomu^ie la mul- Jipjicalion de deux «lombres quelconques Aif^jx^^ ainsi que J3Î0US Jie verrons bxemôt {31^ i»3)^ de celle de deux nombres représentée par un seuj chiffre, i>jx a (construit une table qui reisiferme les produits des neuf premiers nombres multipliés 4eu^À deux, produits qu'U e$t très-important dei^raver dans $a mémoire^
