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a;'' repréiente 1^ oamhr^ dçi ou^riera qui sont néeessaires pour faire 42"^ 4p* 8p« d'un ouvrage dont la difficulté est représentée par 5, en travaillant lO"»!^ par jour, ^vec une activité représenlée par 72 : mais cette activité doit l'être par 77 ; donc nous î^urpn^ h r^^pucJre pette quatriôrne question : o/^ owner^^ dom r activité est représentée pa/r 1%, ont fait m e^Ulim Wixragê; cam^ bien faudrait-it d^ouvriers^ dont Factivité serait représentée par 77, pour faire le même ouvrage? Puisque la seconde troupe a plup 4'^Ptivité que te première? çUedpitfttr^ TOomaMmbreuse; dflnc
et la valeur que Ton trouvera pour âf résoudra évidemment le problème.
Pour obtenir cette valeur, nous multiplierons les proportion^ [1]> [2], [3], [4] par ordre (860); et comme les quantités inconnues X, â/, 0^ seront factçprs coprpun» aux deux termes du second rapport de la proportion-produit, nous pourrpps les fupprimer, el 11 viendra
2?&,3980,i4,7?:850rl8U4,U,77::a?^:?5î
d'oà Von tire
en supprimant les facteurs communs aux deux termes de Fexpres^iQn de af.
veQpqfi ^ réS9»4r^ (ILiv. I^lQiSt »Vt% ««« PQW I^M tmatéi
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préeédemnent (VU...* XIIL... XXII.... XXVjyMnt, ooqsim on Y&U, tih, que les quwtHéa que Ton y eon«dèft y forment }es i^rm%$ de deux séries parallèles : chaque terme pris dans Tune d'elles correspond dans l'autre à un terme de même espèce ; et si Ton compare les deux termes correspondant à l'une quel^ conque des quantités considérées avec les deux termes corres*pendant è une autre quelconque de ces quantités, il arrive toujours que ces deux quantités variant, sqU dans le même rapport, soit en rapport inverse.
Tous eei problèmes peuvent aussi se résoudre fMir une métbodç générale dite de rédueUon à FunUf. Cette méthode est ainsi nommée parce qu*elle revient h décompos^rchaquefàgle de trois simple en deux autres eyant chacune un terme égal h l'unité ; de sorte que Ton est romené h résoudre dea questions identiques aux problèmes I, IJ, lU, V et YI, Klie va être mise ep évidence par les exemples suivants,
litll, 3S ouvrier» m fait, un §^tain mjt^gê m 186 jeun, combien faudrait-il de jours, à 24 ouvriers^ pour fwF^ U fnime ouvraga dans le§ rnênm conditicm?
Nous raisonnerons de \% manière suivante :
1* Si 32 ouvriers ont mis 126 jours pour faire un ouvrage^ combien un ouvrier mettrc^t-U de jours pour faire te même ou* vrage?
Il est clair qu'un seul ouvrier mettra 32 fois plus de temps, c'est-à-dire un nombre de jours égal à 126ix32.
2** Si UN ouvrier met 1261x32 pour faire un ouvrage ^ combien 24 ouvriers meUront-lis de jours pour faire le mime ouvrage?
H est évident que 24 ouvriers mettront 24 fols moins de temps, c'est-à-dire un nombre de jours égal à ia||ai = i26i X|S=r 168 jours.
Ainsi, en disposantes données de la question et l'inconnue Kur deux lignes horizontales de la manière suivante :
Wm. ^
on voit que la valeur de l'inconnue x s'obtient en multipliant la quantité donnée correspondante 126 par le rapport fj des deux autres quantités données, celle d'en haut étant divisée par celle d'en bas, si, comme dans notre exemple, elles varient dans un rapport inverse de celui des quantités de même espèce que Tinconnue {moins il y a d'ouvriers, plus il faut de jours), Le rapport se fornaerait en divisant celle d'en bas par celle d'en haut, si ces deux quantités variaient dans je même rapport que l'inconnue et la donnée correspondante.
LIV. 48 ouvnersy travaillant 14 hev/res par jour^ ont mis 54 jours pour creuser un fossé de 12 mètres de long sur 6 décimètres de large et 9 de profondeur^ dans un terrain dont la difficulté est représentée par 14 : combien de jours mettraient 36 ouvriers, qui travailleraient 10 heures par jour y pour creuser ^ dans un terrain dont la difficulté est représentée par 8, un fossé de 225 décimètres de long sur 8 de large et 4 de profondeur? L'activité et la force des premiers ouvriers sont représentées par 15 ef 21, et celles des secondspar 18 ef 20.
Nous commencerons par disposer sur deux lignes horizontales les quantités correspondantes, données et inconnue :
kS^\ lk\. 54i.. 120K 6\. 9P^. L4*.. 15«.. 21'.
Supposons d'abord que les ouvriers travaillent le même nombre d'heures par jour; que le travail soit le même, ainsi que leur force et leur activité, etc.; nous dirons : 48 ouvriers ont mis 54 jours pour faire un certain ouvrage; combien 36 ouvriers mettront-ils de jours pour faire le même ouvrage dans les mêmes conditions ?
; 1 ouvrier mettra. 54^X48
36 ouvriers mettront. . . . ^^^ = 541 X i|.
Ainsi 36 ouvriers, travaillant 14 heures par jour, mettent S^^^XM pou^ creuser un fossé de 120 décimètres de long sut 6 décimètresde large, etc.; combien de jours mettraient 36 ou-
vriers, travaillant 10 heures par jour, pour creuser un fossé de
225 décimètres de long sur 8 de large, etc. ? Nous supposerons
que les dimensions du fossé, la force et Tactivité des ouvriers
soient les mêmes, et nous dirons : des ouvriers ont mis
54i X U pour faire un certain ouvraçe'en travaillant 14 heures
par jour ; combien les mêmes ouvriers metlraient-ils pour faire
le même ouvrage en ne travaillant que 10 heures par jour ?
En travaillant une heure par jour, ils mettront 54^ x ^ X 14.
54^X4^X14 En travaillant 10 heures par jour, ils mettront 2£r^ —
=54Jx^Xi^. Ainsi 36 ouvriers, travaillant 10 heures par jour, mettent 54Jxt|Xi^pour creuser un fossé de 120 décimètres de long sur 6 décimètres de large, etc. ; combien de jours mettrait le même nombre d'ouvriers, travaillant le même nombre d'heures, pour creuser un fossé de 225 décimètres de long sur 8 de large, etc. ? Nous supposerons que la longueur du fossé varie seule, toutes les autres conditions restant constantes, et nous dirons : des ouvriers ont mis 54ixt3xi^ pour creuser un fossé de 120 décimètres de long; combien mettront-ils de jours pour creuser un fossé de 225 décimètres de long?
54^ X tîX ^t Pour creuser un décimètre, ils mettront r|| — S.
Pour creuser 225 décimètres, ils mettront p^ — 25 x 225
1 SiO
= 54ix|f X }^Xflo« Où continuera de la même manière, en ^-éduisant successivement à l'unité chacune des quantités de la première ligne, et déterminant ce que devient le nombre de ju. On trouvera ainsi :
a?=54ixttXi*X?|SX|XjXAX{|X|i, 54i.48. 14.225.8.4. 8.15.21 ,^.
(Il est bien entendu qu'avant d'effectuer les opérations on aura soin de simplifier la valeur de x, en supprimant aux deux termes de la fraction tous les facteurs communs que l'on apercevra.)
Ainsi, nous avons ramené le problème composé à la résolution de plusieurs problèmes simples analogues au problèiQk LIII; rinconnue de chaque problème simple devient une donnée du suivant, et chacun d'eux se résout par kt réduction à Tunilé. Il est facile d'arriver à la règle générale suivante ;
L$s données de la questioû et tmconnue étant disposées sur dfux lignes horizontales, en faisant correspondre les qtuintilés de mimé espèce^ la valeur de l'inconnue est égale au produit de la quantité donnée correspondarUe par les rapports successifs des quantités données de mime espèce, diirisées : celle (fen bas par celte d'en haut quand eUes varient dans le même rapport que les quantités de Ve^ pèce de iHnconnue; celle -£ en haut pour cette d*en bas quand eUee varient dans le rapport inverse.
LY. 75 ouvriers, travaillant 9^{ par jovr^ ont fait un ou^ vragede IS^'^yS, dont la difficulté était représentée par ^ : combien faudrait-iX d'ouvriers^ qui travailleraient 10^^ par jowr^ pour faire, dans le même nombre de jour s^ 84°", 7 d'un ouvrage dont kk difficulté serait représentée par \, en supposant d'ailleurs que Vac-tiviié de la première troupe soit représentée par 7â, et celle g^ la seconde par 77 ?
On conunencera par convertir chaque nombre entier et la fraction qui l'accompagne en une seule fraction ; puis on réduira au même dénominateur les fractions qui expriment des collections de parties de la même unité, et l'énoncé de la question proposée deviendra ceitti--ci :
75 ouvriers^ travaillant ^ d'heure par jour, ont fuit un ù9h vragede ISkS décimètres dont ladif/iculté était représentée par ^: combien faudrait-il d^ouvriers, qui travailleraient^ d'heure par jour, pour faire^ dans le même nombre de jours, 847 décimètres d'un ouvrage dont la difficulté serait représentée par {^, en sup-posant d'aiUeurs que ràclivilè de la première troupe soit reprè^ sentée par 72, et celle de la seconde par 77 ?
On trouvera facilement pour le nombre d'ouvriers cherché :
' a?=75-XiiiêXl^XHX^=27-
PROBLÈMES. t55
