IV. DIVISION

44. La DIVISION est une opération qui a pour but^ lorsque ton connaît un produit nommé dividende et l*un de ses fadeurs ap^ . jjelé DIVISEUR, de trouver Vautre facteur nommé quotient*.

48. Il suit de cette définition et du m 24, 1* que, si le diviseur est un nombre concret de même nature que le dividcndt% on devra le regarder comme remplissant les fonctions de nmltiplicande, et alors le quotient remplira celles de multiplica-

* Celle opéralion se nomme division parce qu'elle sert à diviser ou à partager un nombre donne en plusieurs parties égales. Si Ton voulait par exemple p.irtager 48 en \l parties égales, il faudrait chercher un nombre qui, rrpété ■ Il fois, produisît 48: ou regarderait donc 48 comme un pro<luit ayant pour ùcteurs 12 et Vunc des parties cLerchées.

teur : donc, qiunul le dividende et le diviseur sont deux nombres concrets de même nature^ le quotient est' un nombre abstrait; '^^ que si, au contraire, le dividende étant concret, le diviseur est abstrait, on devra regarder celui-ci comme un multiplicateur; par conséquent le quotient sera le multiplicande : donc le quotient est un nombre concret de même nature que le dividende^ si le diviseur est abstrait.

46. Le dividende étant le produit du diviseur multiplié par le quotient, on voit que lé quotient exprime le nombre de fois que le dividende contient le diviseur (25), et c'est de là que lui vient son nom.

G*est aussi pour cela que Ton défmit quelquefois la division : une opération qui a pour but de trouver combien de fois un nombre eh contient un autre.

Or, si Ton retranche le diviseur du dividende autant de fois qu'il sera possible, le nombre des soustractions indiquera combien de fois le dividende contient le diviseur, et sera par conséquent la valeur du quotient: d*après cela, si Ton veut diviser le nombre 48 successivement par 12 et par 13, on fera les calculs suivants:

l'^ sou>straction. 36 35

2' soustraction. 24. ...... 22

'^"^ soustraction. 12 9

4* .soustraction.

Dans la première opération nous avons fait quatre soustractions: donc le quotient de 48 divisé par 12 est 4. Dans la seconde nous n'avons pu effectuer que trois soustractions: douctequo-

tient esi 3 ; mais )a division donne pour reste 9 ; d'où Y un voti que le dividende 48 est égal à trois fois le diviseur 13, plus le reste 9. Donc, quand la division laisse un resUy lequel esi: nécessairement moindre que le diviseur y le dividende est égal au produit du diviseur multiplié par le quotient, plus cercle.

47. Lorsque le diviseur est un nombre exprimé par un seul chiffre, et que le dividende est moindre que dix fois le diviseur, on peut trouver le quotient au moyen de la table de muhipHca^ tion. Il suffit pour cela de descendre dans la colonne verlicalc qui porte en télé le diviseur, jusqu'à ce que l'on arrive au plus grand multiple de ce diviseur qui soit contenu dans le dividende. Le numéro d'ordre de la ligne horizontale où se trouvera ce plus grand multiple sera le quotient cherché. Ainsi le quotient de 39 divisé par 7 est 5 : car, en descendant dans la septième ligne verticale, on trouve que le plus.grand multiple de 7 qui soit canteno dans 39 est 85, et 35 appartient à la eînquième ligne boriaontale.

48. Sile dividende devait contenir un grand nombre de fois le diviseur, on voit que l'opération effectuée d'après le procédé indiqué au n* 46 pourrait devenir très-longue: il faut donc recourir à une mélhode plus abrégée. Soit proposé par exemple de diviser 7946 L par 327: effectïKfr cette division, c'est chercher par quel nooÂre il faut multiplier 327 pour obtenir au produit 79461: en comparant le diviseur au dividendei, on reconnaît que le quotient contiendra,

1« des unités simples, car. . 327 x 1 = 327 < 79461;

2« des dizaines, car 327 X 10 = 3270 < 79461;

3^ des centaines, car ... . 327 x 100 = 32700 < 7946-1;

4^» qu'il ne contiendra pas d'unilés d'un ordre plus élevé que les centaines, car pour qu'il pût renfermer seulement un mille, il faudrait que le dividende ne fût pas plus petit que 327 X 1000 =327000, et c'est ce qui a lieu ici. Le quotient contiendra donc en général des centaines^ des dizaines et des^ unités>et par conséquent le dividende 9$ composera des prodttiu

CALCUL DES Nf^MBRKS EMTlfiRd. 27

partiels du diviseur mulif>lii par les ceniaimSf dizamM él unités du quotient.

< Cela posé, cherchons à déterminer le nombre des centaines du quotient. Si nous pouvions détacher du dividende le produit du diviseur multiplié par les centaines du quotient, en divisant ce produit par le diviseur nous trouverions les centaines du quotient. Or tout nombre de centaines est terminé par deux zéros: donc le produit du diviseur par les centaines do quotient sera aussi terminé par deux zéros (54) ; donc il sera un nombre exact de centaines ; donc il ne pourra se trouver que dans les 794 centaines du dividende. Mais 794 peut contenir en outre quelques centaines qui auraient reflué delà multiplication du diviseur par les dizaines et unités du quotient, plus du reste, s'il y en a ufi; doue, en divisant 794 par 327, on n'obtiendra pas un nombre moindre que celui des centaines du quotient; on ne pourra pas non plus en trouver un plus grand, sans quoi ce nombre surpasserait le quotient total % ce qui est absurde: car il est clair qu'en divisant une partie du dividende par le diviseur, on ne doit pas trouver un nombre plus grand qu'en difisantle dividende toutentier par ce même diviseur**; donc en divisant les 794 centaines du dividende par îe diviseur 327, on obtiendra exactement le nombre des centaines du quotient; il s'agît donc d'effectuer cette division, c'esl-à-dîrc de trouver par quel nombre il faut multiplier 327 pour obtenir au produit 794.

* Si, par exemple, le chiffre des centaines du quotient étant 2, la division de 794 centaines par 327 donnait 3 centaines, il est évident que ce nombre surpasserait le quotient qui dans notre hypothèse ne peut pas être plu$ grand que 299«

** O^ peut encore démontrer oe principe de là manière suivàtite :

Pour qu'en divisant 794 par 327, on pût trouver une centaine de plus que le quotient B'en renferme, il faudrait que 79\ centaines continssent, outre le produit du diviseur par les centaines du quotient^ au moins 327 centaine» qui auraient reflué de la multiplication du diviseur par les dizaines et les unités du quotient, plus du reste, s'il y en a un (40)^ cai*, pour que le quotient augmente de cent «nités, il faut que le dividende augmente dé cent fois le

as CALCUL DES NOMBRES ENTIERS.

Le produit des 3 centaines du diviseur par le quotient est un nombre exact de centaines : donc il ne pourra se trouver que dans Jcs 7 centaines du dividende 794, lesquelles pourront can- (cnir encore quelques centaines qui auraient reflué de la multiplication des dizaines et unités du diviseur par le quotient, plus du reste, s'il y en a un ; donc, en divisant les 7 centaines du dividende par les 3 centaines du diviseur, on sçra certain de ne pas trouver un nom1)re moindre que le quotient cherclié, mais on pourra en trouver un plus grand, car lé reste peut contenir 3 centaines.

Pour vérifier si lé nombre trouvé n'est pas trop grand, on mulliplicra le diviseur parce nombre, et Ton retranchera le produit du dividende 794; si la soustraction est possible, le chiffre que l'on a trouvé est exact; sinon, il est trop grand, de sorte qu^il faudra le diminuer successivement de 1, de 2, etc., unités jusqu'à ce que la soustraction puisse s'effectuer. Divisons donc 7 centaines par 3 centaines: en 7 combien de Cois 3? 2 fois. Je multiplie Je diviseur 327 parle quoiicnt 2 ; et comme le produit 054 peut se retrancher de 794, j'en conclus que 2 .est bien le chiffre des centaines du quplienl tota'. Il s'agit maintenant d'en trouver les dizaines.

Le dividende étant la somme des produits partiels du diviseur par les centaines, dizaines et unités du quotient, si l'on en soustrait le produit du diviseur par les centaines du quotient, le reste sera composé des produits partiels du diviseur parles dizaines etunilésdu quotient: ce sera donc un nouveau dividende sur lequel on pourra faire les mêmes raisonnements

diviseur. Le cas le plus défavorable serait celui où les di -naines et unités du quotient formeraient le plus grand nombre possible, c'est-à-dire 99; mais en multipliant le diviseur 327 par 99, on le répète 99 fois, et en y ajoutant le Teste, qui vautau plus 326, on voit qu'il s'en faudra au moins d'une unité 'que l'on ne trouve cent fois 327, c'est-à-dire 327 centaines; donc il ne peut ■pas avoir reflué 327 centaines de la multiplicalion du diviseur par le? dizaines et unités du quotient, plus du resto, s*il y en a uh ; donc, en divisant 794 par 327, on ne peut pas trouver un nombre plus grand que celui des centaines du quotient.

que sur le premier^ et même avec cet. avantage que l'on sait d/^jà que les plus hautes unités du quotient correspondant sont de l'ordre des dizaines. Ces raisonnements conduiront à la dé« termination des dizaines; et ensuite, de même que Ton aura passé du calcul des centaines à celui des dizaines, on pourra passer du calcul des dizaines à celui des unités, et obtenir ainsi le quotient demandé.

Retranchons donc du dividende 79461 les 654 centaines qui proviennent de la multiplication du diviseur 327 par les 2 centaines du quotient, et nous aurons pour reste 14061 : or, de môme que nous avons obtenu les centaines du quotient en divisant les centaines du premier dividende parle diviseur, nous trouverons ses dizaines en divisant les dizaines du deuxième dividende par le diviseur. Il s'agît donc de diviser 1406 par 327 ; mais pour diviser 794 par 327, nous avons divisé 7 centaines par 3 centaines : donc nous diviserons 1406 par 327 ea divisant 14 centaines par 3 centaines. En 14, combien de fois 3? il y est 4 fois. Je multiplie le diviseur 327 par le quotient 4; et comme le produit 1308 peut se retrancher de 1406, j'en cour dus que 4 est b'ren le chiffre des dizaines du quotient total; il n'y a plus qu'à chercher les unités. Or, pour trouver les dir zaines, nous avons retranché du premier dividende le produit du diviseur par les centaines, et divisé ensuite les dizaines du reste par le diviseur; donc, pour calculer les unités du quor tient, nous retrancherons du deuxième dividende 14061 le pror duit 1308 dizaines du diviseur 327 multiplié par les 4 dizaines du quotient, et nous diviserons le reste 981 par 327. Nous dirons donc : en 9 combien de fois 3? il y est 3 fois. Comme 1^ produit de 327 par 3 est 981, on voit que 3 est bien le chiffre des unités, et que le quotient demandé est par conséquent 243. Remarquons que l'on peut avoir le premier dividende partiel 794, en séparant sur la gauche du dividende 79461 autant de chiffres qu'il en faut pour obtenir un nombre plus grand que le diviseur 327 ; que pour former le deuxième dividende partiel 1406, il aurait sufQ de retrancher du premier le produit du diviseur par le premier chiffre du quotient, et d'abaisser à

SO CALCUL DES milWES ERTIttg.

k droite èa reste 140 ie frcmier det ehîffrw mntàs es diti*étode ; qoe Fod aimît obliena de même ie troisième dWideade parliei^Sl en retrainAml éa deuxième le produit da diviseur ytÊT iedeiisî^iie diîffre da quotient, et en abaissant à la droite da reste M le second des chiffres solvants du dividende. En eonsèqwiiee, «n dispose les calcak comme ct4essous :

40. In généralisant ce que nous venons de dire, on en eondnra ïa règle sniranie : Pour dtvisef^ un nombre par un autre, écrivez le divisewr à îa droite du dividende, séparez -les par nn trait vertical, ^ouHgnez le diviseur, et placez U quotient (m-deiscmf . €efa fetfr , prenez sur îa gauche du dividende assez de chiffirs' pour que le nombre qu'ils expriment, considère tomme représentcmt des unîtes simples, puisse contenir îe diviseur] vous aurez ainsi un premier dividende partiel, que vous diviserez par îe diviseur^ ce qai vous donnera le chiffre des plus Jtnutes vmiîès du quotient. Soustrayez du premier dividende partiel le produit -du diviseur par le premier chiffre du quotient, tl abaissez sur la droke du reste le premier des chiffres séparés dans le dividende : vous aurez ainsi un second dividende partiel que vous diviserez par le divlsevr, ce qui vous donnera le second chiffre du quotient; vous Vécrirez à la droite du premier, et vous agirez sur le second dividende partiel et sur le second chif-fre du quotient, comme vous, avez fait sur le premier dividende partiel et sur le premier chiffre du quotient j et vous continuerez cette série d'opérations jusqu^à ce que vous ayez abaissé le âer^ . nier cMffre âwdivîâenâe, en ayant soin à chaque opération été^

crire le qw>timt que vous obtenez à la droite du précèdent. Si Vwi des dividendes partiels était moindre que le diviseur^ ce serait un signe que le quotient n'a point i unités de V ordre correspondant; on écrirait donc un zéro au quotient^ et Von abaisserait à la droite de ce dividende partiel le chiffre suivant du dividende total ^ ce qui donnerait un nouveau dividende partiel que Von diviserait par le diviseur.

Pour diviser un dividende partiel par le diviseur , il faut diviser par le chiffre, des plus hautes unités du diviseur le nombre des unités du même ordre que contient ce dividende partiel. On véri^ pera que le quotient ainsi trouvé n'est pas trop-grand, en examinant si le produit du diviseur par ce quotient peut se retrancher du dividende partiel.

aO. lia divisidu d'un dividende partiel parte diviseur ne s'eFfectuant que par tâtonnements, on sent que ki crainte d'écrire au quotient un chiffre trop grand peut conduire à en mettre un trop petit. On reconnaîtra ^'il en sera ainsi lorsque le- reste, obtenu en retrancliant du dividende partiel le produit du diviseur par le chiffre dont il s*agit^ contiendra le diviseur. On augmentera donc ce chiffre A^une^ deux^ trois, etc., unités^ jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste moindre que le diviseur.

n y a toutefois une précaution gui diminuera La nombre des tâtonnements: c'est fle regarder le premier chiffre à gauche du diviseur comme augmenté d'une unité lorsque le second surpasjsera é (ou appelle cela forcer Vuwité sur ce dbîffre), €t d'àugjpenler aussi d'autant le nombre des unités de méflieonlre q^e ^renferme le dividende partid. Ainsi, si l'on avait àdivîser 27249 par 3628, au lieu de dire : en 27 combien de £dis 3? onàks^i: en 26 combien de fois 4? Le chiffre 7 ainsi obteou es<t jeffaeltvemeat le quotient de la .division de 27249 par 362a. Oûceaiçâît &k €ffet que, le diviseur 3623 élant plus pi^s de 4 naïUe 4»e de 3 myie, on a pkis de chance de trouver ie qmotienl chenobé iaa prenaatpour diviseur 4 miUa plutM que 3 mille. Mais ausi^ion court le risque d'écrire au quotient un chiffre trop faible ; car le quotient devint plus petit quand le diviseur augmente. (Test

32 Calcul des nombucs entiers.

pour diminuer celle chance d'erreur qu'on augmente d'une unité le nombre des mille du dividende partiel.

M. On peut enfin effectuer la division d'un dividende partiel par le diviseur sans tâtonnements, par un procédé que Ton emploie avec avantage quand le quotient total doit contenir un grand nombre de chiffres. On forme le tableau des neuf premiers multiples du diviseur, et l'on y cherche quel est le plus grand de ces multiples qui soit contenu dans le dividende partiel. Le numéro d'ordrç de ce multiple est le chiffre cherché du quotient. Ainsi, dans l'exemple du n? 48, nous verrons que le premier chiffre du quotient est 2 : car, en consultant le tableau des multiples du diviseur :

1«' multiple 327

on reconnaît que le plus grand multiple de ce diviseur qui soit contenu dans le premjer dividende partiel 794 est le deuxième.

84. Pour diviser un produit par un certain nombre, il suffit de diviser Pun de ses facteurs par ce nombre, en conservant les autres facteurs ; car, en multipliant par ce nombre le nouveau produit qu'on aura obtenu par la division d'un des facteurs, on retrouvera le produit primitif (59). Veut-on, par exemple, diviser par 15 le produit de 135 par 47? on commencera par diviser le facteur 135 par 15, ce qui donnera 9^ puis on multipliera 9 par 47. Ce produit 9.47 est le quotient demandé, car en le multipliant par 15 on retrouvera le dividende 135.47.

Pour diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs,

ù suffit de k diviser sticcessivemmt par chacun des fcu^urs de ce produit; ainsi, pour diviser 360 par 8.9, on divisera ce nombre par 8, ce qui donnera 45, et on divisera ensuite 45 par 9, de sorte que le quotient 5 de cette seconde division sera celui que Ton doit trouver en divisant 360 par 8.9. En- effet, en multipliant ce deuxième quotient ^ = 5 par 9, oh retrouvera le premier 45 ==^5^, et en multipliant celui-ci par 8, on obtiendra 360. Donc 360 est le produit de 5 par 8.9 (38); donc 5 est le quotient de la division de 360 par 8.9.

tfS. Si le dwidendc et le diviseur sont terminés par des zéros ^ on en supprimera sur la droite de tous les deux autant qu*il y en a à la suite de celui qui en contient le moins; puis^ en effectuant la division des nombres résultants comme à V ordinaire^ on obtiens' dror le quotient demandé.

En effet, supposons, pour fixer les idées, qu'on ait supprimé trois zéros sur la droite du dividende et du diviseur. Par la suppression des trois zéros dans le dividende, on a divisé ce dividende (27), et par conséquent le quotient, par mille; car le dividende, qui est le produit du diviseur par le quotient, ne peut être divisé par mille, si l'un de ses facteurs ne change pas, qu'autant que son autre facteur est lui-^mème divisé par mille (S2). En supprimant trois zéros dans le diviseur, on Ta divisé par mille, par conséquent le quotient a été multiplié par mille : car, si un produit ne change pas, et que Tun de ses facteurs s.oit divisé par un certain nombre , il faut nécessairement que l'autre focteur soit multiplié par ce nombre (59 et ^2). Mais c'est après avoir multiplié le quotient par mille qu'on Va divisé par mille; donc il n'a pas changé de valeur.

84. On peut encore abréger le calcul de la division, en effectuant à la fois les multiplications du diviseur par les différents chiffres du quotient et les soustractions correspondantes. A cet effet, on soustrait successivement les produits partiels résultant delà multiplication de chaque chiffre du diviseur par le chiffre du quotient sur lequel on opère, du nombre d'unités de même ordre que contient le .dividende partiel, et Ton augmente le

^ CAtXXIL DBS I«OlimBS ENTfKRS.

Mèniph/Oi^ànà nous avons voulù^vérîfier, dans rexémple du %* Î4Ô/SÎ le second cTiiïJrrè 4 3u quotient n*étaît pas trop gî*arîd, nô'Uls avons itîUftîpiîé ïe Hîviséiir 327 par cq nombret, écrîtïè produit 1^300 aù-tiessôus du Sivîdiencle partiel 1406, et nôUs avons éflectuè èhsuife la soustraction. Jtn lieu d'opérer iiïis\\ ïïôus flfrôns'-làtdîs^tônt 28 ; 6fé de 6, cela né se peut pas; j'ajoute 3 dizaines pour rendre la sbuslracf ion possible, ce qw,&Jt/ae;^/àH5 dtJ'â^^ ji.pesle^;'fet^e Trions 3^ âftn flten ïli^ini^nier le ^produU^âûs àieaioes du diviseur, pcrr èecpiotient 4» Qi 4^ ^r^stituf r «iosi-au 'Fé9tQ >sa iféuritAbte ^leûr. 4 «feiâ âfaûtê, <4?, !ii;>^t6^^r<)>:\<Hd)l fiQi«e:pj3Ut pas; j'aîolitc â dteftaws^vce qui fait 20; 11 ôté de 20, il reste 9, elije.'ifetieB5ïit:4.)fi»9:a loj^t :l8s:^.l :?...ffc; fèéji^ Ik^yil reste Ô* L'eKcèfi .du jdiiSd«^^de.;pi3iryçl:ifW*r^or iç'jJpodUitlda.diTOBur par têichiUiDe 4.dMi^4^pt|Qf^t$s^ cl€a\c 8â^'oomia^nûU6'Jfa$k)fi8 Bffe^^

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liOii&^^j^i<yis^^r e$jt ^j^timê pftiluniseiil chiiive, pn^abirége r QpéraiU». [aiosi^qi^'Hj^vU^ 7^ 1^9 ii^r:9,:W^fS&ft9^e.tes ^ftlculâ camme ci-deaBous.:..

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l)ilis;au ^i: te:neiiviènteidè!7i6 est A, iqua4'écrlsi)àb4?à^gôii« djef>;;etiil!T^i3e luhitts qiii:valeirt:40^ et iyki; Jto îi«u>'\tîème de 41 est i^jqUôjtiécris à:lâdi5oitCitle^a;ietil ji(^6te5u|rjltés qui valent 50, elS^ 58; le neuvième de 58 est 6, que j'écris à la dïtiilc de 4; "çtîl reste*4 UnÏÏéi^qdî vâIehC40, et â,-49;'le neuvfè'ure'ïré'49 est "5, quej*écris*â la aïoilè dx? B ;*etUreste 4/Àij&si le* qiimièht cfiércKé est 84*65,' et le "reste est 4. .

8!^, L(mq!U*onmulliplie k-âiiiMende^etkdivkeù^'pùr^unmt^iê nomhn^ $î qu^on. divisa les.prùébuj^ Vuriipar l^uire^h qu&Uerit'7%e chaiiaeip(u^nmûMrBst^Bslrmultipi$éjpim4e^noi¥$b^

se» 4€9$K tS^J^ :V^Ki^ ;KHP^K;e.; k;preu;ii^e jl!4iwajéié par le ^t 1^^ d&ia {Q^i^Jj^Uc^^^^.'C^u Jivl^eiir (fA),: d^ficle quotient n*aiira pas changé, ^^4^ «T^te ,^a joulUptié par xe jEttu&bre« , ii9<^ B»¥t jf caret :la prem& 4^ la diqiràifi^ ^MjmuUîpHê k dim^fi/à" ,ïf0rAç :i(fuaiidMy ùa^y-AiauuM^rest^ M «i la ^fifnme €s^ égale au dividende y on en conclvâ^a,^^ fopéi^aHtm, 4i êêé Mm