Tout nombre qui en divise un autre divise ses multiples

Ce principe est une conséquence du précédent : car un multiple d*un nombre n'est autre chose t|ue la somme de plusieurs nombres égaux à celui-là (40);

Exemple. 6 divise 13, et par suite il divise 18X13= 234.

60. Lorsqu'un nombre en divise deux autres, il divise leur dif^ férence.

En effet, chacun des nombres proposés vaut un certain nom» bre de fois le diviseur dont il s'agit: donc leur différence vaut un certain nombre de fois ce diviseur; donc il en est un diviseur exact.

61. Un nombre est divisible par 2 quand U est terminé par un^ zéro du par un des chiffres PAms 2, 4, 6, 8*.

* On appelle nombre pair un nombre exactement divisible par 2, parc» qu'il peut être partagé en deux portions pareilles ou égales; par opposition.

PROPRIÉTÉS DES NOMRRES. 41

!• Si le nombre est terminé par un 0, il est un multiple de 10 (26); mais 10, qui égale 2X5, est divisible par 2; donc le nombre proposé l'est aussi (8D).

2» Si le nombre est terminé par un chiffre pair, ou pourra le concevoir décomposé en dizaines et unités. La partie des dizaines est, comme nous venons de le voir, divisible par 2; la partie des unités l'est aussi, par hypothèse : donc les deux parties du nombre proposé étant divisibles par 2, ce nombre l'est aussi (5tt).

^^„Jè^. On démontrerait de la même manière qu'wn nombre est divisible par b quand U est terminé par un ou par un 5.

— — 65. Un nombre est divisible par 4 quand le nombre représenté par ses deux derniers chiffres à droite est divisible par 4,

En effet, concevons le nombre proposé décomposé en centaines et en unités : la partie des unités est, par hypothèse, divisible par 4; la partie des centaines l'est aussi, car tout nombre de centaines est un multiple de 100. Mais 10(0 = 10.10: or dans 10 il y a un facteur 2, donc dans 100 il y aura deux facteurs 2, donc 100 est divisible par 2 . 2 = 4, et par conséquent tout nombre de centaines Test aussi : donc les deux parties du fipmbre proposé étant divisibles par 4, le nombre lui-mémele sera aussi.

On verrait de la même manière qu'un nombre sera divisible par 8 = 2', par 16 = 2*, etc., quand le nombre exprimé par ses 3,4, etc., derniers chiffres sera divisible par 8, 16, etc.

^^.,^4. Un nombre est divisible par 9, quand la somme de ses chiffres^ considérés comme représentant des unités simples^ est elle^ mime divisible par 9.

Nous allons d'abord démontrer qu't^ne unité d*un ordre quel-

on nomme nombre impair un nombre qui n^estpas exactement divisible par 2.. Si donc on divise un nombre impair par 3, on aura pour reste une unité : de sorte qu'ion nombre impair est égal à un nomire pair augmenté ou diminui d'une unité.

conqm est un multiple de 9 augmenté dune unité simple. Si nous multiplions en effet par 9 un nombre exprimé par tant de chiffres 1 que l'on voudra, il est clair que le produit ne sera - composé que de chiffres 9, et qu'ainsi, en y ajoutant une unité, le résultat sera exprimé par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il I y avait de chiffres I dans le multiplicande : donc une unité d'un ordre quelconque est un multiple de n^i^/augmenté d'une unité, et par conséquent 2, 3, 4.... unités de cet ordre vaudront un multiple de 9 augmenté de 2,3,4.... unités simples.

On voit d'après cela que, si l'on conçoit le nombre proposé décomposé en ses diverses collections d'unités, chacune d'elles sera égale à un multiple de 9 augmenté de son chiffre significatif considéré comme représentant des unités simples : donc ce nombre est égal à un multiple de 9 augmenté de la somme de ses chiffres significatifs. Si donc cette somme est divisible par 9, le nombre le sera aussi (S8).

Remarquez que cette démonstration prouve que le reste de la division d'un nombre quelconque par 9 est celui même que Ion obtient en divisant par 9 la somme de ses chiffres additionnés comme s'ils représentaient des unités simples,

68. On démontrerait de la môme manière qu'un nombre est divisible par 3 quand la somme de ses chiff'res significatifs^ con^ sidères commfi représentant des unités simples^ est elle-même divisible par 3. Seulement, pour prouver qiïune unité d*un ordre quelconque est un multiple de 3 augmenté d'une unité simple^ il faudra muUiplier par 3 un nombre exprimé par tant de chiffres 3 que l'on voudra, et ajouter une unité au produit.

66. Un nombre est divisible par 6 lorsqu'il est pair^ et que la somme de ses chiffres, considérés comme représentant des unités simples y est divisible par 3.

Puisque la somme des chiffres du nombre proposé est un multiple de 3, ce nombre sera divisible par 3 (65). Or je dis que le quotient de cette division sera divisible par 2. En effet, si ce quotient était un nombre impair, en le multipliant par 3 on

PROPRIÉTÉS DES NOMBRES. k^

trouverait un nombre impair» car le produit de deux nombres impairs est nécessairement impair * : ainsi, en multipliant le diviseur par le quotient, on ne retrouverait pas le dividende, puisque nous avons supposé que ce dividende était un nombre pair. Le quotient de la division du nombre proposé par 3 est donc divisible par 2 : donc le nombre proposé sera égal au quotient de cette seconde division multiplié par 2, puis par 3, c'est-à-dire multiplié par 6 (58); donc il est divisible par 6.

*67. Un nombre est divisible par 11 quand la différence entre la somme de ses chiffres de rang impair et la somme de ses chif' fres de rang pair est^elle-méme divisible par U.

Pour le démontrer, nous allons chercher quel est le reste que donne une unité d'un ordre quelconque divisée par 11, ce qui -se fera en divisant par 11 le nombre représenté par l'unité suivie d'un nombre indéfini de zéros; car, suivant que l'on aura employé un, deux, trois, etc., de ces zéros, le reste correspondant sera évidemment celui que donne une dizaine, une centaine, un mille, etc., divisé par 11; d'ailleurs une unité divisée par 1 1 donne 1 pour reste :

On voit qu'en divisant dix unités par 11, on a pour quotient et 10 pour reste; qu'en divisant 100 unités par 11, on a 9 pour quotient et 1 pour reste; et comme en abaissant un à la droite de ce reste, on retombe sur le premier dividende partiel 10, il s'ensuit que les mêmes quotients et les mômes restes

* En effet, un nombre impair est égal à un nombre pair augmenté d'une unité : donc le produit de deux nombres impairs est égal au produit du mul» tiplicande par un nombre pair, plus une fois le multiplicande , c'est-à-dire est égal à un nombre pair augmenté d'une unité; donc ce produit est impair.

se reproduiront périodiquement et à l'infini. Puis donc qu'une unité divisée par 1 1 donne pour reste 1, qu'une dizaine donne pour reste 10, on voit que toute unité d'ordre impair est un multiple de 1 1 augmenté d^une unité simple^ et que toute unité dC ordre pair est un multiple de li diminué d^une unité simple. Donc, si l'on conçoit un nombre quelconque décomposé dans ses diverses collections d'unités, chacune d'elles sera un multiple de 11 augmenté ou diminué de son chiffre significatif, considéré comme représentant des unités simples, suivant qu'elle sera d'ordre impair ou d'ordre pair; donc ce nombre est égal à un multiple de 11 augmenté de la somme de ses chiffres de rang impair et diminué de la somme de ceux qui sont de rang pair; donc il sera un multiple de 11, si la différence de ces deux sommes est elle-même un multiple de 11 ; donc un nom^^ bre sera divisible par 1 1 quand la différence entre la somme de ses . chiffres de rang impair et la somme de ses chiffres de rang pair sera elle-même divisible par 11.

Le nombre 987654321 est-il divisible par 11, et s'il ne l'est pas, quel sera le reste de la division?

La somme des chiffres de rang impair est

celle des chiffres de rang pair est

donc le nombre proposé est un multiple de 1 1 plus 2b moins 20; donc le reste de la division est 5.

On peut simplifier ces calculs, en ayant soin de retrancher 11 de la somme dey chiffres que Ton additionne, chaque fois que l'on obtient une somme partielle plus grande que 1 1 ; car il est clair que l'on aura ainsi diminué la somme des chiffres de rang impair et celle des chiffres de rang pair, chacune d'un multiple de 11, et qu'en conséquence leur différence aura été altérée seulement d'un pareil multiple.

Ainsi dans Texemple ci-dessus nous dirons : I et 3, 4 : el 5 9; el 7, 16; moins 11, 5 ; et 9, 14 ; moins 1 1, 3. En opérant de môme sur les chiffres de rang pair, on dira : 2 et 4, 6; el 6, 12 : moins 11, 1; el 8, 9. Ainsi le nombre proposé se compose d'un mulliple de 11, plus 3 moins 9, c'est-à-dire d'un multiple de 11 mmnsé; ou, ce qui revient au même, d'un mulliple de Il plus 11 moins 6, c'est-à-dire d'un mulliple de 11 plus h; donc le reste de la division est 5.

* 68. Cherchons maintenant les caractères de divisibilité d'un nombre quelconque par un nombre donné.

Pour fixer les idées, nous supposerons que le diviseur donné soit 7.

Il est évident que si, sans effectuer la division du nombre proposé par 7, nous pouvions cependant trouver le reste de cette division, nous verrions à l'inspection de ce reste si le nombre proposé est ou n'est pas divisible par 7. Tâchons donc de découvrir ce reste.

On sent que si l'on divise 2, 3, 4,... unités d'un ordre quelconque par un certain diviseur, le reste que l'on obtiendra sera 2, 3, 4,... fois plus grand que si l'on divisait une unité du même ordre par le même diviseur. Par conséquent, si nous pouvons déterminer le reste que donne une unité d*un ordre quelconque divisée par 7, nous aurons facilement les restes respectifs qu'on trouvera en divisant par 7 les diverses collections d'unités du nombre proposé, et la somme de ces restes sera celui même de la division de ce nombre par 7.

Cherchons donc quel est le reste que donne une unité d'un ordre quelconque divisée par 7. Pour cela il n'y a qu'à diviser par 7 le nombre représenté par l'unité suivie d'un nombre indéfini de zéros, ce qui donne le calcul suivant :

* Dans toute cette théorie, nous entendrons par reste d'une division l'excès du dividende sûr un multiple quelconque du diviseur. ~

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