SIMPLIFICATION DU CALCUL D£ LA RACINE CARRÉE

529. Lorsqu'on aura trouvé plus de la moitié des chiffres entiers de la racine carrée d'u/n nombre^ on obtiendra tom les au"

très en divisant le reste par le double de la radmô frouvée, et Von ne commettra pas ainsi une erreur tune unité.

Représentons par n le nombre proposé, par a la valeur de *la partie trouvée de la racine, et par b la partie complémen- ' taire de cette racine, de sorte que

n={a+hy=a*+%a. 6+6»,

dOU — t; =6+î— .

Gela posé, désignons par q le quotient et par r le reste de la division de n— a* par 2a ; on aura

.*+iS=«+25'

et, en vertu du principe du n* 247,

suivant que q est < ou > 6.

Or, si b renferme m chiffres entiers, son carré 6* en renferme 2m au plus, car ^•<10**; mais la valeur de a est exprimée par un nombre de (2m + 1) chiffres au- moins, puisqu'on suppose que Ton a trouvé pins de la moitié des chiffres entiers de

la racine; donc — est moindre qu'une unité. D'ailleurs r-<l ; a 2a

donc— T — <1, et^ <i; et comme 6— g ou q—b est

Terreur que l'on commet en prenant a +9 au lieu de a-|-6, selon que 9<6 ou >6, on voit que cette erreur est moindre qu'une unité si la racine est obtenue par défaut, et moindre qu'une demi-unité si on l'a par excès.

Or, si la racine est exacte» b est un nombre entier, donc 6=9, etpartantr=6*s=9*; si 9<6, il faudra que r soit > 6* et à fortiori '^q^; mais si 9>6, il faudra au contraire que r soit < 6^ et à /oriiort <^; donc :

La racine sera exacte^ ou approchée par défaut et à moins iTune unitéy ou approchée par excès et à moins d^une demp-unité, lorsque

276 A»RllinGt.

te rutê dé la dMtUm ufa égal au carré duquotiâra de cette ditH* siarif ouplus gra/nd que ee carré, ou phupetU.

n êst bon de remarquer que si le premier chiffre à gancbe de la racine n'est pas moindre que 5, il suffira de calculer direo-^ tement la moitié des chiffres entiers de la racine^ etl'on pourra obtenir tous les autres parla division» car b^ sera alors <2a.

Exemple : Extraire la racine carrée de 67845396478952345. La racine devant contenir neuf chiffres, on calculera d*abûrd les cinq premiers d'après la méthode ordinaire, et Ton trouvera pour la valeur de cette première partie de la racine 260470000 et pour reste correspondant 775578952345, qu'il faudra ainsi diviser par 520940000, ce qui revient à diviser 77557895,2345 par 52094; le quotient est 1488, et le reste 420232345, quantité plus grande que le carré de 1488, car ce carré contiendra au plus huit chiffres (38) : donc la racine demandée est 260471488, valeur approchée par défaut à moins d'une unité.

SUR LA LIMITE DU NOMBRE DES DIVISIONS A FAIRE POUR TROUVER LE PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMBRES,

850. Si Ton divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur d, et que Ton cherche le plus grand commun di^ viseur des deux quotients ainsi obtenus, les restes que l'on trouvera dans cette seconde série d'opérations seront respectivement égaux à ceux de la première divisés par d (80) : donc» dans la recherche d'une limite du nombre des divisions à effectuer pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, on peut supposer que ce plus grand commun diviseur soit l'unité.

Gela posé, soient D, E, F, 6,... plusieurs diviseurs consécutifs, et admettons que, conformément à la simpllHcation que nous avons indiquée au n* OS, chacun de ces nombres soit inférieur à la moitié du précédent. Si la division de Ë par F a été faite par défaut, on a

BsiW>aF<f&:

et, si ellea été faite par excès,

E=5oa>3F— &•

Or, F étant plus grand que le double de 0, on iroit que 3F«-*6, qui est égal à âF+F--G, est plus grand que fiF+ 6, et qu'en conséquence, quel que soit le mode de division que l'on ait employé, on aura toujours

^=ou>2F+G; donc £>5G,

puisque F>2G; par suite, D>10G,

car D>>2E. Ainsi, en comptant les restes dans Tordre où ils se succèdent à partir du dernier, on pourra dire qu'imre^^e quelcqnquB est plus grand qm 10 /où celui qui viefU trois rangs avant ce reste; pr le dernier reste est 1» comme nous l'avons supposé; donc

le reste qui occupa le (3+ 1)*^ rang surpasse 10 ;

par suite,

le reste qui occupe le (3+l+3)=(3.2+iy*^rang surpasseiO*; (3.2+l+3)=(3.3-f-iy*-rangsurpassel0»;

; • (3.3-fl+3)=(3.4-J- !)***• rang surpasse 10*;

et, en général, U reste du rang (3f»4* 1) eurpasse 10**.

Mais (3n4- 1} est précisément le nombre des divisions que Ton a eflfectuées, si Ton prends. s reste pour premier diviseur ; d'ailleurs 10* contient n + 1 chiffres; donc, pour que l'on elTectue plus de 3n divisions, 11 faut que le plus petit nombre contienne plus de n chifTres, ou autrement, le nombre des divisions ne peut excéder le triple du nombre des chiffres du plus petit nom^e*

Cette démonstration est extraite d'un article très*intéressant que H. Lionnet a inséré dans le quatrième volume des Nouvelles Annales de mathématiques.

551. Les puissances smcessives (Tun nombre plus grand que r unité sont déplus en plus grandes, et çroissmt indéfiniment.

Il suit de la définition même de la multiplication que» si le multiplicateur surpasse l'unité, le produit est plus grand que le multiplicande : donc, les puissances successives d^une quantité plus grande que V unité sont de plus en plus grandes.

Maintenant, représentons par a une quantité plus grande que Funilé, et appelons i Texcès de a sur Tunité, de sorte que

Nous aurons évidemment a.(a— l)>ft, c'est-à-dire

car, pour répéter {a — 1) fois a, il suffit de le répéter a fois, et de retrancher a du produit*^. A plus forte raison aurons-nous

a»-fl«>6 [3],

Or, il est clair que la somme des premiers membres des m relations [1], [2], [3]...., [m] est plus grande que celle des seconds ; mais celle-ci est m fois h ou b.m, et l'autre se réduit à a* — 1 : car chacune des puissances o, «*, A?,...,, a**-* est alternativement additive et soustractive ; donc

tf* — l>6.m.

Si donc on veut que a"* soit plus grand qu'une quantité quelconque c, il n'y aura qu'à donner à m une valeur telle que l'on ait

car à plus forte raison aura-t-on «"• — 1>(?— 1, et par consé-

* Si a est un nombre fractionnaire^ oa. imitera le raisonnement fait dans la note du n* 270.

qaeTïta*>c. Or, si l'on divise les deux membres de cette inégalité par 6, l'inégalité subsistera toujours dans le même sens : donc on aura

Ainsi Ton pourra toujours assigner à m une valeur qui rende la m»*"'^ puissance d'une quantité plus grande que l'unité supérieure à toute grandeur donnée : donc, les puissances successives de cette quantité augmentent indéfiniment^ ou ont Finfini

pour LIMITE.

532. Les puissances successives d^une quantité moindre que Funité sont de plus en plus petites^ et orU zéro pour lhote.

Il suit de la déflnition de la multiplication que» lorsque le multiplicateur est moindre que Tunité, le produit est plus petit que le multiplicande : donc, les puissances successives d'une qiuintité moindre que Tunité sont de plus en plus petites.

Soit maintenant a une quantité moindre que Tunité : je désigne par a' le quotient de la division de 1 par a, de sorte que a.a' = l; or, pour élever un produit à une certaine pwissance, il suffit d'y élever ses facteurs (la démonstration est la même que celle donnée dans la note du n*202) ; donca"'.a'"»= 1;

et par conséquent, d'après la définition de la division, a**=-7^«

Si donc on veut que oT soit moindre qu'une quantité quelconque - plus petite que l'unité, il faudra que l'on ait -^<-, et

partant a'**>c» inégalité à laquelle on pourra toujours satisfaire, comme nous l'avons vu tout à l'heure, puisque a'> 1. Donc, les puissances successives d^une çuantUé moindre que l'unité ont zéro pour limite.

5S5. Le théorème que nous venons de démontrer prouve que, comme nous l'avons avancé au n* 278, le dernier terme d^une progression géométrique décroissante est étautant plus petit qu*U est plus éloigné du premier^ et a zéro pour limite^ lorsque la progression se prolonge indéfiniment : car, si l'on représente par

n le nombre des termes de cette progression» on a (S7S} l=za.r^^y et comme le facteur r"*-* àécrott indéfiniment, sin augmente jusqu'à l'infini, on voit que le produit a.f^ décroit aussi jusqu'à devenir nul.

534. Nous avons dit (286) que si entre deux nombres quelconques on insère im nombre infini de moyens proportionnels, la suite de ces moyens présentera toutes les nuances de la grandeur comprise entre ces deux nombres. Soient, en effet, (m— 1) le nombre des moyens proportionnels que l'on veut insérer enlre les deux nombres proposés, et q le quotient obtenu en divisant le plus grand par le plus petit; la raison de la progression formée par ces moyens sera \/q; de sorte que si a représente un de ces moyens, le suivant sera représenté par a. ^q Or je dis qu'on peut assigner à m une valeur assez grande pour rendre la différence (a.^—a) plus petite que toute quantité donnée S. En effet, pour qu'il en soit ainsi, il suffira que pq^l <-,

ou bien que 75 < ^ +;:> ^^ bien encore que ? < ( 1 + •) •

Or nous avons vu (331) que les puissances d'un nombre plus grand que l'unité convergent vers l'infini en même temps que les exposants de ces puissances : donc on pourra toujours donner à m une valeur assez grande pour que n -| — j >jr, ou

pour que a.*/? — û<'- Donc, en insérant un nombre de moyens suffisamment grand entre deux nombres quelconques, on pourra faire que ces moyens croissent par degrés nioindres que toute grandeur donnée* D'où Ton devra conclure qu't^ croîtront d'une manière continue, lorsque leur nombre sera infini^ sans quoi l'on passerait brusquement d'un moyen à un autre qui en différerait d'une quantité finie, ce qui est absurde, puisque la différence de doux moyens conE^écutifs peut éuie rendue moindre que toute quantité assignable.