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Lm dra^ qtwtians <|fle mua renana die résmidre sent apf§]ée% par Içp arjlbméiicîeos des fégUâ de irai*, parée qu'elles ÇQniixmat k ^\ci\\w ls quatrième larme d*una proportion dont 1^ trp}§ Q^tres fpnt ippuDiiti» Oomme» dans la proporlion qui r^QPt I9 (l^u|ièin# queilion» l'ordre dans leqnel on eompare ]^ d^m qii^nljtés d'upemém^ 0spèee i^sl inverse décrut dans lequel 01) cofîïp^re |eQ d^lU^ quantités correspondantes de l'uylT? eppècqi /in dit quç l^i lurg^urs sont en raiien im>m$ des IgngO^yr^i ^ par con^équ^nt qpe ee problème est qne règle (Je trois irmmy tendis q"e 1q premier est une règle de trois dir^Ui^ Mafs cçtte distipction est tout à fait insignifiante : 11 supiri), dans eb^qu^ i^^ parlicuUdr , d^nnftlyser avec soin la question, et Tpn m sera jamaii embarrassé ponr établir la prppprlioD Au rçste, iairow: a donné urio règle fort simplft pour ré3pudr6 le^ règles de troif ,- c'est que k plm petU terme de Iq prmi^r^ ^phoe çst m pli^ grand tmne d^ e^tte espioe commi le plus pçtik term dç (a ^mndf ^pècç !b§t w pku grand urmâ de cetu espèce^ ce qpi résulte évidemip($nt de I9 considération de^ proporlion^ [1] et [2]; qm, aulrurpent ; k rwp^duphti peUà terme de la premier^ (np^ç^ m plm grand l#*W d# WtU «spé^S M égal au rapport du plits petit terme de la seconde espèce au plus grand terme d^ cette espèçç.

Il suffira dQnc d'eçpamin^r si fc «fmw ifWprwv 4qU ilr^^ p/w^

grand ou plus petit que celui de son espèce, et il sera facile ensuite d'écrire la proportion^ pourvu toutefois qu'il doive y avoir proportion entre les deux termes de la première espèce et ceux de la seconde. C'est ce qui n'aurait pas lieu dans la question suivante : On a payé 800' pour creuser un puits de 30 pieds de profondeur : combien coûterait v/a puits de 60 pieds? — H est clair qu'il serait payé plus que le double de 800'; car, la difficulté du travail augmentant avec la profondeur du puits, les 30 derniers pieds coûteront plus que les 30 premiers. Ce problème ne se résout donc pas par une règle de trois y et pour en trouver la solution, il faudrait savoir suivant quelle loi augmente la difficulté du travail, à mesure que l'ouvrier descend à une plus grande profondeur. Mais dans un grand nombre de questions, au contraire, on a à considérer des grandeurs de deux espèces telles que, l'une variant et devenant par exemple un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, l'autre devient nécessairement ce même nombre de fois plus grande ou plus petite ; on dit alors qu'elles varient proportionnellement ou dans le mSme rapport. Ainsi, l'aiguille d'une montre parcourt dans un temps double, triple, etc., un nombre de divisions double, triple, etc.; les espaces varient, dans ce cas, proportionnellement aux temps employés pour les parcourir ; il n'en serait pas ainsi d'une pierre qui tomberait dans le vide à la surface de la terre. Il est donc essentiel de commencer par s'assurer que les quantités que l'on considère varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse ; quant au fait de cette variation considéré en lui-même, il a, dans chaque cas, sa raison d'être en dehors de l'arithmétique, à laquelle il n'appartient pas de le démontrer.

LU. 75 ouvriers^ travaillant 9*»! par jour^ ont fait un ouwage de 252* dont la difficulté était représentée par ^ : combien faudraitil d'ouvriers, qui travailleraient 10^-^ par jour, pour faire ^ dans le même nombre de Jours, 42' 4p* 8p* d'un ouvrage dont la difficulté serait représentée par J, en supposant d'ailleurs que V activité delà ' première troupe soit représentée par 72, et celle de la seconde par 77 ?

C'est là une de ces questions que Ton appelait règles de trois composé4S,ipaTce qu'elles peuvent se décomposer en plusieurs règles de trois simples.

En effet, supposons que l'ouvrage et Tactivilé des ouvriers soient les mêmes dans les deux cas ; la question sera ramenée à celle-ci : 75*"^ ont fait v/a certain ouvrage en travaillant O**! par jour; combien faudrait^il d'ouvriers pour faire le même ouvrage en travaillant 10^-^ par jour? Il est clair que, puisque la seconde troupe travaille plus d*heures par jour, elle doit être moins nombreuse : donc nous aurons, d'après la règle de Lacroix, la proportion

ou, en multipliant par 24 les deux termes du premier rapport pour faire évanouir les dénominateurs,

La valeur dea?, tirée de cette proportion, exprimera le nombre d'ouvriers nécessaires pour faire 252''' en travaillant lO^'-^par jour. Mais ce n'est pas 252^ que la seconde troupe doit faire, c'est 42'' 4P' 3^*»; nous avons donc à résoudre cette seconde question : af^ ont fait 252''; combien en faudrait-il pour faire 42T 4pi spo9 II est clair que le second nombre d'ouvriers sera plus petit que le premier, et qu'ainsi

a?' désignant le nombre d'ouvriers qui, travaillant 10^^ par jour, feront 42^ 4?* S^ d'un ouvrage dont la difficulté est représentée par f . Pour substituer au rapport des nombres concrets 42"^ 4»* 8P« et 252'' un rapport de nombres abstraits, nous convertirons ces deux nombres en unités de la plus baskse espèce, c'est-à-dire en pouces^ et nous aurons ainsi la proportion

Mais la difficulté, au lieu d'être représentée par |, doit l'être par l : donc nous sommes conduits à cette troisième règle de

9^0 PA«i»i.i:ilfi;s,

trois ; t/! ^mry^n ont fyU un ^uvrmm 4mt la Hffi^iki ut rêpréunti^ P^r I ; cçmbisn fiivérmt-U ^(nmim pour faiiH im mmratf^ dont la difficulté le serait par \t II faut d*W(Aiit noins d'ou«

yri^r» que ^ouvrage est mom difficile; dom

î:f ::a/':a?'; m, eo iQUltipUAQt iMir )« l^9 4^l» termes du prçmidr rapport,